全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 19新定义（不含答案版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 19新定义（不含答案版），共27页。试卷主要包含了2+2就是“友好二次函数”，定义，我们约定，关于原点O互为“伴随函数”等内容，欢迎下载使用。
A．c＝﹣2B．C．当x＝t时，y1+y2＝﹣2t D．不论x取何值，y1+y2＝0
2．（2023秋•颍东区期中）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[1，m﹣2，2m+1]的二次函数的一些结论：①当m＝2时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＜0且x＜1时，y随x的增大而减小；④当m＝2时，若A（﹣1，y1），B（3，y2），则y1＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋•南岗区期中）定义：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离为 ．
4．（2024秋•信阳期中）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b叫作一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”，一次函数y＝ax﹣b叫作二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，则二次函数y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是 ．
5．（2024秋•大连月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”．
（1）直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为 ；
（2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（3）若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．
①当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值；
②已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
6．（2024•锦江区校级模拟）在平面直角坐标系中给出以下定义：点A（m，n），点B（m2，n2），m2＝3m，n2＝﹣6n，则我们称B是A的“跳跃点”，若二次函数y＝ax2﹣5ax﹣6a（x≥0）的图象上恰有两个点的“跳跃点“在直线y＝﹣2x+36上，则a的取值范围为 ．
7．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
8．（2024•盐城一模）我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数y1与函数y2互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则k＝ ；m＝ ；n＝ ．
（2）对于任意非零实数r、s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数的图象上运动，函数y2与y1互为“共赢”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象与直线交于A、B两点，且AB长为，求y2的函数表达式；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数y2的图象顶点分别为点A、点B．若函数y1，y2的图象交于不同两点C，D，且四边形ACBD为菱形，∠CAD＝60°，请求出该菱形面积的取值范围．
9．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
10．（2024•张店区二模）我们定义：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣ax2+bx﹣c（a≠0）关于原点O互为“伴随函数”．
（1）请直接写出二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于原点O的“伴随函数”的函数表达式；
（2）若点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，请证明点P′（﹣m，﹣n）在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上．
11．（2024•铁东区二模）定义：若二次函数图象与一次函数图象交于两点，且其中一个交点是二次函数的顶点，则称这两点间的线段为此二次函数与一次函数的“顶点截线段”．
在数学活动课上，老师展示图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4交于P，A两点，与y轴交于点B，且点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点（点P与点C，点D不重合），直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于D，C两点．老师要求同学们探究此情境下顶点截线段的长是否存在规律？
【形成猜想】
智慧小组同学分别画出点P的横坐标为1，2，3时的图象，并量出相应的“顶点截线段”长，发现它们的长度相等，进而形成猜想“顶点截线段”PA的长是定值．
【进行验证】
智慧小组同学通过计算求得点P的横坐标为1，2，3时“顶点截线段”PA的值，验证了他们的猜想．
（1）当点P的横坐标为2时，请你求出抛物线的解析式（化为一般式）及“顶点截线段”PA的长度．
【推理证明】
（2）智慧小组同学得到的猜想：二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”PA的长度为定值，是否正确？请你判断，并说明理由．
【拓展延伸】
老师在同学们分析、探究后，提出下面问题：
（3）点Q为射线CD上一点（点Q与点C，点D不重合），且点Q为二次函数L1：y＝a1x2+b1x+c1与二次函数L2：y＝a2x2+b2x+c2的顶点，二次函数L1和L2与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”分别为线段QC，线段QD，二次函数L2的图象与x轴另一交点为点E，若a2＝3a1，求△CDE的面积．
12．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为 ，其友好同轴二次函数为 ，两个函数表达式的二次项系数的关系是 ；
（2）已知二次函数C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），其友好同轴二次函数记为C2．
①若函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段AB的长；
②当﹣3≤x≤0时，函数C2的最大值与最小值的差为8，求a的值．
13．（2020秋•景德镇期末）定义：若二次函数y＝a1（x﹣h）2+k的图象记为C1，其顶点为A（h，k），二次函数y＝a2（x﹣k）2+h的图象记为C2，其顶点为B（k，h），我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k经过C2的顶点B，且C2：y＝a2（x﹣k）2+h经过C1的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
（1）所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是 命题．（填“真”或“假”）
（2）试求出y＝x2﹣4x+5的“反顶伴侣二次函数”．
（3）若二次函数C1与C2互为“反顶伴侣二次函数”，试探究a1与a2的关系，并说明理由．
