全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 17二次函数与圆（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 17二次函数与圆（含答案解析版），共24页。试卷主要包含了两点，与y轴交于点C，已知，定义，，直线l是对称轴等内容，欢迎下载使用。
性质：‌外接圆的圆心性质‌：三角形的外接圆的圆心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，这个交点被称为外心。
‌锐角三角形‌：锐角三角形的外心在三角形内部。
‌直角三角形‌：直角三角形的外心在斜边的中点上。
‌钝角三角形‌：钝角三角形的外心在三角形外部。
1．（2024春•开福区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；
（3）抛物线的顶点为D，过定点Q的直线y＝kx﹣k+3与二次函数交于E、F，△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵二次函数图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）可得3＝a×1×（﹣3），
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）根据题意设设点H纵坐标为h，M（m，h），N（n，h），
则m、n是﹣x2+2x+3＝h两根；
∴m+n＝2，mn＝h﹣3，Δ＝22﹣4（h﹣3）≥0即h≤4，
∵点H到x轴的距离是线段MN的，
∴；
∴；
∴；
解得；
∴；
（3）y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线DK：x＝1，顶点D（1，4），
过E作EK⊥DK于K，过F作FG⊥DK于G，
设E（e，﹣e2+2e+3）、F（f，﹣f2+2f+3），
∴，
，
∵直线y＝kx﹣k+3与二次函数交于E、F，
∴e、f是kx﹣k+3＝﹣x2+2x+3两根，整理得x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴e+f＝2﹣k，ef＝﹣k，
∴（e﹣1）（f﹣1）＝ef﹣（e+f）+1＝﹣k﹣2+k+1＝﹣1，
∴，
∴tan∠DEK＝tan∠FDG，
∴∠DEK＝∠FDG，
∵∠DEK+∠EDK＝90°，
∴∠FDG+∠EDK＝90°，即∠FDE＝90°，
∴△DEF外接圆的圆心为线段EF的中点R，
∵E（e，ke﹣k+3）、F（f，kf﹣k+3），
∴EF的中点R坐标为，
∵e+f＝2﹣k，
∴
令，消去k得y＝﹣2x2+4x+1，
∴△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+1．
2．（2024•兴化市二模）已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M在抛物线上，且M的横坐标为，连接CM，∠ACB与∠BCM相等吗？请说明理由；
（3）如图2，点N是线段AB上任意一点（N不与A，B重合），过点N作NE⊥x轴，交抛物线于点E，连接AE，作△ABE的外接圆⊙P，延长EN交⊙P于点F．试说明点F在某条定直线上．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∠ACB＝∠BCM，理由：
如图1，由点B、C的坐标知，∠ABC＝45°，
M的横坐标为，则点M（，﹣），
过点B作y轴的平行线交CM于点H，
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝3时，y＝﹣4，
即BH＝4＝AB，
∵BC＝BC，∠ABC＝45°＝∠HBC，
∴△BCH≌△BCA（SAS），
则∠ACB＝∠BCM；
（3）连接AF，
设点N（t，0），则点E（t，t2﹣2t﹣3），
∴AN＝t+1，EN＝﹣（t2﹣2t﹣3），BN＝3﹣t，
∵∠AFN＝∠ABE，∠FAN＝∠FEB，
∴△AFN∽△EBN，即，
即，
解得：FN＝1，
即点F在直线y＝1上．
3．（2024春•龙华区月考）已知：二次函数．
（1）求证：不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
（2）设k＜0，当二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×（k﹣）＝（k﹣1）2≥0，
∴不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；
（2）解：当y＝0时，＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝2k﹣1，
∴AB＝＝4，
解得k＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；
（3）解：当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点为C（1，﹣2），
∵AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心为（1，0），半径为2，
∴﹣2≤m≤2时，直线l与△ABC的外接圆有公共点．
4．（2023•翠屏区校级模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）点Q是直线上的一动点，连接OQ，FQ，设△OQF外接圆的圆心为M，当sin∠OQF最大时，求点M的坐标（直接写答案）．
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令y＝0，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）；
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴，
∴，
∴，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有
，
解得：，
∴直线AD的解析式为．
（2）如图，H是OF的中点，M在直线上运动，
∴∠OQF＝∠OMH，
∴，
∴当OM取得最小值时，sin∠OQF的值最大，
∵MO＝MQ，
∴当MQ取得最小值时，sin∠OQF的值最大，
∵当MQ垂直直线时，MQ取得最小值，
∴此时M、Q在二次函数的对称轴直线x＝1上，
∴，
根据对称性，存在，
故：或．
5．（2023秋•宿豫区校级期中）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆，请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为P在 直线x＝2 上；
（3）求△POA周长最小值．
【解答】解：（1）⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由如下：
