全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 19新定义（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 19新定义（含答案解析版），共105页。试卷主要包含了2+2就是“友好二次函数”，定义，我们约定，关于原点O互为“伴随函数”等内容，欢迎下载使用。
A．c＝﹣2
B．
C．当x＝t时，y1+y2＝﹣2t
D．不论x取何值，y1+y2＝0
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+n＝ax2+2am+am2+n，它的“旋转函数”为y＝﹣a（x﹣m）2﹣n＝﹣ax2+2am﹣am2﹣n，
∴如果二次函数y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y2＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）是互为“旋转函数”，则满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴y1+y2＝（b1+b2）x，
∴如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，则，
解得b＝﹣，c＝2，
∴y1+y2＝（b﹣c）x＝﹣x，
∴当x＝t时，y1+y2＝﹣2t，
故A、B、D错误，不合题意，C正确符合题意．
故选：C．
2．（2023秋•颍东区期中）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[1，m﹣2，2m+1]的二次函数的一些结论：①当m＝2时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＜0且x＜1时，y随x的增大而减小；④当m＝2时，若A（﹣1，y1），B（3，y2），则y1＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由特征数的定义可知：特征数为[1，m﹣2，2m+1]的二次函数的解析式为y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，
①当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，函数图象的对称轴是y轴，故①正确；
②当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，开口向上，点的坐标为（0，5），函数图象不过原点，故②错误；
③当m＜0且x＜1时，二次函数的解析式为y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＞1，函数图象开口向上，x＜1时，y随x的增大而减小，故③正确；
④当m＝2时，二次函数解析式为y＝x2+5，y轴为对称轴，A（﹣1，y1），B（3，y2），距离对称轴越远，函数值越大，所以y1＜y2，故④正确；
正确的有：①③④三个．
故选：C．
3．（2023秋•南岗区期中）定义：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，则此二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离为 2 ．
【解答】解：根据题意二次函数的图象经过点（1，0），（﹣1，0），
所以二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离为1﹣（﹣1）＝2．
故答案为：2．
4．（2024秋•信阳期中）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b叫作一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”，一次函数y＝ax﹣b叫作二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，则二次函数y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是 y＝﹣3x﹣1 ．
【解答】解：∵y＝ax﹣b的“滋生函数”是y＝ax2﹣4x+a+2，
∴y＝ax2﹣4x+a+2＝ax2+（a﹣b）x﹣b，即，
解得，
∴y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函数”是y＝﹣3x﹣1，
故答案为：y＝﹣3x﹣1．
5．（2024秋•大连月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a，2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”．
（1）直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为 ；
（2）若“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（3）若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．
①当m﹣1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值；
②已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）设直线y＝4x﹣1上的“友好点”的坐标为（b，2b），
∴2b＝4b﹣1，
解得：，
∴，
∴直线y＝4x﹣1上的“友好点”坐标为，
故答案为：；
（2）∵函数y＝﹣x2+bx+c是“友好二次函数”，设它的顶点为（h，2h），
∴y＝﹣（x﹣h）2+2h，
由题意知，“友好二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，
∴与y轴交点为（0，0），
将（0，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+2h得：
0＝﹣h2+2h，
解得：h1＝0，h2＝2，
当h＝0时，y＝﹣x2；
当h＝2时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴这个“友好二次函数”的表达式为y＝﹣x2或y＝﹣x2+4x；
（3）“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），且顶点在第一象限．设“友好二次函数”的解析式为，
∴，
解得h1＝2，h2＝﹣14，
∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴h＞0，
∴h＝2，
∴．
①∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4），
当m≤2时，m﹣1≤x≤m在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m≤2，
∴，
当，即2＜m≤3时，函数的最小值为4，
∴不存在最小值为6；
当m﹣1＞2，即m＞3时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝m﹣1时，函数有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m＞3，
∴，
综上所述，m的值为或；
②．已知点M（5，4），N（1，n），线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点，如图，
∵N（1，n），
∴点N在直线x＝1上运动，
设直线x＝1与“友好二次函数”交于点C，
当x＝1时，，
∴，
设二次函数的顶点为A，
∴A（2，4），
∵M（5，4），
∴当点B的坐标为（1，4）时，此时点B、A、M共线且与二次函数的图象只有一个交点，
当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点；
当点N在点B时，线段MN与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为或n＝4．
6．（2024•锦江区校级模拟）在平面直角坐标系中给出以下定义：点A（m，n），点B（m2，n2），m2＝3m，n2＝﹣6n，则我们称B是A的“跳跃点”，若二次函数y＝ax2﹣5ax﹣6a（x≥0）的图象上恰有两个点的“跳跃点“在直线y＝﹣2x+36上，则a的取值范围为 0＜a≤1且a≠ ．
【解答】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
由题意得点C（m，n）的“跳跃点”为（3m，﹣6n），
将（3m，﹣6n）代入y＝﹣2x+36，得：n＝m﹣6，
∴C（m，m﹣6），则点C在直线y＝x﹣6上，同理点D也在直线y＝x﹣6上，
对于二次函数y＝ax2﹣5ax﹣6a（x＞0），
令y＝0，则ax2﹣5ax﹣6a＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
∴抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（6，0），
当a＞0时，抛物线与直线CD的大致图象如图：
联立直线CD和抛物线的表达式得到：
ax2﹣5ax﹣6a＝x﹣6，
∴a（x﹣6）（x+1）＝x﹣6，
∴（x﹣6）[a（x+1）﹣1]＝0，
解得：x＝6或x＝，
∵a＞0，x≥0，
∴1﹣a≥0，
∴a≤1，
对于ax2﹣5ax﹣6a＝x﹣6，化简为：ax2﹣（5a+1）x+6﹣6a＝0，
而直线CD和抛物线在x≥0时有两个交点，故△＞0，
∴Δ＝（5a+1）2﹣4a（6﹣6a）＝49a2﹣14a+1＝（7a﹣1）2＞0，
∴a≠，
∴0＜a≤1且a≠，
当a＜0时，如图：
直线CD不可能与抛物线在x≥0时有两个交点，故舍，
综上：0＜a≤1且a≠．
7．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），
∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，
故答案为：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
则x′（﹣c）＝，
∴x′＝﹣，
∴B（﹣，0），
∴OB＝||，OA＝c，
∵OB＝OA，
∴||＝c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
∴，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
∴，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1，
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n＝﹣﹣1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
∴，
∴n＝，
综上所述，n的值为1或﹣﹣1或．
