全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 02多结论问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 02多结论问题（含答案解析版），共27页。试卷主要包含了数形结合，逐一验证，5，y1），等内容，欢迎下载使用。
★二次函数的性质★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
★二次函数图象与系数的关系★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
★二次函数图象上点的坐标特征★
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
★多结论问题的解题策略★
1.数形结合：结合二次函数的图象和性质，对给出的结论进行分析和判断。
2.逐一验证：对每个结论进行逐一验证，确保判断的准确性
一、图象信息
例1 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，回答下列问题：
（1）填空（填“＞”“＜”或“＝”）：
①a ＜ 0；
②b ＞ 0；
③c ＞ 0；
④b2﹣4ac ＞ 0；
⑤a+b+c ＞ 0；
⑥4a﹣2b+c ＜ 0；
⑦9a+3b+c ＜ 0；
⑧3a+c ＜ 0；
⑨若点，（3，y2）均在该二次函数图象上，则y1 ＞ y2；
（2）若点（﹣m，﹣6），（2+m，n）均在该二次函数图象上，则n的值为 ﹣6 ；
（3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的实数根的情况为 两个不相等的实数根 ；
（4）若图象与x轴的交点为（p，0），（q，0），p＜q，当y＞0时，x的取值范围为 p＜x＜q ．
【解答】解：（1）由函数图象可知：抛物线开口向下，
∴①a＜0；
∵对称轴在y轴左边，即x＝﹣＞0，又a＜0，
∴②b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴③c＞0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴④b2﹣4ac＞0；
∵当x＝1时，y＞0，
∴⑤a+b+c＞0；
∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴⑥4a﹣2b+c＜0；
∵当x＝3时，y＜0，
∴⑦9a+3b+c＜0；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴⑧3a+c＜0；
∵对称轴为直线x＝1，
∴点到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2；
故答案为：＜，＞，＞，＞，＞，＜，＜，＜，＞；
（2）∵＝1，
∴点（﹣m，﹣6），（2+m，n）关于对称轴对称，
∴n＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（3）由图象可知，抛物线与直线y＝m（m＜0）有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）有两个不相等的实数根，
故答案为：两个不相等的实数根；
（4）若图象与x轴的交点为（p，0），（q，0），p＜q，当y＞0时，x的取值范围为p＜x＜q，
故答案为：p＜x＜q．
对应练习：
1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的有（ ）个．
①3a+c＞0
②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根
④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a．
又由图象，可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离，
∵抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故②错误．
由题意，令y＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个不同的交点．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误．
∵当x＝0时，y＝2，
又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣2时，y＝2．
又抛物线开口向下，
∴满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：A．
2．（2024•滑县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在该二次函数的图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．②③C．②④D．②③④
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b＝2a，
由图象可得x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0．故①错误，不符合题意；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵|﹣1﹣（﹣4）|＝3，|﹣1﹣3|＝4，
∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故②正确，符合题意；
③∵图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等的实数根，故③错误，不符合题意；
④∵图象经过点（0，2），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数必然经过点（﹣2，2），
∴ax2+bx+c＞2时，x的取值范围﹣2＜x＜0，故④正确，符合题意；
综上，②④正确．
故选：C．
3．（2023•聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正确，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看作抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：B．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的是（ ）
A．3a+c＞0
B．若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根
D．满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0
【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a．
又由图象，可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故A错误．
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣4时的函数值与当x＝﹣1+3＝2时的函数值相等为y1．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
又∵2＜3，且抛物线过（2，y1），（3，y2），
∴y1＞y2，故B错误．
由题意，令y＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个不同的交点．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故C错误．
∵当x＝0时，y＝2，
又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣2时，y＝2．
又抛物线开口向下，
∴满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0，故D正确．
故选：D．
5.（多选）（2024•潍坊模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论其中正确结论的为（ ）
A．3a+c＞0
B．若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
D．满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a．
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故A错误．
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故B正确．
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看作抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故C正确．
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
又∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故D正确．
故选：BCD．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如题10图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①a＜0；②若点（﹣4.5，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1＝0没有实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4.5，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2.5，y1），
又∵2.5＜3，
∴y1＞y2，故②正确；
根据函数图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等实根，故③错误；
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：C．
7．（2023•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故②错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，
∵﹣k2≤0，
∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，
∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确．
故选：B．
8．（2023秋•乾安县期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论．
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1），（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的序号为 ①③⑤ ．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故②错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，
∵﹣k2≤0，
∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，
∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
9.（2024春•阳明区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②7a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）为抛物线上的三个点，则y2＞y3＞y1；④对于图象上的两个不同的点（m，n），（﹣1，k），总有n＞k；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有两个不等实根．其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不合题意；
∵x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，b＝2a，