分类二：若二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k可以绕点M旋转180°得到二次函数C2：y＝a2（x﹣k）2+h，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是 命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，C1，C2互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且EF∥GQ∥x轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数C1，C2的顶点有什么关系．并说明理由．
14．（2021秋•山西月考）阅读以下材料，并解决相应问题．
小聪在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：若二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小聪是这样思考的．由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小聪的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
15．（2024秋•昆山市期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（2，4）是函数y＝x+2的图象的“2倍点”．
（1）一次函数y＝3x+1的图象的“2倍点”的坐标是 ，二次函数y＝x2﹣3的图象的“2倍点”的坐标是 ；
（2）若关于x的二次函数y＝x2+3x+2﹣c（c为常数）的图象在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围；
（3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且BC＝3AB，求m，n的值．
16．（2024秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y﹣x称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣5，1）的“纵横值”为 ；
②函数的“最优纵横值”为 ；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k图象的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
17．（2024秋•思明区校级月考）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
18．（2024秋•献县月考）定义：如果二次函数（a1≠0，a1＝2，b1，c1为常数）与（a2≠0，a2，b2，c2为常数）满足a1+a2＝0，且过相同的两个点，那么这两个函数l1，l2称为“可对称函数”．
二次函数与它的“可对称函数”l2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求l2的函数表达式；
（2）设二次函数l1，l2的顶点分别为D，E，在（1）的条件下．
①如图1，将抛物线l2向右平移，当点E落在抛物线l1上时，设交点为G，连接DG，求DG的长度；
②如图2，连接AD，过点E作EF∥AD交图象l1于点F，直接写出点F的坐标．
19．（2024秋•西湖区校级月考）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；
（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；
（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．
20．（2024秋•诸暨市校级月考）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标的﹣2倍的点，则称该点为这个函数图象的“逆倍点”．
（1）若点M（a，﹣2a）是二次函数y＝x2+2x的图象上的“逆倍点”，则a＝ ．
（2）若点P（p，2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“逆倍点”A（x1，﹣2x1），B（x2，﹣2x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果z＝b2+4b+1，请求出z的取值范围．
21．（2024秋•番禺区校级月考）我们定义：把y2＝ax叫做函数y＝ax2的伴随函数．比如：y2＝x就是y＝x2的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y＝ax2（a≠0的常数），若点（m，n）在函数y＝ax2的图象上，则点（﹣m，n）也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于y轴对称．解答下列问题：
（1）y2＝x的图象关于 轴对称；
（2）①直接写出函数y＝4x2的伴随函数的表达式 ；
②在如图①所示的平面直角坐标系中画出y＝4x2的伴随函数的大致图象；
（3）若直线y＝kx﹣3k（k≠0）与y＝4x2的伴随函数图象交于A、B两点（点A在点B的上方），连接OA、OB，且△ABO的面积为12，求k的值；
22．（2023秋•洪泽区校级期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1．试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．
23．（2023秋•天宁区校级月考）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．例如，点（2，3）为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．
（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 （只填序号）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是 ；
②当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．
24．（2023秋•鲤城区校级月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”．
（1）若一次函数y＝kx+2k﹣1的图象上有一个“萌点”的横坐标是﹣3，求k值；
（2）若二次函数的图象上没有“萌点”，求k的取值范围．
25．（2023秋•姑苏区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝ ；
（3）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣2x2+4nx﹣n2的相关函数的最小值为﹣1，求n的值．
26．（2023秋•石峰区月考）定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“沉毅点”．例如：直线y＝3x﹣2上存在的“沉毅点”是P（2，4）．
（1）判断直线y＝﹣x+4上是否有“沉毅点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2﹣k上存在两个“沉毅点”A（x1，y1）和B（x2，y2）且|x1﹣x2|＝2，求k的值；
（3）若二次函数的图象上存在唯一的“沉毅点”，且当﹣2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
27．（2022•荔城区校级开学）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
（1）若二次函数y＝x2+bx+2的图象上存在唯一的“等值点”，求b的值；
（2）若将函数y＝﹣x2+2的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标；
（3）若将函数y＝﹣x2+2的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的m值．
28．（2024•岳麓区校级三模）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”．
