全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 10正方形存在性问题（不含答案版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 10正方形存在性问题（不含答案版），共7页。试卷主要包含了【实践探究】，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
（3）G为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点M，使以B，C，M，G为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋•斗门区期末）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值．
②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024•滨州模拟）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
5．（2024•甘肃模拟）如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是直线BC上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交BC于点E．
（1）求二次函数的解析式和点A的坐标；
（2）连接AM，交y轴于点F．
①当ME＝2CF时，求点M 的坐标；
②连接EF，四边形ODEF有可能是正方形吗？如果有可能，此时∠M的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．
6．（2024•香洲区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴负半轴上．
（1）如图1，已知点O（0，0），B（﹣1，﹣1），C（1，m）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则a＝ ；m＝ ；
（2）在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且AD∥x轴，是否存在四边形ABCD为菱形？请说明理由；
（3）如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＜0）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系．
7．（2024春•天河区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣3a2（a≠0），点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
（1）求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
（3）在抛物线G上存在两点B、D，且B、D在对称轴右侧，点B在点D的左侧，使得四边形ABCD是正方形，求动点C（x，y）的纵坐标y，在a+2≤x≤a+3的最大值．