全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 11等腰三角形存在性问题 （含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 11等腰三角形存在性问题 （含答案解析版），共24页。
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
注意：若有三点共线的情况，则需排除．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论，列出方程：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
1．（2024秋•红塔区期中）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），且OA＝OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
（3）点P是直线AC上的一个动点，若使三角形PBC是等腰三角形，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣4，0），且OA＝OC，
∴OA＝4，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为C（0，4），
把点A，点C的坐标代入二次函数解析式y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）当m＝﹣2时，DF有最大值，且最大值为4；理由如下：
由（1）可知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，且A（﹣4，0），C（0，4），
∴设直线AC所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
∵点E的横坐标为m，直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴D（m，m+4），F（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DF有最大值，且最大值为4；
（3）∵二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象与x轴交于A，B两点，且A（﹣4，0），
∴令y＝0时，x2+3x﹣4＝0，则x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），且C（0，4），
在Rt△BOC，OB＝1，OC＝4，，
点P是直线AC上的一个动点，若使三角形PBC是等腰三角形，设P（n，n+4），分三种情况：
当CP＝CB时，即CP2＝CB2，
∴，
解得，
∴点P的坐标为或；
当BP＝BC时，即BP2＝CB2，
∴，
解得n＝0（舍去），n＝﹣3，
∴P（﹣3，1），
当PC＝PB时，即PC2＝PB2，
∴（n﹣1）2+（n+4）2＝n2+（n+4﹣4）2，
解得，
∴点P的坐标为，
综上，若使三角形PBC是等腰三角形，点P的坐标为或或（﹣3，1）或．
2．（2024秋•武威月考）如图，点C为二次函数y＝（x+1）2的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点C为二次函数y＝（x+1）2的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函数解析式为y＝（x+1）2，
顶点坐标为C（﹣1，0）；
（2）在该二次函数的对称轴上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形；理由如下：
∵顶点坐标为C（﹣1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣1，
过点A作AE⊥CD于点E，
在Rt△ACE中，．
①当AQ＝CQ时，设CQ＝m，
在Rt△AQE中，AE2+EQ2＝AQ2，
∴22+（4﹣m）2＝m2，
解之得，
∴；
②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4，
∴CQ＝2CE＝8，
∴Q2（﹣1，8）；
③当CA＝CQ时，，
∴，．
综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或．
3．（2024秋•宝坻区校级月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过P点作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段PE的最大值．
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，直接写出Q点．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B（3，0），点C（0，﹣3），
∴，
∴．
∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，
∴设P（m，m2﹣2m﹣3），0＜m＜3，
设直线BC的解析式为y＝kx+a，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵过P点作y轴的平行线交直线BC于点E，
∴E（m，m﹣3），
∴PE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE有最大值为．
∴线段PE的最大值为．
（3）①∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴当点Q与点B重合时，满足△QOC为等腰三角形，
∴Q（3，0）；
②当QO＝QC时，过点Q作QD⊥OC于点D，如图，
∵QO＝QC，QD⊥OC，
∴OD＝OC＝，
∴点Q的纵坐标为﹣，
∵点Q在直线y＝x﹣3上，
∴﹣＝x＝3，
∴x＝．
∴Q（，﹣）；
③当QC＝OC＝3时，过点Q作QE⊥OB于点E，如图，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴BQ＝BC＝CQ＝3﹣3，
∴EQ＝BE＝BQ＝3﹣，
∴OE＝OB﹣BE＝，
∴Q（，3）；
当QC＝OC＝3时，过点Q作QF⊥OC于点F，如图，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠QCF＝45°，
∵QF⊥OC，
∴QF＝CF＝CQ＝，
∴OF＝OC+CF＝3+，
∴Q（﹣，﹣3﹣）．
综上，在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，Q点坐标为（3，0）或（，﹣）或（，3）或（﹣，﹣3﹣）．
4．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点Q（x，x2﹣4x+3），则点P（x，﹣x+3），
则PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此时x＝，则y＝x2﹣4x+3＝﹣，
即点Q（，﹣）；
（3）存在，理由：
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：y＝﹣x+3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，
则∠CQT＝∠QQT，
即直线AQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为：y＝（x﹣）﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝（x﹣）﹣，
解得：x＝（舍去）或5，
即点D（5，8）；
设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2，
当DE＝BD时，
则68＝25+（y﹣8）2，
解得：y＝8±，即点E（0，8±）；
当DE＝BE或BD＝BE时，
同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68，
解得：y＝5或±，
即点E（0，5）或（0，±）；
综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）．
5．（2024•仁布县一模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△DBC的面积；
（3）在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数关系式是y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图，过D作x轴的垂线，交BC于E，垂足为F，
由y＝x2﹣2x﹣3可得顶点D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴E（1，﹣2），
∴DE＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，
∴．
（3）存在．P1（1，﹣1），P2（1，，，，．
设点P（1，a），连接PB，PC，
由P，B两点的水平距离为|1﹣3|，竖直距离为|a﹣0|，得PB2＝（1﹣3）2+a2＝4+a2，
同理可得PC2＝1+（a+3）2＝a2+6a+10，BC2＝32+32＝18，
分类讨论：①若PC＝PB，则PC2＝PB2，
即a2+6a+10＝4+a2，
解得a＝﹣1，
即P1（1，﹣1）；
②若PC＝BC，则PC2＝BC2，
即a2+6a+10＝18，
解得，，
即，P3（1，；
③若PB＝BC，则PB2＝BC2，
即4+a2＝18，
解得，，
即P4，．
综上，符合条件的P点坐标为P1（1，﹣1），P2（1，，，，．
6．（2024•清镇市校级模拟）人生有低谷，那可是触地反弹前的转折点！如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0）和点B，与y轴相交于C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求线段BC的长．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？如不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令抛物线y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根据题意：B（3，0），
∵C（0，3），
∴BC＝＝3；
（3）存在．
理由：∵BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，
①当CP＝CB时，PC＝3，
又∵C（0，3），
∴点P（0，3±3）；
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0﹣3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）．
7．（2024•滨湖区校级二模）二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴相交于点C，顶点为点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围；
（3）连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝ax2+bx﹣4，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4；
（2）由抛物线的表达式知，点C的坐标为（0，﹣4），定点坐标为：（﹣1，﹣），
由点P在线段DE上，设点P的坐标为（﹣1，a），
则﹣≤a＜0，
∵Q（k，0），C（0，﹣4），
∴PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC＝90°，
在Rt△QPC中，CQ2＝PQ2+CP2，
∴k2+16＝（k+1）2+a2+1+（a+4）2，
整理得k＝﹣（a+2）2+3，
∵﹣≤a＜0，
∴当a＝﹣2时，k取得最大值3；当a＝﹣时，k取得最小值﹣，
∴﹣≤k≤3；
（3）由抛物线对称性可得，∠DBA＝∠DAB，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，
把y＝0代入y＝x2+x﹣4；
解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵点M在线段AB上（含端点），
∴﹣4≤m≤2，
①若DN＝DM，则∠DMN＝∠DNM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DNM，
得点N与点A重合，则点M与点B重合，
∴点M的坐标为（2，0）；
②若DN＝MN，则∠DMN＝∠NDM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠NDM＝∠DAB，
∴AM＝DM，即m+4＝，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（，0）；
③若MN＝MD，则∠MND＝∠MDN，
∵∠AMD是△BDM的外角，
∴∠AMN+∠DMN＝∠BDM+∠DBA，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠AMN＝∠BDM，
∵MN＝MD，∠MAN＝∠DBM，
∴△AMN≌△BDM（AAS），
∴AM＝BD，
∴m+4＝，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（，0）；
综上所述，若△DMN是等腰三角形，则点M的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．