（1）当这个常数为1时，下列函数存在“晨点”的请划“√”，不存在的请划“×”．
①y＝x﹣3（ ）；
②（ ）；
③y＝﹣x2（ ）．
（2）若二次函数y＝﹣x2+4ax+a有且只有一个“晨点”，且点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；
（3）已知A（a，0），B（b，0），其中a＜0＜b，“晨点”C在y轴上，直线AC和直线BC上的另一个“晨点”分别为D，E，若四边形ABDE能组成平行四边形，且有四边形ABDE面积不超过4，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由．
29．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）二次函数y＝2（x+3）2﹣2的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的解析式为 ；
（2）若二次函数M的5阶变换的关系式为．
①二次函数M的解析式为 ；
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为B，P是y轴上的一个动点，请求出使△PAB周长最小时，点P的坐标．
30．（2023秋•秦淮区校级月考）【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”．例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y＝．
【概念理解】
（1）已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有 ；
【拓展探究】
（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
【深度思考】
（3）已知，B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．
31．（2023•同安区二模）定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），把形如y＝的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对联函数．如图，已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（﹣3，3），D（﹣3，1）．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2x+c，若点Q（0，4）在这个二次函数图象上，求该二次函数的对联函数；
（2）在（1）的条件下，求出这个二次函数的对联函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标；
（3）当二次函数y＝x2﹣bx（b＞0）的对联函数的图象与矩形ABCD只有2个交点时，求b的取值范围．
32．定义：如果二次函数是常数）与是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（2m+n）2025的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
33．（2024•长沙模拟）定义：如果实数m，n满足m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，且m≠n，t为常数，那么称点P（m，n）为“改革创新点”，例如点（﹣2，0）是“改革创新点”．
（1）（1，1），（5，﹣3），（﹣3，1）三个点中，点 是“改革创新点”；
（2）设函数（x＜0），y＝x﹣b（b＞0）的图象的“改革创新点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若点Q（a，b）是“改革创新点”，用含t的表达式表示ab，并求二次函数y＝t2﹣3t+3的函数值y的取值范围．
34．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．
函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”．
【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上．
点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2；
函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 ；
②求出函数y＝+x（2≤x≤4）的“最优纵横值”；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x＝上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
35．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围．
36．（2024春•长沙期末）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
37．（2024•焦作模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M（x，y）在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点（0，1）和（2，2），则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
（1）当n＝1时，若一次函数y＝kx+t（k≠0）是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，正方形OABC的“整点函数的图象经过BC边上的点D，与边AB相交于点E，请直接写出m的值 ．
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点B．若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
38．（2024•本溪二模）定义：在平面直角坐标系中，图象上任意一点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差即y﹣x的值称为点P的“坐标差”，例如：点A（3，7）的“坐标差”为7﹣3＝4，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”．
理解：
（1）求二次函数y＝﹣x2+7x+1的图象的“特征值”；
运用：（2）若二次函数y＝﹣x2﹣bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴，y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：（3）如图，矩形ODEF，点O为坐标原点，点E的坐标为（7，4），点D在x轴上，点F在y轴上，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为3的函数图象1上．
①当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
②当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出p的取值范围．
参考公式：y＝ax2+bx+c（c≠0）＝a（x+）2+．
39．（2024•丹东二模）定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过Rt△ABC的两个顶点，则函数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，当自变量x满足x1≤x≤x2时，此时函数R的最大值记为ymax，最小值记为ymin，h＝，则h是Rt△ABC的“DX”值．
已知：在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC∥y轴．
（1）如图，若点C坐标为（1，1），AC＝BC＝4．