∴4a﹣3b＝﹣2a＜0，
∴7a﹣3b+c＜0，故②正确，符合题意；
∵（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）为抛物线上的三个点，且点（﹣4，y2）到对称轴直线x＝﹣1的距离最大，点（﹣2，y1）到对称轴的距离最小，
∴y2＞y3＞y1，故③正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时的函数值最小，
∴对于图象上的两个不同的点（m，n），（﹣1，k），总有n＞k，故④正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∵抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a，
∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴函数的最小值为﹣4a，
∵b＝2a，a＞0，
∴﹣4a＜﹣2a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y＝﹣b一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有两个不等实根．故⑤正确，符合题意．
故选：B．
10．（2024•谷城县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象有下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
故选：C．
11．（2024•德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），
∴﹣＝﹣．
∴a＝b，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴5b+2c＜0，故②正确．
∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，
∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
12．（2024秋•东城区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列4个结论：
①abc＜0；
②（4a+c）2＜（2b）2；
③若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；
④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：①抛物线图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），
当x＝2时ax2+bx+c＝4a+c+2b，
由图象可得4a+c+2b＞0，
由图象知，当x＝﹣2时，
ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，
由图象可得4a+c﹣2b＜0，
∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，
即（4a+c）2＜（2b）2，故②正确；
③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，
|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，
∵|x1+1|＞|x2+1|，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2），
∴y1＞y2，故③错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），
∴y≥m，
∴ax2+bx+c≥m，
∴ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，故④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
13．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以﹣＝﹣1，
即2a﹣b＝0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零，
所以x＝﹣3时，函数值小于零，
则9a﹣3b+c＜0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0，
又因为b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正确．
故选：D．
14．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，对称轴与抛物线交于点D．根据以上信息得出下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④当x＜0时，y的值随x值的增大而减小；⑤当m≠1时，a+b＜am2+bm；其中结论正确的个数有（ ）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为直线x＝＝1，
即x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③正确；
由图象可知，当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，
故④正确；
当x＝1时，抛物线有最小值y＝a+b+c，
当x＝m，且m≠1时，y＝am2+bm+c，
∴a+b+c＜am2+bm+c，
∴a+b＜am2+bm，
故⑤正确；
所以正确的有4个．
故选：B．
15.（2024秋•乐清市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意．
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确，符合题意．
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a+2（﹣2a）+c＝c＜0，
故③错误．
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＞0，
即3a+c＞0，故④正确，符合题意．
⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
整理得：a+b≤m（am+b），
故⑤正确，符合题意．
⑥从图象看当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确，符合题意．
故选：C．
二、表格信息
例2 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ①②④ ．
【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
对应练习：
1．（2023秋•临猗县期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于和之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1；
当x＝2时，y＝﹣1；
当x＝，y＝﹣；
当，；
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．
∴a＞0即二次函数有最小值，
则①④错误；
由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；则②③正确．
故选：B．
2．（2024•鹤壁一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①m＝3；②抛物线y＝ax2+bx+c有最小值；③当x＜2时，y随x增大而减少；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确的是（ ）
A．②③④B．②③C．①②④D．②④
【解答】解：由表中数据知，抛物线对称轴为直线，
∴m＝0，
故①错误，不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是（1，﹣2），图象开口向上，有最小值，
故②正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
故③错误，不符合题意；
∵抛物线与x轴交点坐标为（0，0）和（2，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，
故④正确，符合题意．
故选：D．
3．（2023秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值如表所示：
下面有四个论断：①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0的顶点为（2，﹣3）；②关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3；③当x＝﹣0.5时，y的值为正，其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（﹣1，6），（0，1），（2，﹣3），
∴，
解得，
∴二次函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的顶点为（2，﹣3），故①正确，
当x2﹣4x+1＝﹣2时，x1＝1，x2＝3，故②正确，
当x＝﹣0.5时，y＝+2+1＝＞0，故③正确，
故选：D．
4．（2024秋•天津期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
有以下结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和m；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误；
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①正确；
由抛物线关于直线x＝1对称知，当y＝0时，x＝0或x＝2，故方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③错误；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故④正确，
故选：C．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
下列结论：①抛物线开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③线的对称轴是直线；④y＝ax2+bx+c（a≠0）函数的最大值为2．其中所有正确的结论为 ①②③ ．
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），（0，2），（2，0）三点，代入数据李处三元一次方程组如下：
，
∴，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，故①正确；
∵，
∴对称轴为直线，最大值为，故③正确，④错误；
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
故答案为：①②③．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/14 1:31:55；用户：冯琳老师；邮箱：rFmNt1sLcmaqKdlDgZ60wM学号：22208507
x
﹣4
﹣3
﹣1
1
5
y
0
5
9
5
﹣27
x
…
0
1
2
…
y
…
﹣1
m
﹣1
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
6
0
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m
6
…
x
…
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2
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4
…
y
…
6
1
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﹣2
m
…
x
⋯
﹣1
0
1
2
3
⋯
y
⋯
3
0
﹣1
m
3
⋯
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
0
2
2
0
﹣4
…