黑龙江省大庆市肇源县八校联考2024-2025学年 九年级上学期期中数学试卷

这是一份黑龙江省大庆市肇源县八校联考2024-2025学年 九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝80°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．160°B．80°C．40°D．20°
4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3且k≠0B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k＜3
5．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得AC＝6米，∠ACB＝50°，则BC的长为（ ）
A．6cs50°米B．6sin50°米C．米D．米
6．（3分）平面内，一个点到圆的最大距离为9cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．14cm或4cmB．7cm或2cmC．7cmD．2cm
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若，则半径的长为（ ）
A．6B．3C．D．
8．（3分）a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米B．6米C．12米D．24米
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②3a+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3
⑤当x＞0时，y随x的增大而减小
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分）.
11．（3分）若sinA＝，则锐角∠A的度数为 ．
12．（3分）抛物线y＝2（x+3）2﹣2的顶点坐标是 ．
13．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，先向左平移1个单位再向上平移2个单位后，得到的抛物线表达式为 ．
14．（3分）在△ABC中，若，则∠C的度数为 ．
15．（3分）若（﹣2，y1），（5，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k2图象上的两点，则y1，y2的大小关系为y1 y2．
16．（3分）如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，则△ABC的外接圆的半径是 cm．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共66分.）
19．（4分）计算：．
20．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝8，∠B＝60°，解这个直角三角形．
21．（6分）已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
22．（5分）已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，1），且经过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．
23．（6分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，求旗杆AB的高度．
24．（7分）如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径．
25．（8分）某商场购进一批进价16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件，假定每月销售量y（件），与销售单价x（件），之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系．
（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售单价定为多少元时，才能使每月的销售利润最大？利润最大是多少？
26．（7分）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）
27．（8分）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）求证：△ABE∽△DBA；
（3）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
28．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）第一象限内的二次函数y＝ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD＝2，当S△PCD＝3时，求出点P的坐标；
（3）若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的Rt△MCD，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2024-2025学年黑龙江省大庆市肇源县八校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
【答案】C
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：sinA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝80°，则圆周角∠BAC的度数是（ ）
A．160°B．80°C．40°D．20°
【答案】C
【分析】由圆心角∠BOC＝80°，根据圆周角的性质，即可求得圆周角∠BAC的度数．
【解答】解：∵圆心角∠BOC＝80°，
∴圆周角∠BAC＝∠BOC＝40°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3且k≠0B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k＜3
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数可得到Δ＝（﹣6）2﹣4k•3≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k•3≥0，
∴k≤3且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（3分）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得AC＝6米，∠ACB＝50°，则BC的长为（ ）
A．6cs50°米B．6sin50°米C．米D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的余弦函数解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，＝cs50°，
∵AC＝6米，
∴BC＝6cs50°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握余弦函数的定义．
6．（3分）平面内，一个点到圆的最大距离为9cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．14cm或4cmB．7cm或2cmC．7cmD．2cm
【答案】B
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为9cm，则直径是14cm，因而半径是7cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为9cm，则直径是4cm，因而半径是2cm；
故选：B．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，根据已知条件能求出圆的直径是解决本题的关键．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若，则半径的长为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】B
【分析】连接OB，OC，由三角形内角和定理得到∠A＝45°，由圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，判定△OBC是等腰直角三角形，求出OB＝BC＝3，即可得到圆的半径的长．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠B＝65°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝×3＝3，
∴圆的半径的长为3．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形，关键是由圆周角定理得到∠BOC＝2∠A．
8．（3分）a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
9．（3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．4米B．6米C．12米D．24米
【答案】B
【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵i＝＝，AC＝12米，
∴BC＝6米，
根据勾股定理得：
AB＝＝6米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②3a+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3
⑤当x＞0时，y随x的增大而减小
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对②进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以③正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分）.
11．（3分）若sinA＝，则锐角∠A的度数为 30° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．
【解答】解：∵sinA＝，
∴锐角∠A的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
12．（3分）抛物线y＝2（x+3）2﹣2的顶点坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+3）2﹣2为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
13．（3分）将抛物线y＝﹣3x2平移，先向左平移1个单位再向上平移2个单位后，得到的抛物线表达式为 y＝﹣3（x+1）2+2 ．
【答案】y＝﹣3（x+1）2+2．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2平移，先向左平移1个单位再向上平移2个单位后，得到的抛物线表达式为y＝﹣3（x+1）2+2．
故答案为：y＝﹣3（x+1）2+2．
【点评】此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
14．（3分）在△ABC中，若，则∠C的度数为 75°． ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据绝对值和偶次方的非负性可得sinA﹣＝0，﹣csB＝0，从而可得sinA＝，csB＝，然后根据特殊角的三角函数值∠A＝45°，∠B＝60°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（3分）若（﹣2，y1），（5，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k2图象上的两点，则y1，y2的大小关系为y1 ＞ y2．
【答案】＞．
【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是直线x＝1，图象的开口向下，根据二次函数的性质得出点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（4，y1），在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，再比较即可．