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，解方程x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3，
∴二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴的交点坐标为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点坐标为C（0，3），
∵，，，
∴，
故⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆；
（2）∵已知二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2图象的顶点为A，交y轴于点C，
∴A（2，0），C（0，4），则二次函数y＝x2﹣4x+4图象与x轴相切，
∴该二次函数的坐标圆与x轴相切，切点为A，
∴PA⊥x轴，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在直线x＝2上，
故答案为：直线x＝2；
（3）取点O关于点A的对称点，连接PC，PO′，CO′，则OP＝O′P，PA＝PC，
∵A（2，0），C（0，4），
∴OC＝4，OA＝O′A＝2，
∴△POA的周长为OP+PA+OA＝O′P+PC+2≥CO′+2，当点C、P、O′共线时取等号，
∵，
∴△POA 周长最小值为．
6．（2023秋•雨花区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R．
（1）求b，c的值；
（2）当△EFR周长最大时，求此时E点坐标及△EFR周长；
（3）连接CE、BE，当△ERC∽△BRE时，求出E点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
（2）∵以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R，
∴∠ERF＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∵OC＝OB＝3，
∴∠CBO＝∠OCB＝45°，
又∵CO∥EH，
∴∠EFC＝∠OCB＝45°，
∴△ERF为等腰直角三角形，
∴当△EFR周长最大时，EF最长，
∵C（0，3），B（3，0），
即可得到直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
设E（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m＝，
当m＝时，EF＝，
∴点E的坐标为，
在Rt△EFR中，ER＝FR＝，△EFR的周长为；
（3）若△ERC∽△BRE，则∠CER＝∠EBR，
∴∠CEB＝90°，
设E（m，﹣m2+2m+3），过点B和E分别作平行于x轴、y轴的直线，垂足为N，直线交于点G，
∵∠CEN+∠BEG＝90°，∠CEN+∠NCE＝90°，
∴∠BEG＝∠NCE，
又∵∠CNE＝∠BGE＝90°，
∴△CNE∽△EGB，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴E，
当点E在对称轴左边时，
∵△ERC∽△BRE，
∴∠REC＝∠RBE，
∵∠REC+∠CEF＝∠RBE+∠FEB＝45°，
∴∠CEF＝∠FEB，
延长EC交x轴于K，
∵直线EK的解析式为y＝（﹣m+2）x+3，
∴K（，0），
∵EF⊥BK，∠CEF＝∠FEB，∴EF垂直平分线段BK，
∴，
解得m＝，
∴点E（，）；
综上所述，点E的坐标为或（，）．
7．（2024•沂源县二模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，OA：OB＝1：3；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数y＝﹣x+b的图象交于A、D两点，连接BD，tan∠ADB＝．
（1）求b的值；
（2）求二次函数的关系式；
（3）在抛物线上，是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线AD和x轴都相切．若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
设点A、B的坐标分别为：（﹣m，0）、（3m，0），
则1＝（3m﹣m），
解得：m＝1，
则点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+b，
解得：b＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
如图，由直线AD的表达式知，∠BAD＝45°，
过点B作BH⊥AD于点H，
∵tan∠ADB＝，
故设HB＝2x，则DH＝3x，
则AH＝BH＝2x，
则AB＝2x＝4，
则x＝，
则AD＝5x＝5，
过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T，
则△ADT为等腰直角三角形，
则AT＝TD＝5，
则点D（4，﹣5），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣5＝a（4+1）（4﹣3），
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；
（3）存在，理由：
当点P在y轴右侧时，如图①，
当以P为圆心的圆与直线AD和x轴都相切，
则点P为∠BAD的角平分线和抛物线的交点，
由直线AD的表达式知，∠DAB＝45°，
而直线m和x轴的夹角为22.5°，
如图②，设△BCD为等腰直角三角形，DA＝CD，则∠C＝22.5°，
设AB＝BD＝x，则AD＝x＝CD，
则tanC＝＝＝﹣1＝tan22.5°，
则直线m的表达式为：y＝﹣（﹣1）（x+1）②，
联立①②得：﹣x2+2x+3＝﹣（﹣1）（x+1），
解得：x＝﹣1（舍去）或2+；
当点P在y轴左侧时，
则点P所在的直线n和m垂直，
故直线n的表达式为：y＝（+1）（x+1）③，
联立①③得：（+1）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1（舍去）或2﹣；
故P点横坐标为2±．
8．（2023秋•中山市期中）如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D．以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）求用m表示的A、B、D三点坐标；
（2）当m为何值时，点M在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣（x+m）（x﹣3m）＝0，
解得x1＝﹣m，x2＝3m；
令x＝0，则y＝﹣（0+m）（0﹣3m）＝m．
故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）；
（2）当m＝1时，点M在直线ED上．理由如下：