8．（2024•盐城一模）我们约定：若关于x的二次函数与，则称函数y1与函数y2互为“共赢”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“共赢”函数，则k＝ ﹣1 ；m＝ 2 ；n＝ ﹣3 ．
（2）对于任意非零实数r、s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数的图象上运动，函数y2与y1互为“共赢”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象与直线交于A、B两点，且AB长为，求y2的函数表达式；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“共赢”函数y2的图象顶点分别为点A、点B．若函数y1，y2的图象交于不同两点C，D，且四边形ACBD为菱形，∠CAD＝60°，请求出该菱形面积的取值范围．
【解答】解：（1） 与为“共赢”函数，
∴a＝﹣3＝n，b＝k＝﹣1，c＝2＝m，
故答案为：﹣1，2，﹣3；
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）始终在关于x的函数 的图象上运动，
∴对称轴为，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为直线x＝﹣＝；
②联立得：
，
∴xA+xB＝﹣，xA•xB＝＝﹣．
∵，
∴|xA﹣xB|＝1，
∴＝1，
∴＝1．
∴，
即：（5r+1）（r﹣1）＝0，
解得：r＝1或r＝﹣，
将它们分别代入中得： 1或 ．
（3）解：∵，，
∴，．
同理：，．
联立， 得：
（a﹣c）x2+2bx+c﹣a＝0，
∴．
∵四边形ACBD是菱形，
∴xC+xD＝xA+xB，
∴，
∴（a+c）2＝0，
∴c＝﹣a，
∴xA＝xB，
即：AB∥y轴，
设a＞0，
∵∠CAD＝60°，
∴，
∴，
将a＝﹣c代入（a﹣c）x2+2bx+c﹣a＝0得：
ax2+bx﹣a＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：（b2+4a2）（b2+4a2﹣12）＝0，
∵b2+4a2≠0，
∴b2+4a2﹣12＝0，
即：b2+4a2＝12，
∴，，
∴S＝AB•CD•，
∵b2+4a2＝12，
∴0＜a2≤3，
∴．
∴．
该菱形面积的取值范围为：．
9．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x＝，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为x＝．
答：函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴过定点（0，1），（）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（）．
（3）由题意可知，，
∴，
∴CD＝，EF＝，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．
10．（2024•张店区二模）我们定义：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣ax2+bx﹣c（a≠0）关于原点O互为“伴随函数”．
（1）请直接写出二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于原点O的“伴随函数”的函数表达式；
（2）若点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，请证明点P′（﹣m，﹣n）在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣ax2+bx﹣c（a≠0）关于原点O互为“伴随函数”．
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3关于原点O互为“伴随函数”为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴n＝m2﹣2m﹣3，
该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数为y＝﹣x2﹣2x+3，
当x＝﹣m时，y＝﹣（﹣m）2﹣2（﹣m）+3＝﹣m2+2m+3＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣n，
∴点P′（﹣m，﹣n）在该二次函数关于原点O的“伴随函数”的函数图象上；
11．（2024•铁东区二模）定义：若二次函数图象与一次函数图象交于两点，且其中一个交点是二次函数的顶点，则称这两点间的线段为此二次函数与一次函数的“顶点截线段”．
在数学活动课上，老师展示图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4交于P，A两点，与y轴交于点B，且点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点（点P与点C，点D不重合），直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于D，C两点．老师要求同学们探究此情境下顶点截线段的长是否存在规律？
【形成猜想】
智慧小组同学分别画出点P的横坐标为1，2，3时的图象，并量出相应的“顶点截线段”长，发现它们的长度相等，进而形成猜想“顶点截线段”PA的长是定值．
【进行验证】
智慧小组同学通过计算求得点P的横坐标为1，2，3时“顶点截线段”PA的值，验证了他们的猜想．
（1）当点P的横坐标为2时，请你求出抛物线的解析式（化为一般式）及“顶点截线段”PA的长度．
【推理证明】
（2）智慧小组同学得到的猜想：二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”PA的长度为定值，是否正确？请你判断，并说明理由．
【拓展延伸】
老师在同学们分析、探究后，提出下面问题：
（3）点Q为射线CD上一点（点Q与点C，点D不重合），且点Q为二次函数L1：y＝a1x2+b1x+c1与二次函数L2：y＝a2x2+b2x+c2的顶点，二次函数L1和L2与一次函数y＝﹣x+4的“顶点截线段”分别为线段QC，线段QD，二次函数L2的图象与x轴另一交点为点E，若a2＝3a1，求△CDE的面积．
【解答】解：（1）由题意得，点P（2，2.5），
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+2.5＝﹣x2+4x﹣1.5，
联立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣x2+4x﹣1.5，
解得：x＝2或，
则|xA﹣xP|＝，
由直线AP的表达式知，tan∠CDO＝，则cs∠COD＝，
设AP和水平线的夹角为α，则csα＝，
则AP＝＝×＝；
（2）为定值，理由：
设点P（t，﹣t+4），
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
联立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
整理得：4x2﹣（8t+3）x+4t2+3t＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝，
则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝，
即|xP﹣xA|＝，
由（1）知，AP＝为定值；
（3）由题意画图如下：
设a2＝3a1＝a，点Q（t，﹣t+4），
则L1的表达式为：y＝a（x﹣t）2﹣t+4，
将点C（0，4）代入上式得：4＝a（0﹣t）2﹣t+4，
则at2＝t，
∵t≠0，则at＝；
则L2的表达式为：y＝3a（x﹣t）2﹣t+4，
将点D（，0）代入上式得：
0＝3a（﹣t）2﹣t+4，
则3a（﹣t）2﹣t+4＝0，
则3at2+a﹣32at﹣t+4＝0，
将at＝代入上式得：
t+﹣20＝0，
即9t﹣512×﹣120＝0，
即9t﹣﹣120＝0，
即3t2﹣40t+128＝0，
解得：t＝8（负值已舍去），
则xQ﹣xD＝8﹣＝，则DE＝，
则△CDE的面积＝DE×CO＝4×＝．
12．（2023秋•嘉兴期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为 x＝ ，其友好同轴二次函数为 y＝4x2﹣4x+1 ，两个函数表达式的二次项系数的关系是 和为1 ；
（2）已知二次函数C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），其友好同轴二次函数记为C2．
①若函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段AB的长；
②当﹣3≤x≤0时，函数C2的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【解答】解：（1）由函数y＝﹣3x2+3x+1的对称轴为直线x＝＝﹣，
根据定义：其友好同轴二次函数的二次项系数为1﹣（﹣3）＝4，
∵对称轴为直线x＝＝，
∴一次项系数为：，常数项为：1
∴其友好同轴二次函数为：y＝4x2﹣4x+1，
则二次项系数之和为1，
故答案为：4x2﹣4x+1；二次项系数之和为1；
（2）①∵C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），
∴其友好同轴二次函数C2为y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
∵函数C1的图象与函数C2的图象交于A、B两点，
∴ax2+4ax+4＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
即（2a﹣1）x2+4（2a﹣1）x＝0，
∴x2+4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4，
则y＝4或y＝4，
则A（﹣4，4），B（0，4），
∴AB＝4；
②由①知：C2：y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
则对称轴为：x＝﹣2，
∵﹣3≤x≤0，
当1﹣a＞0时，即a＜1，
∴开口向上，则x＝﹣2时，C2：y取最小值为4a，
∴x＝0时，C2：y取最大值为4，
∵函数C2最大值与最小值的差为8，
∴4﹣4a＝8，
解得：a＝﹣1，
当1﹣a＜0时，即 a＞1，
∴开口向下，则x＝﹣2时，C2：y取最大值为4a，
∵﹣3≤x≤0，
当x＝0时，C2：y取最小值为4，
∵函数C2最大值与最小值的差为8，
∴4a﹣4＝8，
解得：a＝3．
综上所述：a＝﹣1或3．
13．（2020秋•景德镇期末）定义：若二次函数y＝a1（x﹣h）2+k的图象记为C1，其顶点为A（h，k），二次函数y＝a2（x﹣k）2+h的图象记为C2，其顶点为B（k，h），我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k经过C2的顶点B，且C2：y＝a2（x﹣k）2+h经过C1的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