①一次函数y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出Rt△ABC的“DX”值，若不是，请说明理由；
②是否存在反比例函数y2＝（k≠0）是Rt△ABC的“勾股函数”，若存在，求出k值，不存在，说明理由．
（2）若点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，m），二次函数y3＝x2+bx+c是Rt△ABC的“勾股函数”．
①若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，C两点，则Rt△ABC的“DX”值h＝ ；
②若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，B两点，且与Rt△ABC的边有第三个交点，求m的取值范围；
③若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，B两点，且Rt△ABC的“DX”值h＝，求m的值．
40．（2024春•海门区校级月考）对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足m≤x≤n（m，n为实数，m＜n）时，函数y有最大值，且最大值为2n﹣2m，则称该函数为理想函数．
（1）当m＝﹣1，n＝2时，在①y＝x+3；②y＝﹣2x+4中， 是理想函数；
（2）当n＝3m+2时，反比例函数y＝是理想函数，求实数m的值；
（3）已知二次函数y＝x2﹣nx+m2+2m﹣3是理想函数，且最大值为2m+4．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为C，（x1，y1），（x2，y2）是图象C上两个不同的点．若x1+x2＝4，求证：y1+y2＞﹣6．
41．（2024春•越秀区校级月考）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．
例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”
（1）函数的图象上是否存在点（1，﹣1）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣3，求证：y1﹣y2≥4；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣nx﹣6n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+3上，求n的取值范围．
42．（2024•株洲模拟）定义：对于函数，当自变量x＝x0，函数值y＝x0时，则x0叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数y＝的不动点是 ．
（2）如图，若二次函数 y＝ax2+bx 有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为（2，4）．
①求该二次函数的表达式；
②连接OP，M是线段OP上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点Q（m，0）满足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最
大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为 （x1，y1） 和 （x2，y2），则点E和点F的距离为|EF|＝．
43．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
44．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数），
（1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 ；
（2）若该函数经过点（1，﹣6）；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值；
（3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．
45．（2024•盐城二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点（x，y1），（x，y2）（x为自变量取值范围内的任意数），都有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：y1＝x和y2＝互为“中心对称函数”．
（1）如果点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，那么三个数x，y1，y2满足的等量关系是 ；
（2）已知函数：①y＝﹣2x和y＝2x；②y＝﹣x+3和y＝3x﹣3；③y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1，其中互为“中心对称函数”的是 （填序号）；
（3）已知函数y＝3x﹣4的“中心对称函数”的图象与反比例函数（m＞0）的图象在第一象限有两个交点C，D，且△COD的面积为4．
①求m的值； ；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数”的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（4）已知三个不同的点M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“中心对称函数”的图象上，且满足m＜n＜c．如果t2恒成立，求w的取值范围．
46．（2024•开福区校级一模）定义：有两个内角和为45°的三角形为“美好三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“美好三角形”，如果是，请在对应的横线内画“√”，如果不是，请在对应的横线内画“×”；
①有一个角为30°的直角三角形；
②有一个角为45°的直角三角形；
③有一个角为135°的三角形；
（2）如图①，直线：y＝x与双曲线：y＝（x＞0）相交于点M，点N在x的正半轴上，若△MNO是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
（3）如图②，二次函数：y＝ax2+bx+c的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在△ABC内部，连接，AO，AD，BD，CD，当△AOC、△DBC、△ADB均为“美好三角形”，此时△DBC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△ADB的面积为S3，当S3＝m时，求S1和S2的表达式（用含m的式子表示）
47．（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点M（x，y）在等腰直角三角形OAB边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．
若某函数的图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．
（1）如图1，当n＝2时，一次函数y＝kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为 （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过C（1，2），判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下P（a+1，y1），Q（a+2，y2）是二次函数y＝ax2+bx+2图象上两点，若点P、Q之间的图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3|a|，求a的值
48．（2024•盐都区校级一模）定义：当m≤x≤n（m，n为常数，m＜n）时，函数y最大值与最小值之差恰好为3n﹣3m，我们称函数y是在m≤x≤n上的“雅正函数”，“3n﹣3m”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在1≤x≤2上的“雅正函数”为 .（填序号）
①y＝﹣2x+3；②；③y＝﹣x2+2024．