设直线ED的解析式为y＝kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k＝，b＝m．
∴直线ED的解析式为y＝mx+m．
将y＝﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y＝﹣（x﹣m）2+m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y＝mx+m得：m2＝m
∵m＞0，
∴m＝1．
∴当m＝1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD＝，OC＝1，
∴CD＝2，D点在圆上
又∵OE＝3，DE2＝OD2+OE2＝12，
EC2＝16，CD2＝4，
∴CD2+DE2＝EC2．
∴∠EDC＝90°
∴直线ED与⊙C相切．
（3），
当0＜m＜3时，，即．
当m＞3时，，即．
综上所述知：．
9．（2023秋•阜宁县期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2），点E是直线y＝﹣x+2的图象与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）联立一次函数与二次函数解析式得：
，
消去y得：﹣x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0或x＝3，
则E（3，1）；
如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），
∴MH＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
S四边形COEM＝S△OCE+S△CME＝×2×3+MH•3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S最大＝；
答：四边形COEM面积的最大值为；
（3）连接BF，如图②所示，
当﹣x2+x+2＝0时，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，OB＝，
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴＝，即＝，
解得：OF＝，
∴F坐标为（0，﹣）．
10．（2024•龙湖区校级一模）如图，二次函数y＝x2﹣6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点（3，2），求PM长的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴A（2，0），B（4，0）．
答：点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴对称轴为x＝3．
设P（m，m2﹣6m+8），
∵PM⊥l，
∴M（3，m2﹣6m+8），
连接MT，则MT⊥PT，
∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为（m﹣3）2﹣r2，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则，
∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，
∵r＞0，
∴r＝1．
假设⊙M经过点N（3，2），则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，
∴M（3，3），
∴m2﹣6m+8＝3，
解得m＝5或1，
∵m＞4，
∴m＝5．
②如图，当点M在点N的下方，
∴M（3，1），
∴m2﹣6m+8＝1，
解得，
∵m＞4，
∴，
综上所述，PM＝m﹣3＝2或，
∴当⊙M不经过点N（3，2）时，PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
答：PM长的取值范围为： 或＜PM＜2或PM＞2．
11．（2024•市中区校级模拟）二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）与x轴的另一交点为点B．
（1）求b，c的值；
（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP∥y轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出的值．
【解答】解：（1）把点A （﹣1，0）和点C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得：，解方程组得：，
∴，c＝﹣3；
（2）存在，理由如下：
如图所示，由（1）可知二次函数的解析式为：，令，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，所以点 A （﹣1，0），点B （4，0），
∵点C （0，﹣3），
∴AB＝BC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
根据坐标圆的定义，⊙Q经过点A、B、C，
∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点．
∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴，
∵点 A （﹣1，0），点C （0，﹣3），
∴AC的中点F的坐标为，
∴AC垂直平分线BF的解析式为，
∴点Q坐标为（，），
在Rt△QNB中，QB＝＝＝．
所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为（，）；
（3）设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B （4，0）、C （0，3）的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴BC直线的解析式为：，
⊙M与坐标轴相切，有两种情况，
①当⊙M与y轴相切时，如图所示：
过点M作MD⊥y轴，垂足为点D，
则点D为⊙M与y轴的切点，即PM＝DM＝x，
设P，则M，
则PM＝（）﹣（），
∴（）﹣（）＝x解得：x1＝，x2＝0，
当x＝0时，点M与点C重合，不合题意舍去；
∴⊙M的半径为DM＝，
∴M（，﹣1），
∵MD⊥y轴，
∴MD∥x轴，
∴△CDM∽△COB，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝2；
②当⊙M与x轴相切时，如图所示：
延长PM交x轴于点E，由题意可知：
点E为⊙M与x轴的切点，所以PM＝ME，
设P，M，
则PM＝（）﹣（），ME＝﹣x+3，
∴（）﹣（）＝﹣x+3，
解得：x1＝1，x2＝4，
当x＝4时，点M与点B重合，所以不合题意舍去，
∴⊙M的半径为：PM＝ME＝+3＝，
∴M（1，），
∵PM∥y轴，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝，
综上所述，值是2或．