（1）所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是 假 命题．（填“真”或“假”）
（2）试求出y＝x2﹣4x+5的“反顶伴侣二次函数”．
（3）若二次函数C1与C2互为“反顶伴侣二次函数”，试探究a1与a2的关系，并说明理由．
分类二：若二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k可以绕点M旋转180°得到二次函数C2：y＝a2（x﹣k）2+h，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是 真 命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，C1，C2互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且EF∥GQ∥x轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数C1，C2的顶点有什么关系．并说明理由．
【解答】解：分类一：
（1）不是所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”，如y＝（x﹣3）2+8的顶点（3，8）不在y＝﹣（x﹣8）2+3的图象上，y＝（x﹣3）2+8没有“反顶伴侣二次函数”，
故答案为：假；
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴y＝x2﹣4x+5的“反顶伴侣二次函数”为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1；
即y＝x2﹣4x+5的“反顶伴侣二次函数”为y＝﹣x2+2x+1；
（3）∵二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点A（h，k）在y＝a2（x﹣k）2+h的图象上，
∴k＝a2（h﹣k）2+h，即k﹣h＝a2（h﹣k）2，
∵二次函数C2：y＝a2（x﹣k）2+h的顶点B（k，h）在y＝a1（x﹣h）2+k的图象上，
∴h＝a1（k﹣h）2+k，即k﹣h＝﹣a1（k﹣h）2，
∴a2（h﹣k）2＝﹣a1（k﹣h）2，
若k≠h，即则二次函数C1与C2的顶点不重合时，a2＝﹣a1，
∴y＝a1（x﹣h）2+k与y＝a2（x﹣k）2+h互为“反顶伴侣二次函数”，a1与a2的关系是a2＝﹣a1；
分类二：
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”，
故答案为：真；
②∵二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点为A（h，k），二次函数y＝a2（x﹣k）2+h的顶点为B（k，h），而对称中心点M是线段AB的中点，
∴M的坐标为（，），即M的横坐标与纵坐标相等，
∴对称中心点M在直线y＝x上；
③如图：
∵EF∥GQ∥x轴，
∴E，F关于二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k的对称轴直线x＝h对称，G，Q关于二次函数C2：y＝a1（x﹣k）2+h的对称轴直线x＝k对称，
设E（x1，m），F（x2，m），由E，F关于直线x＝h对称得x1+x2＝2h，
∵四边形EFQG为矩形，
∴E，G的横坐标相同，F，Q的横坐标相同，
设G（x1，n），Q（x2，n），由G，Q关于直线x＝k对称有x1+x2＝2k，
∴2h＝2k，
∴h＝k，
∵二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），二次函数C2：y＝a1（x﹣k）2+h的顶点为（k，h），
∴二次函数C1：y＝a1（x﹣h）2+k与二次函数C2：y＝a1（x﹣k）2+h的顶点重合．
14．（2021秋•山西月考）阅读以下材料，并解决相应问题．
小聪在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：若二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小聪是这样思考的．由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小聪的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
令x＝0，则y＝﹣6，
令y＝0，则2x2+4x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x1＝1，
∴A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
设经过A1、B1、C1三点的二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
则，
解得，
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∵2+（﹣2）＝0，4＝4，﹣6+6＝0，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
15．（2024秋•昆山市期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（2，4）是函数y＝x+2的图象的“2倍点”．
（1）一次函数y＝3x+1的图象的“2倍点”的坐标是 （1，3） ，二次函数y＝x2﹣3的图象的“2倍点”的坐标是 （2，6）或（﹣1，﹣2） ；
（2）若关于x的二次函数y＝x2+3x+2﹣c（c为常数）的图象在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围；
（3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且BC＝3AB，求m，n的值．
【解答】解：（1）由新定义知，“2倍点”在函数y＝2x上，
联立上式和y＝3x+1得：3x+1＝2x，则x＝﹣1，
故“2倍点”的坐标是（﹣1，2）；
同理可得：x2﹣3＝2x，则x＝3或﹣1，
即“2倍点”的坐标是（3，6）或（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）；（3，6）或（﹣1，﹣2）；
（2）联立二次函数的表达式和y＝2x得：x2+3x+2﹣c＝2x，
则Δ＝1﹣4（2﹣c）＞0，
解得：c＞；
（3）联立y＝2x和y＝x2+m得：x2+m＝2x，
则Δ＝4﹣4m＝0，则m＝1，
则点A（1，2）；
联立y＝2x和y＝x2﹣2nx﹣x+4n+2得：2x＝x2﹣2nx﹣x+4n+2，
则x＝2或2n+1，
∵n＞1，点B在点C的左侧，
即点B、C的坐标分别为（2，0）、（2n﹣1），
由点A、B、C的坐标得：BC＝2n﹣1，AB＝，
由BC＝3AB得：2n﹣1＝3，
解得：n＝，
即m＝1，n＝．
16．（2024秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y﹣x称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣5，1）的“纵横值”为 6 ；
②函数的“最优纵横值”为 ﹣1 ；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k图象的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
【解答】解：（1）①点B（﹣5，1）的“纵横值”为1﹣（﹣5）＝6，
故答案为：6；
②∵y＝+x，
∴y﹣x＝，
∵﹣3≤x≤﹣1，
∴x＝﹣3时，y﹣x的最大值是﹣1，
∴函数y＝+x（﹣3≤x≤﹣1），的“最优纵横值”为﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x＝上，
∴﹣＝，
∴b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+5x+c﹣x＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∵最优纵横值为3，
∴4+c＝3，
∴c＝﹣1；
（3）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，
∴k＝h+9，
∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9，
∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+）2+，
∵当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7，
当h﹣≥4，即h≥时，则x＝4时，有最大值为7，
∴﹣（4﹣h+）2+＝7，
解得h＝6或h＝3（舍去），
当h﹣≤﹣1，即h≤﹣时，则x＝﹣1时，有最大值为7，
∴﹣（﹣1﹣h+）2+＝7，
解得h＝﹣2或h＝1（舍去）．
故h的值为﹣2或6．
17．（2024秋•思明区校级月考）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则m＝ 2 ，n＝ ±1 ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：m＝2，n＝±1，
故答案为：2；±1；
（2）①y＝x2﹣2kx+4k+5＝x2﹣2kx+k2﹣k2+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴顶点坐标为：（k，﹣k2+4k+5），
∵函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴﹣k2+4k+5＝﹣k2+dk+e，
整理得：4k+5＝dk+e，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，
顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，
解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1，
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
∴（2，9）在 C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
18．（2024秋•献县月考）定义：如果二次函数（a1≠0，a1＝2，b1，c1为常数）与（a2≠0，a2，b2，c2为常数）满足a1+a2＝0，且过相同的两个点，那么这两个函数l1，l2称为“可对称函数”．
二次函数与它的“可对称函数”l2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求l2的函数表达式；
（2）设二次函数l1，l2的顶点分别为D，E，在（1）的条件下．
①如图1，将抛物线l2向右平移，当点E落在抛物线l1上时，设交点为G，连接DG，求DG的长度；
②如图2，连接AD，过点E作EF∥AD交图象l1于点F，直接写出点F的坐标．
【解答】（1）二次函数与它的“可对称函数”l2均过点A（﹣1，0），B（3，0），将点A，点B的坐标代入二次函数解析式得：