8．（2024•城关区校级一模）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求线段BC的长．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令抛物线y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根据题意：B（3，0），
∵C（0，3），
∴；
（3）存在．
理由：∵，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，
①当CP＝CB时，，
又∵C（0，3），
∴，；
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：或或（0，﹣3）或（0，0）．
9．（2024春•渠县校级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
（1）求该二次函数表达式；
（2）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2），
令，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0）．
∵抛物线的对称轴为直线，则点B（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0），
设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵抛物线过点C（0，﹣2），
则﹣4a＝﹣2，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，
理由：根据题意对称轴，设点，
由点A、C、P的坐标得：，AC2＝20，，
当PA＝AC时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当PA＝PC时，则，
解得：t＝0，
即点；
当AC＝PC时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或．
综上，点P的坐标为：或或或或．
10．（2024•兴庆区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）除原点外，在x轴上是否存在一点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），
由点B、C的坐标得，BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x，﹣x+3），
∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQ＝PQ×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝﹣（x﹣）2+≤，
当x＝时，△CPB的面积最大，
此时，点P的坐标为（，），△CPB的面积的最大值为；
（3）存在，理由：
设点Q（x，0），
由点B、C、Q的坐标得，BQ2＝（x﹣3）2，BC2＝18，CQ2＝x2+9，
当BQ＝CB时，
则（x﹣3）2＝18，
解得：x＝3±3，
即点Q（3±3，0）；
当BQ＝CQ或BC＝CQ时，
则18＝x2+9或（x﹣3）2＝9，
解得：x＝﹣3（不合题意的值已舍去），
即点Q（﹣3，0），
综上，（3±3，0）或（﹣3，0）．
11．（2024•梅州模拟）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）直线x＝t（0＜t＜5）交二次函数y＝ax2+bx+c的图象于点P，交直线AC于点Q，是否存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，若存在，请求出这样的t值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x﹣5）（x+1）＝a（x2﹣4x﹣5），
则﹣5a＝﹣5，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）存在，理由：
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x﹣5，
则点P（t，t2﹣4t﹣5）、点Q（t，t﹣5），
由点P、Q、C的坐标得，PQ2＝（﹣t2+5t）2，PC2＝t2+（t2﹣4t）2，CQ2＝2t2，
当PQ＝CQ时，
则（﹣t2+5t）2＝2t2，
解得：t＝0（舍去）或3或4；
当PQ＝PC或PC＝CQ时，
则（﹣t2+5t）2＝t2+（t2﹣4t）2或t2+（t2﹣4t）2＝2t2，
解得：t＝5﹣或3，
综上，t＝5﹣或3或4．
12．（2024春•锡山区期中）如图1，二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝OC．点P为抛物线第二象限上一动点．
（1）直接写出该二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ；
（2）连接PA、PC、BC，求四边形ABCP面积的最大值；
（3）如图2，连结BP交AC于点H，过点P作y轴的平行线交AC于点Q．当△PQH为等腰三角形时，求出点P的坐标．
【解答】解：（1）OA＝OC＝3，
则点A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝9a﹣6a+3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图2，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点Q（m，m+3），
则PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m，
则四边形ABCP面积＝S△ABC+S△ACP＝AB×CO+PQ×AO＝4×3+（﹣m2﹣3m）×3＝（﹣m2﹣3m）+6，
∵＜0，
故四边形ABCP面积存在最大值，
当m＝﹣时，四边形ABCP面积的最大值为；
（3）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点Q（m，m+3），
由点B、P的坐标得，直线BP的表达式为：y＝﹣（m+3）（x﹣1），
联立上式和直线AC的表达式得：﹣（m+3）（x﹣1）＝x+3，
解得：xH＝，则点H的坐标为：（，+3），
由直线AC的表达式知，其和x轴正半轴的夹角为45°，
如果PH＝PQ，则∠PHQ＝45°，则∠QPH＝90°，故PH＝PQ不存在，
则QH＝（xH﹣xQ）＝（﹣m），
而PQ＝﹣m2﹣3m，
当PH＝QH时，
则点H在PQ的中垂线上，则yH＝（yP+yQ），
∴+3＝（﹣m2﹣2m+3+m+3），
解得：m＝﹣3（舍去）或﹣2，
即点P（﹣2，3）；
当PQ＝QH时，即（﹣m）＝﹣m2﹣3m，
解得：m＝﹣3（舍去）或﹣4，
即点P（，6﹣7），
综上，点P的坐标为：（﹣2，3）或（，6﹣7）．