【尝试应用】
（2）若一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，k1＞0）和反比例函数（k2为常数，k2＜0）都是在﹣3≤x≤﹣1上的“雅正函数”，求k1•k2的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数y＝x2﹣mx﹣n是在m≤x≤n（m，n为常数，m＞0）上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求m、n的值；
②若该二次函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为二次函数y＝x2﹣mx﹣n图象上一点，且点D的横坐标为﹣2，点F、点H是线段BD上的两个动点（点F在点H的左侧），分别过点F、点H作y轴的平行线交抛物线于点E、点G，如果BD＝tFH，其中t为常数．试探究：是否存在常数t，使得S△DEF+S△BHG为定值．如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【参考公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）】
49．（2024•楚雄市二模）定义：对于一次函数y＝kx+m（k，m是常数，k≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如果k＝2a，m＝b，那么一次函数y＝kx+m叫做二次函数y＝ax2+bx+c的牵引函数，二次函数y＝ax2+bx+c叫做一次函数y＝kx+m的原函数．
（1）若二次函数（a是常数，a≠0的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
（2）已知一次函数y＝2x﹣2m是二次函数y＝ax2+bx+m2+1的牵引函数，在二次函数y＝ax2+bx+m2+1上存在两点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）．若M（2，y3）也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且t≥|y2﹣y1|，求m的取值范围．
50．（2024•集美区二模）定义：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当自变量x满足p≤x≤q时，函数值y的取值范围也为p≤y≤q，则称二次函数y＝ax2+bx+c是p≤x≤q上的“等域函数”．
已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B．
（1）若b＝﹣2，且抛物线经过点（1，0），（0，1）．
①求a，c的值；
②若y＝ax2+bx+c是0≤x≤t（t＞2）上的“等域函数”，求t的值；
（2）在a＜b＜c的情况下，记点B的横坐标为xB，经过点B的直线y＝﹣ax+m与抛物线交于点C（xC，yC）．若，是否存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
51．（2024•灯塔市校级模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3⩽x⩽6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3⩽x⩽6）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 ；
②函数的“最优纵横值”为 ；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7求h的值．
52．（2024•河东区一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）．
（1）若该函数经过点（1，﹣6），求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值；
（3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．
53．（2024•新邵县二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d）．若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
（2）点与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点，若y1﹣y2≥3，求证：k≤﹣2．
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
54．（2024•洛阳二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．
（1）点G（﹣3，﹣3）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ；
（2）如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在0＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ．
55．（2024•娄星区一模）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（4，7）的“坐标差”为 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+6的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，且b+c＝1，求此二次函数的解析式；
（3）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
56．（2024秋•宝山区校级月考）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”．
（1）如图，若抛物线M经过（3，0）和点A（1，0）和（0，3），则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由．
（2）若直线y＝kx+b交抛物线于A，B（4，3）两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）求直线y＝﹣的最值点．
57．（2020秋•綦江区校级月考）对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）的顶点坐标为 ．
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标为 ．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+5x﹣2是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
58．（2024春•工业园区校级月考）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|++（c1+c2）2＝0，则称函数y1与y2“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
59．（2024秋•东阳市月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）当a＝1，c＝2时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．
60．（2023秋•开福区校级期末）定义：若直线l：y＝kx+b与函数G交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且，其中|xA﹣xB|叫做函数G在直线l上的截距．
（1）求出y＝ax2﹣5ax+6a在x轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
（3）若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数a的值；
②若﹣1＜a＜2，求该二次函数在直线BC上的截距的取值范围．