，
解得，
∴，
设，将点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴；
（2）①y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E点坐标为（1，4），
当y＝4时，x2﹣2x﹣3＝4，
解得，（不合题意，舍去），
∴G点坐标为．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
过点G作GH∥y轴，DH∥x轴，GH与DH交于点H，如图1，
∴∠DHG＝90°，GH＝4﹣（﹣4）＝8，，
在Rt△DHG中，；
②设直线AD的解析式为y＝cx+d，将点A，点D的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵EF∥AD，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+k，把（1，4）代入得﹣2+k＝4，
解得：k＝6，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+6，
联立，
解得或，
∴F（3，0）或（﹣3，12）．
19．（2024秋•西湖区校级月考）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；
（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；
（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵当x＝﹣2时，对于二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6，
∴y＝﹣3×4+6+6＝0．
∴该二次函数过（﹣2，0）．
∴二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是“定点抛物线”．
（2）由题意，∵定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，
∴可得方程x＝x2+（m+1）x+2﹣k，即x2+mx+2﹣k＝0满足Δ＝m2﹣4（2﹣k）＝0．
又y＝x2+（m+1）x+2﹣k为定点抛物线，
∴4﹣2（m+1）+2﹣k＝0，则k＝4﹣2m．
∴m2﹣4（﹣2+2m）＝0．
∴m＝4±2．
（3）令﹣x2﹣x+2＝（2﹣n）x+4﹣2n，
则（x+2）（x﹣1）＝（n﹣2）（x+2），
∴（x+2）（x﹣1﹣n+2）＝（x+2）（x﹣n+1）＝0．
∴交点的横坐标为﹣2和n﹣1．
∵x1＜3＜x2，
∴n﹣1＞3．
∴n＞4．
20．（2024秋•诸暨市校级月考）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标的﹣2倍的点，则称该点为这个函数图象的“逆倍点”．
（1）若点M（a，﹣2a）是二次函数y＝x2+2x的图象上的“逆倍点”，则a＝ 0或﹣4 ．
（2）若点P（p，2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“逆倍点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“逆倍点”A（x1，﹣2x1），B（x2，﹣2x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果z＝b2+4b+1，请求出z的取值范围．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入二次函数表达式得：﹣2a＝a2+2a，
解得：a＝0或﹣4，
故答案为：0或﹣4；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“逆倍点”，
即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣2x的唯一交点为P（﹣1，2），
∴方程x2+bx+c＝﹣2x的根为：x1＝x2＝﹣1，
即方程x2+（b+2）x+c＝0可写为（x+1）2＝0，
∴x2+（b+2）x+c＝x2+2x+1．
∴b＝0，c＝1，
∴二次函数的表达式为y＝x2+1；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵图象上存在两个不同的“逆倍点”A（x1，﹣2x1），B（x2，﹣2x2），
∴﹣2x1＝+bx1+2，﹣2x2＝+bx2+2，
∴+（b+2）x1+2＝0，+（b+2）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b+2）x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣）2﹣4×＝4，
∴b2+4b+4﹣8a＝4a2，
∴z＝b2+4b+1＝4（a+1）2﹣7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3，
∴﹣3＜x1•x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴4（a+1）2﹣7＜4×（+1）2﹣7＝，
∴z＞．
21．（2024秋•番禺区校级月考）我们定义：把y2＝ax叫做函数y＝ax2的伴随函数．比如：y2＝x就是y＝x2的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数y＝ax2（a≠0的常数），若点（m，n）在函数y＝ax2的图象上，则点（﹣m，n）也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于y轴对称．解答下列问题：
（1）y2＝x的图象关于 x 轴对称；
（2）①直接写出函数y＝4x2的伴随函数的表达式 y2＝4x ；
②在如图①所示的平面直角坐标系中画出y＝4x2的伴随函数的大致图象；
（3）若直线y＝kx﹣3k（k≠0）与y＝4x2的伴随函数图象交于A、B两点（点A在点B的上方），连接OA、OB，且△ABO的面积为12，求k的值；
【解答】解：（1）∵点（m，n）和点（m，﹣n）都在y2＝x的图象上，
∴y2＝x的图象关于x轴对称，
故答案为：x；
（2）①由伴随函数的定义可得：函数y＝4x2的伴随函数的表达式y2＝4x；
②在y2＝4x中，
当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝±2，
当x＝4时，y＝±4，
描点连线绘制函数图象如下：
故答案为：y2＝4x；
（3）由，消去x得到ky2﹣4y﹣12k＝0，
∴，y1•y2＝﹣12，
∴，
在y＝kx﹣3k中，令y＝0，则kx﹣3k＝0，
解得x＝3，
∴C（3，0），
∴，即，
解得：k＝±1．
22．（2023秋•洪泽区校级期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1．试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：∵a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，
∴﹣1+a2＝0，b2＝3，﹣2+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝3，c2＝2，
∴函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y＝x2+3x+2；
（2）解：根据题意得，﹣3+n＝0，解得m＝﹣4，n＝3，
∴（m+n）2023＝（﹣4+3）2023＝﹣1；
（3）证明：当x＝0时，，则C（0，﹣2），
当y＝0时，，
解得x1＝1，x2＝﹣4，
则A（1，0），B（﹣4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），
设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a2（x+1）（x﹣4），
把C1（0，2）代入得a2•1•（﹣4）＝2，
解得，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为，
而，
∴，，c1+c2＝﹣2+2＝0，
∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．
23．（2023秋•天宁区校级月考）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”．例如，点（2，3）为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．
（1）下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 ①③ （只填序号）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是 （2，1）或（0，2）或（﹣1，﹣2） ；
②当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值．
【解答】解：（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，
①直线y＝x与正方形有两个交点（1，1）和（﹣1，﹣1）；
②反比例函数与正方形没有交点；
③抛物线与正方形有两个交点和．
故答案为：①③；
（2）①把a＝2代入y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2得：
y＝﹣（x﹣1）2+3（2﹣1）2﹣3（2﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
∵函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，
∴把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝1，
把x＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝﹣7，
把y＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝0，
把y＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：﹣2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴当a＝2时，该函数图象的“2级方点”的坐标是（2，1）或（0，2）或（﹣1，﹣2）．
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
∴抛物线的开口向下，顶点为[a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2]，
当抛物线顶点在y＝a时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，

则3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得；