【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k2可知，图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（4，y1），且1＜4＜5，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，则△ABC的外接圆的半径是 13 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据外心的性质可知OD垂直平分BC，可知△BOD为直角三角形，BD＝BC＝12，OD＝5，由勾股定理可求半径OB．
【解答】解：∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝＝＝13，
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故本题答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心 （5，2） ．
【答案】（5，2）．
【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出△ABC的外接圆的圆心坐标．
【解答】解：如图所示：点P即为△ABC外接圆的圆心；
∴点P的坐标为（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为 ．
【答案】．
【分析】根据翻折变换和勾股定理可求出FC＝1，再在Rt△EFC中，由勾股定理求出DE，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：由翻折变换可知，AD＝AF＝5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝＝＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝5＝4＝1，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝3﹣x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即DE＝，
在Rt△ADE中，
tan∠DAE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质和勾股定理是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共66分.）
19．（4分）计算：．
【答案】．
【分析】先根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝8，∠B＝60°，解这个直角三角形．
【答案】∠A＝30°，c＝16，b＝8．
【分析】利用直角三角形的边角关系进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∵a＝8，
∴c＝2a＝16，
∴b＝＝＝8，
即∠A＝30°，c＝16，b＝8．
【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（6分）已知y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
【答案】（1）﹣5或1；
（2）m＝1；
（3）m＝﹣5．
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；
（3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值．
【解答】解：（1）∵函数y＝（m+3）xm2+4m﹣3+5是关于x的二次函数，
∴m2+4m﹣3＝2，m+3≠0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1，
∴m的值为﹣5或1；
（2）∵函数图象的开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣3，
∴当m＝1时，该函数图象的开口向上；
（3）∵当m+3＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，
∴m＜﹣3，
又∵m＝﹣5或1，
∴当m＝﹣5时，该函数有最大值．
【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
22．（5分）已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，1），且经过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+1）2+1，然后把（1，﹣3）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+1，
把（1，﹣3）代入得a•（1+1）2+1＝﹣3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+1．
【点评】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．
23．（6分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，求旗杆AB的高度．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE．AB＝AE+BE．
【解答】解：在△EBC中，有BE＝EC×tan45°＝8，
在△AEC中，有AE＝EC×tan30°＝，
∴AB＝8+（米）．
答：旗杆AB的高度为（8+）米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
24．（7分）如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AO，如图，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OC＝R﹣2，利用垂径定理的推论得到OC⊥AB，AC＝BC＝6，再利用勾股定理得到R2＝（R﹣2）2+62，然后解方程即可．
【解答】解：连接AO，如图，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OC＝R﹣2，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝6，
在Rt△AOC中，∵AO2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣2）2+62，
解得R＝10，
答：⊙O的半径长为10．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
25．（8分）某商场购进一批进价16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件，假定每月销售量y（件），与销售单价x（件），之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系．
（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售单价定为多少元时，才能使每月的销售利润最大？利润最大是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量可得函数解析式，再配方根据函数性质可得最值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将x＝25、y＝210和x＝20、y＝360代入，得：
，
解得：，
∴y＝﹣30x+960．
（2）设销售利润是w元，
则w＝y（x﹣16）＝﹣30x2+1440x﹣15360＝﹣30（x﹣24）2+1920，
∵﹣30＜0，
∴x＝24元时，w最大＝1920元，
答：销售单价定为24元时，才能使每月的销售利润最大，利润最大是1920元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用能力，理解题意抓住相等关系列出函数解析式是解题的关键．
26．（7分）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）
【答案】见试题解答内容
【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
【解答】解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
由题意可知：∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，
∴∠PAB＝30°，∠PBH＝60°，
∵∠PBH＝∠PAB+∠APB，
∴∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝120，
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，
∴PH＝PB•sin60°＝120×≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．（8分）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）求证：△ABE∽△DBA；
（3）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）3．
【分析】（1）等弦对等角可证DB平分∠ABC；
（2）等弦对等角可证∠BAC＝∠BDA，根据相似三角形的判定即可求证；
（3）根据相似三角形的性质可求AB的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC；
（2）证明：∵，
∴∠BAC＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA；
（3）解：∵△ABE∽△DBA，
∴，
∵BE＝3，ED＝6，
∴BD＝9，
∴AB2＝BE•BD＝3×9＝27，
∴AB＝3．
【点评】该题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质．
28．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）第一象限内的二次函数y＝ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD＝2，当S△PCD＝3时，求出点P的坐标；
（3）若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的Rt△MCD，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（2，3）或（，）；
（3）存在，（，）或（，）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线CD的解析式，过P点作PG∥y轴交CD于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），则2×（﹣t2+t）＝3，求出t的值即可求解；
（3）设M（x，﹣x2+2x+3），分两种情况讨论：当∠CDM＝90°时，过点M作MQ⊥x轴于点Q，可得△COD∽△DQM，由＝，解出x的值即可求点M坐标；当∠DCM＝90时，过点M作MH⊥y轴交于点H，△CHM∽△DOC，由＝，解出x的值即可求点M坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵OD＝2，
∴D（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
，
∴，
∴y＝﹣x+3，
过P点作PG∥y轴交CD于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+t，
∵S△PCD＝3，
∴2×（﹣t2+t）＝3，
解得t＝2或t＝，
∴P（2，3）或（，）；
（3）存在以CD为直角边的Rt△MCD，理由如下，
设M（x，﹣x2+2x+3），
当∠CDM＝90°时，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
∵∠CDO+∠MDQ＝90°，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠MDQ＝∠OCD，
∴△COD∽△DQM，
∴＝，
∴＝，
解得x＝或x＝，
∵点M在第一象限内二次函数图象上，
∴x＝，
∴M（，）；
当∠DCM＝90时，过点M作MH⊥y轴交于点H，
∵∠HCM+∠OCD＝90°，∠HCM+∠HMC＝90°，
∴∠OCD＝∠HMC，
∴△CHM∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝0（舍）或x＝，
∴M（，）；
综上所述：M点坐标为（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
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