②当抛物线经过点（a，a）时，抛物线恰有三个“a级方点”，
则﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得（不合题意，舍去），
∴a的值为2，，．
24．（2023秋•鲤城区校级月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”．
（1）若一次函数y＝kx+2k﹣1的图象上有一个“萌点”的横坐标是﹣3，求k值；
（2）若二次函数的图象上没有“萌点”，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2k﹣1的图象上有一个“萌点”的横坐标是﹣3，
∴该“萌点”坐标为，
∴，
解得：；
（2）设点是二次函数的图象上任意一点，
∴，
即，
根据题意可知，点不是二次函数图象上的点，
∴一元二次方程没有实数解，
∴，
解得：．
25．（2023秋•姑苏区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 y＝﹣x2 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝ ﹣ ；
（3）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝﹣2x2+4nx﹣n2的相关函数的最小值为﹣1，求n的值．
【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），
∴新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：；
（2）两个函数的顶点分别为：、（0，，
由中点公式得：，
解得：；
故答案为：﹣；
（3）函数y＝﹣2x2+4nx﹣n2＝﹣2（x﹣n）2+n2，
∴顶点坐标为（n，n2），
则相关函数顶点坐标为（﹣n，2n﹣n2），
则相关函数的表达式为y＝2（x+n）2+2n﹣n2，
①当﹣n＜﹣1，即n＞1时，
函数在x＝﹣1时，取得最小值，
即2（﹣1+n）2+2n﹣n2＝﹣1，
无解，故舍去；
②当﹣1≤﹣n≤2，即﹣2≤n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即2n﹣n2＝﹣1，
解得（舍）或，
③当﹣n＞2，即n＜﹣2时，
函数在x＝2时，取得最小值，
即2（2+n）2+2n﹣n2＝﹣1，
解得n＝﹣1（舍）或﹣9；
综上，或﹣9．
26．（2023秋•石峰区月考）定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“沉毅点”．例如：直线y＝3x﹣2上存在的“沉毅点”是P（2，4）．
（1）判断直线y＝﹣x+4上是否有“沉毅点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
（2）若抛物线y＝x2+3x+2﹣k上存在两个“沉毅点”A（x1，y1）和B（x2，y2）且|x1﹣x2|＝2，求k的值；
（3）若二次函数的图象上存在唯一的“沉毅点”，且当﹣2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．
【解答】解：（1）有，理由如下：
将点P的坐标代入函数表达式得：a+2＝﹣a+4，
解得：a＝1，
即直线y＝﹣x+4上有“沉毅点”，是（1，3）；
（2）由题意得方程x2+3x+2﹣k＝x+2有两个根，即方程x2+2x﹣k＝0有两个根，
∴Δ＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∴，
∴，，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴，
∴，
∴，
∴4（k+1）＝4，
解得：k＝0；
（3）∵二次函数的图象上存在唯一的“沉毅点”，
∴二次方程有两个相同的根，
变形为，
∴，
∴n＝（m﹣t）2﹣t+2，
该函数图象开口向上，对称轴为直线m＝t，
①当对称轴是直线m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值t+4，
即：n＝（3﹣t）2﹣t+2＝t+4，
解得：t1＝7，t2＝1（舍去）；
②当对称轴是m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，取得最小值t+4，
即：n＝（﹣2﹣t）2﹣t+2＝t+4，
∴（t+1）2＝﹣1，此方程无解；
③当对称轴是﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值t+4，
即：n＝（t﹣t）2﹣t+2＝t+4，
解得：t＝﹣1．
综上所述，t的值为7或﹣1．
27．（2022•荔城区校级开学）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
（1）若二次函数y＝x2+bx+2的图象上存在唯一的“等值点”，求b的值；
（2）若将函数y＝﹣x2+2的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标；
（3）若将函数y＝﹣x2+2的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的m值．
【解答】解：（1）根据题意得：方程x＝x2+bx+2只有一个实数根，
整理得：x2+（b﹣1）x+2＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4×2＝0，
解得：；
（2）对于y＝﹣x2+2，
当y＝0时，0＝﹣x2+2，
∴，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
∴翻折后的函数解析式为或或，
当x＝x2﹣2时，解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍去），
当x＝﹣x2+2时，解得：x1＝1，x2＝﹣2（舍去），
∴该图象上的所有“等值点”的坐标为（2，2），（1，1）；
（3）该图象上恰好有三个“等值点”时，即可理解为翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象与直线y＝x有三个交点，
当x＝﹣x2+2时，解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y＝﹣x2+2的图象上的“等值点”的坐标为（﹣2，﹣2），（1，1），
如图，当m＝﹣2时，该图象与直线y＝x有三个交点，即该图象上恰好有三个“等值点”
∴m＝﹣2符合题意，
如图，当m＜﹣2时，该图象与直线y＝x有四个交点，即该图象上恰好有四个“等值点”
∴m＜﹣2不符合题意，
如图，当m＞﹣2时，该图象与直线y＝x的交点少于三个，即该图象上的“等值点”少于三个，
∴m＞﹣2不符合题意，
综上所述，当该图象上恰好有三个“等值点”时，m＝﹣2．
28．（2024•岳麓区校级三模）若定义纵坐标与横坐标平方的差为常数的点为“晨点”．
（1）当这个常数为1时，下列函数存在“晨点”的请划“√”，不存在的请划“×”．
①y＝x﹣3（ × ）；
②（ √ ）；
③y＝﹣x2（ × ）．
（2）若二次函数y＝﹣x2+4ax+a有且只有一个“晨点”，且点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点恰好也是“晨点”，求这个二次函数的解析式；
（3）已知A（a，0），B（b，0），其中a＜0＜b，“晨点”C在y轴上，直线AC和直线BC上的另一个“晨点”分别为D，E，若四边形ABDE能组成平行四边形，且有四边形ABDE面积不超过4，则四边形周长是否存在最大值，如果存在，请求出最大值，如果不存在请说明理由．
【解答】解：（1）①y﹣x2＝x﹣3﹣x2＝1，即：x2﹣x+4＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×4＝﹣15＜0，
∴x2﹣x+4＝0无实根，
∴y＝x﹣3不存在常数为1的“晨点”；
②y﹣x2＝8﹣x2＝1，即：，当x＞0时，函数y＝2随x增大而减小，y＝x2+1随x增大而增大，必然存在交点，
∴ 存在常数为1的“晨点”，
③y﹣x2＝﹣x2﹣x2＝1，即：2x2+1＝0，
∵Δ＝﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴2x2+1＝0无实根，
∴y＝﹣x2不存在常数为1的“晨点”，
故答案为：×；√；×，
（2）设常数为b，则：y﹣x2＝﹣x2+4ax+a﹣x2＝b，即：2x2﹣4ax+b﹣a＝0，整理得：2（x﹣a）2﹣2a2+b﹣a＝0，
∵二次函数y＝﹣x2+4ax+a有且只有一个“晨点”，
∴方程2（x﹣a）2﹣2a2+b﹣a＝0只有一个实根，当x＝a，且b＝2a2+a时，y＝﹣a2+4a•a+a＝3a2+a，
∴该二次函数的“晨点”坐标为（a，3a2+a），
设点（2，5）关于该二次函数的“晨点”的对称点坐标 为（m，n），则：，即：，
∵（m，n）也是“晨点”，
∴n﹣m2＝b，代入得：b＝6a2+2a﹣5﹣（2a﹣2）2＝2a2+10a﹣9，
∴b＝2a2+10a﹣9＝2a2+a，解得：a＝1，
故答案为：y＝﹣x2+4x+1；
（3）设C（0，c），
∵C（0，c）是“晨点”，
∴常数为：c﹣02＝c，
设直线AC的解析式为：y＝k1x+b1，则：，解得 ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+c，
设直线BC的解析式为：y＝k2x+b2，则：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∵直线AC和直线BC上的另一个“晨点”分别为D，E，设 ，，则：﹣，﹣，整理得：d（d+）＝0，，
∵d≠0，e≠0，
∴d＝﹣，e＝﹣，
∴ （﹣，+c），
当四边形ABDE能组成平行四边形时，
，整理得，，
∵a﹣b≠0，
∴ab+c＝0，且a+b＝0，
∴a＝﹣b，c＝﹣ab，
则：A（﹣b，0），B（b，0），D（b，2b2），E（﹣b，2b2），
∴ABDE是矩形，
∴AB＝DE＝b﹣（﹣b）＝2b，BD＝AE＝2b2﹣0＝2b2，
∴，解得：b≤1，
∴四边形ABDE的周长为：2（AB+BD）＝2（2b+2b2）＝4b2+4b≤8，
∴四边形ABDE的周长最大值为8．
29．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）二次函数y＝2（x+3）2﹣2的顶点关于原点的对称点为 （3，2）， ，这个抛物线的2阶变换的解析式为 y＝﹣2（x﹣3）2+4 ；
（2）若二次函数M的5阶变换的关系式为．
①二次函数M的解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+1 ；
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为B，P是y轴上的一个动点，请求出使△PAB周长最小时，点P的坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝2（x+3）2﹣2的顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∴该点关于原点的对称点为（3，2），
作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，
则有y′＝﹣2（x﹣3）2+2，
将抛物线y′＝﹣2（x﹣3）2+2向上平移2个单位长度，
可得，
所以原抛物线的2阶变换的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+4，
故答案为：（3，2），y＝﹣2（x﹣3）2+4；
（2）①将抛物线向下平移5个单位得到，
此时该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
该点关于原点的对称点为（1，1），
即二次函数M的顶点坐标为（1，1），
∴二次函数M的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1；
②如图，
对于抛物线M：y＝﹣（x﹣1）2+1，
其顶点坐标A的坐标为（1，1），
令y＝0，可有﹣（x﹣1）2+1＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∵与x轴相交的两个交点中右侧交点为B，
∴B（2，0），
作点B关于y轴的对称点B′，则B′（﹣2，0），
∴BP＝B′P，
∴△PAB周长＝AB+BP+AP＝AB+AP+B′P，
∴当点A、P、B′三点共线时，△PAB的周长最小，
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
将点A（1，1），B′（﹣2，0）代入，
可得，解得，
∴直线AB′的解析式为，
令x＝0，则有，
∴点P的坐标为．
30．（2023秋•秦淮区校级月考）【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数图象，把该图象在直线x＝m上的点以及直线x＝m右边的部分向上平移n个单位长度（n＞0），再把直线x＝m左边的部分向下平移n个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“n分移函数”．例如：函数y＝x关于直线x＝0的“1分移函数”为y＝．
【概念理解】
（1）已知点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”图象上的点有 P1，P3 ；
【拓展探究】
（2）若二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”与x轴有三个公共点，是否存在n，使得这三个公共点的横坐标之和为，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
【深度思考】
（3）已知，B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，请直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）函数y＝x﹣2关于直线x＝2的“2分移函数”为y＝，代入点P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4）分别验证，得到在图象上的点有P1，P3．
故答案为：P1，P3；
（2）二次函数y＝﹣x2+2x+6关于直线x＝3的“n分移函数”为y＝，当x＝1时，y＝7﹣n；把x＝3代入y＝﹣x2+2x+6﹣n得y＝3﹣n，图象与x轴有三个公共点，必须满足，
∴3＜n＜7，
设函数图象与x轴的三个公共点的横坐标分别为x1、x2、x3且x1＜x2＜3≤x3，
∵y＝﹣x2+2x+6﹣n的对称轴为直线x＝1，
∴（x1，0）与（x2，0）关于直线x＝1对称，
∴x1+x2＝2，
∵三个公共点的横坐标之和为3+2，
∴x3＝1+2，
把（1+2，0）代入y＝﹣x2+2x+6+n得n＝5；
（3）函数y＝x2﹣bx（b＞0）关于直线x＝0的“3分移函数”为y＝，
∵y＝x2﹣bx+3＝（x﹣）2﹣+3，
∴顶点为（，﹣+3），
把x＝4代入y＝x2﹣bx+3＝19﹣4b，把A（，0）代入y＝x2﹣bx﹣3得b＝，
①当b＝时，﹣+3＝﹣＜﹣2，且19﹣4b＝﹣3＜0，此时共三个交点，不满足题意；
②当b＞时，﹣+3＜﹣＜﹣2，且19﹣4b＜﹣3＜0，此时共四个交点，满足题意；
③当0＜b＜时，b越大顶点的纵坐标﹣+3越小，
设直线CD的表达式为y＝kx﹣2，代入C（4，0）得k＝，
∴y＝x﹣2，
y＝x﹣2与y＝x2﹣bx+3联立得，
∴x﹣2＝x2﹣bx+3，
∴x2﹣（b+）x+5＝0，
∴Δ＝（b+）2﹣20＝0，
∴b＝2﹣或b＝﹣2﹣（舍），
图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点，应满足：
，
∴2﹣＜b＜，
综上，b的取值范围为b＞或2﹣＜b＜．
31．（2023•同安区二模）定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），把形如y＝的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对联函数．如图，已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（﹣3，3），D（﹣3，1）．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2x+c，若点Q（0，4）在这个二次函数图象上，求该二次函数的对联函数；
（2）在（1）的条件下，求出这个二次函数的对联函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标；
（3）当二次函数y＝x2﹣bx（b＞0）的对联函数的图象与矩形ABCD只有2个交点时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）把点Q（0，4）代入二次函数y＝x2﹣2x+c，解得c＝4，
∴二次函数为y＝x2﹣2x+4，
∴二次函数y＝x2﹣2x+4（a≠0）的对联函数为y＝．
（2）把y＝1和y＝3分别代入对联函数y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
y＝1时，x2﹣2x+4＝1无实数根．
y＝3时，x2﹣2x+4＝3，得x＝1．
∴交点为点B（1，3），
y＝1和y＝3分别代入y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
﹣x2﹣2x+4＝1，﹣x2﹣2x+4＝3，
解得：x＝1和﹣3，x＝﹣1+，x＝﹣1﹣，
∴交点坐标为（﹣3，1）（1，1）（﹣1+，3）（﹣1﹣，3）．
综上所述：这个二次函数的对联函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标为（1，3）、（﹣3，1）、（1，1）、（﹣1+，3）、（﹣1﹣，3）．
（3））y＝x2﹣bx＝（x﹣）2﹣把点A（1，1）时，代入的b＝0，不合题意．当b＞0时，图象向右下方平移，此时与矩形ABCD没有交点．
对联函数y＝﹣x2﹣bx＝﹣（x+）2+，当＝1时，抛物线与矩形ABCD的AD边有一个交点，此时b＝2；
当y＝﹣x2﹣bx＝﹣（x+）2+与BC边相切时，此时＝3，可得b＝2．当b＞2时．抛物线向上平移到过点C时与矩形ABCD的边有三个交点．此时b＝4，
当b＞4时，抛物线与矩形ABCD的CB和AD边各有一个交点．
∴b的取值范围是2＜b＜2和b＞4．
32．定义：如果二次函数是常数）与是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（2m+n）2025的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由题意，设所求旋转函数为y＝ax2+bx+c，
∴．
∴．
∴所求旋转函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）解：由题意得，，
∴．
∴（2m+n）2025＝（﹣4+3）2025＝（﹣1）2025＝﹣1．
（3）证明：由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），
∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6）．
又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
且经过点A1，B1，C1的二次函数为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
33．（2024•长沙模拟）定义：如果实数m，n满足m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，且m≠n，t为常数，那么称点P（m，n）为“改革创新点”，例如点（﹣2，0）是“改革创新点”．
（1）（1，1），（5，﹣3），（﹣3，1）三个点中，点 （﹣3，1） 是“改革创新点”；
（2）设函数（x＜0），y＝x﹣b（b＞0）的图象的“改革创新点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若点Q（a，b）是“改革创新点”，用含t的表达式表示ab，并求二次函数y＝t2﹣3t+3的函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，对于（1，1），12﹣2×1＝﹣1，12﹣2×1＝﹣1，1＝1，
∴（1，1）不是“改革创新点”．
对于（5，﹣3），52﹣2×（﹣3）＝31，（﹣3）2﹣2×5＝﹣1，31≠﹣1，5≠﹣3，
∴（5，﹣3）不是“改革创新点”．
对于（﹣3，1），（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，﹣3≠1，
∴（﹣3，1）是“改革创新点”．
故答案为：（﹣3，1）．
（2）由题意，∵m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n＝n2﹣2m．
∴m2﹣n2+2m﹣2n＝0．
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0．
∵m≠n，
∴m﹣n≠0．
∴m+n+2＝0．
∴n＝﹣m﹣2．
又m≠n，
∴m≠﹣1，n≠﹣1．
∴“改革创新点”（m，n）在直线y＝﹣x﹣2（x≠﹣1）上．
∴A、B分别为y＝﹣x﹣2与函数y＝﹣及y＝x﹣b的交点．
联列方程组，
∴或（x＜0，舍去）．
∴A（﹣3，1）．
又联列方程组，
∴．
∴B（b﹣1，﹣b﹣1）．
过点A作AM⊥直线BC于M，
∴AM＝|xB﹣xA|＝|b+2|＝b+2（∵b＞0，∴b+2＞0．）
∵b＞0，
∴﹣b＜0．
∴﹣b﹣1＜﹣1．
∴yB＝﹣b﹣1＜﹣1＜1．
∴CB＝|yB|＝﹣yB＝b+1．
∴S△ABC＝CB•AM＝（b+1）（b+2）＝3．
∴b＝2或b＝﹣8（舍去）．
∴此时xB＝b﹣1＝0，B在y轴上．
∴C与O重合，M在y轴上．
∴b＝2．
（3）由题意可得，a+b＝﹣2，
∴（a+b）2＝4．
又2t＝t+t＝a2﹣2b+b2﹣2a＝a2+b2﹣2（a+b）
＝a2+b2+4，
∴a2+b2＝2t﹣4．
又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝4，
∴2ab＝4﹣（a2+b2）＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t．
∴ab＝4﹣t．
∵a+b＝﹣2，
∴b＝﹣2﹣a．
∴ab＝a（﹣2﹣a）＝﹣（a2+2a）＝﹣（a+1）2+1．
∵s≠b≠﹣1，
∴（a+1）2≠0．
∴（a+1）2＞0．
∴﹣（a+1）2＜0．
∴ab＜1．
∴4﹣t＜1．
∴t＞3．
∴y＝t2﹣3t+3＝t2﹣3t++＝（t﹣）2+．
∵t＞3，
∴t﹣＞．
∴（t﹣）2＞．
∴y＝（t﹣）2+＞+＝3．
∴y＞3．
综上所述，ab＝4﹣t，y＞3．
34．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．
函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”．
【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上．
点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2；
函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 8 ；
②求出函数y＝+x（2≤x≤4）的“最优纵横值”；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x＝上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【解答】解：（1）①∵B（﹣6，2），
∴2﹣（﹣6）＝8，
∴点B（﹣6，2）的“纵横值”为8，
故答案为：8；
②y﹣x＝+x﹣x＝，
∵2≤x≤4，
∴1≤y≤2，
∴函数y＝+x（2≤x≤4）的“最优纵横值”为2；
（2）∵抛物线的顶点在直线x＝上，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∵最优纵横值为5，
∴c+1＝5，
解得c＝4；
（3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3，
∴当x＝b时，y﹣x有最大值3，
当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）；
当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2；
综上所述：b的值为5或﹣2．
35．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 ① （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围．
【解答】解：（1）若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，据此联立得：
，
解得，即函数y＝2x﹣1的图象与直线y＝﹣x有交点，为，由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，
则x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程组无解，即函数y＝x2+x+4的图象与直线y＝﹣x无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，
∴的顶点为，
∴，
∵y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），
∴4+2m+n＝0，
联立，
则m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函数”，
∴或，
∴该二次函数的解析式y＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），
∴联立，
则﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0，
∴，，
∵，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
∴，则（b+1）2＝5a2﹣15a，
∴
＝
＝
＝
＝a﹣a2+3a+5
＝﹣a2+4a+5
＝﹣（a﹣2）2+9，
∵有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（b+1）2+30a＞0，
∴b2+2b+1+30a＞0，
∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0，
∴a2+3a＞0，
∴a（a+3）＞0，
∵题中已知条件a＜0，
∴a＜﹣3，
∴M的取值范围是M＜﹣16，
∴当a＜0时，M随着a的增大而增大，即M的取值范围是M＜﹣16．
36．（2024春•长沙期末）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
【解答】解：（1）在正比例函数y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，
①当a＞0时，4a＞a，
∴4a﹣a＝1×（4﹣1），
解得a＝1，
②当a＜0时，a＞4a，
∴a﹣4a＝1×（4﹣1），
∴a＝﹣1，
综上所述，a的值是±1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+2ax+a2 的对称轴为直线x＝a，
当x＝1时，y＝a2+2a﹣1，
当x＝3时，y＝a2+6a﹣9，
当x＝a，y＝2a2；
①当a≥3时，n＝a2+6a﹣9，m＝a2+2a﹣1，
∵y是“t系郡园函数”，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，
∴t＝2a﹣4，
∵a≥3，
∴2a﹣4≥2，
∴t≥2；
②当2≤a＜3时，n＝2a2，m＝a2+2a﹣1，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，
∴，
∵2≤a＜3，
∴；
③当1＜a＜2时，n＝2a2，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，
∴，
∴；
④当a≤1时，n＝a2+2a﹣1，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝﹣4a+8，
∴t＝﹣2a+4，
∴t≥2，
综上所述，t的取值范围为；
（3）∵一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，
∴（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），
解得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+1，
∵y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，
∴当x2+x﹣2＝0 时，y是定值，即函数图象过定点，
由x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣1，y2＝5，
∴抛物线过定点（1，﹣1），（﹣2，5），
在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴直线y＝2x+1过点（1，3），（﹣2，﹣3），
∴P为（1，3），（﹣2，﹣3），
由待定系数法知，过点 （1，﹣1），（﹣2，5）的直线为y＝﹣2x+1，
联立，
解得，
∴两直线y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），
∴抛物线也不会过点（0，1），
∴点P的坐标为（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
37．（2024•焦作模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M（x，y）在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．
若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n＝2时，某函数的图象C1经过点（0，1）和（2，2），则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
（1）当n＝1时，若一次函数y＝kx+t（k≠0）是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是 y＝x（答案不唯一） （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，正方形OABC的“整点函数的图象经过BC边上的点D，与边AB相交于点E，请直接写出m的值 3或6 ．
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点B．若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
【解答】解：（1）当t＝0时，y＝kx，
当k＝1时，一次函数的表达式是y＝x，
该函数和正方形的交点为（0，0）、（1，1），符合题意，
故答案为：y＝x（答案不唯一）；
（2）当反比例函数过点B（3，3）时，此时m＝3×3＝9，
故符合题意的m＜9，
则点D、E的坐标分别为：（m，3）、（3，m），
要使D、E点的坐标均为整数且m＜9，
则m的值为3或6，
故答案为：3或6；
（3）∵n＝4，
∴B（4，4）代入抛物线表达式得：4＝16a+4b+4，则b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4，
∴顶点（2，4﹣4a），
图象过B（4，4）和C（0，4）为LS函数
①当a＜0时，顶点恒在BC上方，
∴一定是LS函数；
②当a＞0时为LS函数．
∴，
∴0＜a＜1，
综上，a＜1且a≠0．
38．（2024•本溪二模）定义：在平面直角坐标系中，图象上任意一点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差即y﹣x的值称为点P的“坐标差”，例如：点A（3，7）的“坐标差”为7﹣3＝4，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”．
理解：
（1）求二次函数y＝﹣x2+7x+1的图象的“特征值”；
运用：（2）若二次函数y＝﹣x2﹣bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴，y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：（3）如图，矩形ODEF，点O为坐标原点，点E的坐标为（7，4），点D在x轴上，点F在y轴上，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为3的函数图象1上．
①当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
②当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出p的取值范围．
参考公式：y＝ax2+bx+c（c≠0）＝a（x+）2+．
【解答】解：（1）∵y﹣x＝﹣x2﹣7x+1﹣x＝﹣（x﹣3）2+10，
∴y＝﹣x2﹣7x+1的“特征值”为10；
（2）由题意得：点C的坐标为（0，c），
∵点B和点C的“坐标差”相等，
∴点B的坐标为（﹣c，0），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式y＝﹣x2﹣bx+c得：b＝c﹣1，
则y＝﹣x2﹣（c﹣1）x+c，
∵y＝﹣x2﹣bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2﹣（c﹣1）x+c﹣x＝﹣（x+c）2+，
则＝﹣1，解得：c＝﹣2，
∴b＝﹣3，
∴解析式为y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）①∵“坐标差”为3的一次函数，
∴y﹣x＝3，
∴y＝x+3，
∴设y＝﹣x2+px+q为：y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
∵直线y＝x+3与EF交于点M（1，4），
第一种情况：为抛物线顶点当为M时，抛物线与矩形有三个交点．
把（1，4）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
解得：m1＝1，m2＝2（不合题意舍去），
∴m＝1，
∴解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
第二种情况：当抛物线经过点E时，抛物线与矩形有三个交点．
把（7，4）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
解得：m1＝5，m2＝10（不合题意舍去）
∴m＝5，
∴解析式为y＝﹣（x﹣5）2+8＝﹣x2+10x﹣17；
②∵当m＝1时，p＝2，当m＝5时，p＝10，
∴2＜p＜10．
39．（2024•丹东二模）定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过Rt△ABC的两个顶点，则函数R是Rt△ABC的“勾股函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，当自变量x满足x1≤x≤x2时，此时函数R的最大值记为ymax，最小值记为ymin，h＝，则h是Rt△ABC的“DX”值．
已知：在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC∥y轴．
（1）如图，若点C坐标为（1，1），AC＝BC＝4．
①一次函数y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出Rt△ABC的“DX”值，若不是，请说明理由；
②是否存在反比例函数y2＝（k≠0）是Rt△ABC的“勾股函数”，若存在，求出k值，不存在，说明理由．
（2）若点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，m），二次函数y3＝x2+bx+c是Rt△ABC的“勾股函数”．
①若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，C两点，则Rt△ABC的“DX”值h＝ ；
②若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，B两点，且与Rt△ABC的边有第三个交点，求m的取值范围；
③若二次函数y3＝x2+bx+c经过A，B两点，且Rt△ABC的“DX”值h＝，求m的值．
【解答】解：（1）①一次函数y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，
由∠ACB＝90°，BC∥y轴，点C坐标为（1，1），AC＝BC＝4，可得：
点A的坐标为（5，1），点B的坐标为（1，5），
∵（5，1）和（1，5）这两点都在直线y1＝﹣x+6上，
∴一次函数y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函数”，
∵﹣1＜0，
∴一次函数y1＝﹣x+6的函数值y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤5时，ymax＝5，ymin＝1，
∴h＝＝2，
∴Rt△ABC的“DX”值为2；
②存在，理由如下：
∵点A的坐标为（5，1），点B的坐标为（1，5），
∴1×5＝5×1＝5，
∴点A和点B在同一个反比例函数y2＝图象上，
∴反比例函数y2＝是Rt△ABC的“勾股函数”，且k＝5；
（2）①∵点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（1，m），∠ACB＝90°，BC∥y轴，
∴C（1，2），
∵二次函数y3＝x2+bx+c经过A，C两点，
∴，
解得：，
∴y3＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，1≤x≤2，此时函数y3的最大值为ymax＝2，最小值为ymin＝，
∴h＝＝＝，即Rt△ABC的“DX”值为，
故答案为：；
②∵二次函数y3＝x2+bx+c经过A，B两点，
∴将A（2，2），B（1，m）代入y3＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y3＝x2﹣（m+1）x+2m，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝，
∵二次函数y3＝x2+bx+c与Rt△ABC的边有第三个交点，
∴点B在AC上方，对称轴在点A、C之间，
∴，
∴2＜m＜3；
③由y3＝x2﹣（m+1）x+2m，可得其顶点坐标为：（，），
第一种情况，点B在点A上方，即m＞2，
（i）当点B和点A在对称轴左侧，即≥2，解得m≥3，
此时y3随x的增大而减小，
∴ymax＝yB＝m，ymin＝yA＝2，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝m2＝4，
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即2＜m＜3，
此时yB最大，顶点y值最小，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝2+（舍去），m2＝2﹣（舍去），
∵2＜m＜3，
∴m1，m2都舍掉；
第二种情况，点B在点A下方，即m＜2，
（i）当点B和点A在对称轴右侧，即≤1，解得m≤1，
此时y3随x的增大而增大，
∴ymax＝yA＝2，ymin＝yB＝m最小，
，∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝﹣4+4（舍去），m2＝﹣4﹣4，
∴m＝﹣4﹣4；
（ii）当对称轴在点A和点C之间，即1＜m＜2，
此时yA最大，顶点y值最小，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝6+3（舍去），m2＝6﹣3，
m＝6﹣3；
综上所述，m＝4，﹣4﹣4，6﹣3．
40．（2024春•海门区校级月考）对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足m≤x≤n（m，n为实数，m＜n）时，函数y有最大值，且最大值为2n﹣2m，则称该函数为理想函数．
（1）当m＝﹣1，n＝2时，在①y＝x+3；②y＝﹣2x+4中， ② 是理想函数；
（2）当n＝3m+2时，反比例函数y＝是理想函数，求实数m的值；
（3）已知二次函数y＝x2﹣nx+m2+2m﹣3是理想函数，且最大值为2m+4．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为C，（x1，y1），（x2，y2）是图象C上两个不同的点．若x1+x2＝4，求证：y1+y2＞﹣6．
【解答】（1）解：①，
∵＞0，
∴y随x的增大而增大，
当﹣1≤x≤2时，最小值为，最大值为，
则2n﹣2m＝4+2＝6≠4，
故①不是理想函数；
②y＝﹣2x+4，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
当﹣1≤x≤2时，最小值为y＝﹣2×2+4＝0，最大值为y＝﹣2×（﹣1）+4＝6，
则2n﹣2m＝4+2＝6，
故②是理想函数；
故答案为：②．
（2）解：∵m≤x≤3m+2，
∴m＜3m+2，
∴m＞﹣1，
当m＞0时，6m＞0，
当0＜m≤x≤3m+2时，y随着x的增大而减小，
则当x＝m时，最大值为6，
∴2（3m+2）﹣2m＝6，
即，
当时，6m＜0，
当m≤x≤3m+2＜0时，y随着x的增大而增大，
则当x＝3m+2时，最大值为，
∴，
即6m2+7m+4＝0，此方程无实根，
当时，3m+2＞0，函数y没有最大值，不合题意，舍去，
综上所述，m的值为；
（3）证明：∵最大值为2m+4，
∴2n﹣2m＝2m+4，
即n＝2m+2，
∴m＜x＜2m+2．
∵m＜n，
∴m＜2m+2，
即m＞﹣2，
此时y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3＝[x﹣（m+1）]2﹣4，
对称轴为直线x＝m+1，
当2m+2≤m+1，即﹣2＜m≤﹣1时，
则当x＝m时，y取最大值2m+4，
∴﹣3＝2m+4，
∴，
而﹣2＜m≤﹣1，
故（不合题意，舍去），
当m＜m+1＜2m+2，
即m＞﹣1时，
①若2m+2﹣（m+1）≥（m+1）﹣m，
即m≥0时，则当x＝2m+2时，y取最大值，，
解得，
∵m≥0，
∴；
②2m+2﹣（m+1）＜（m+1）﹣m，
即﹣1＜m＜0时，则当x＝m时，y取最大值，，
∴（不合题意，舍去），
综上，m的值为，
此时，，
则图象C的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∵（x1，y1），（x2，y2）是图象C上两个不同的点，
∴，，
∵x1+x2＝4，
∴x2＝4﹣x1，
∴＝，
∵x1≠x2，x1+x2＝4，
∴x1≠2，
∴，，
∴y1+y2＞﹣6．
41．（2024春•越秀区校级月考）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．
例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”
（1）函数的图象上是否存在点（1，﹣1）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣3，求证：y1﹣y2≥4；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣nx﹣6n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+3上，求n的取值范围．
【解答】解：（1）不存在，理由如下：
根据定义可知（1，﹣1）的k级变换点为（k，k），
将点（k，k）代入函数，得k2＝﹣9，
无解，所以不存在；
（2）点A（t，t﹣2）的“k级变换点”为B（kt，﹣kt+2k），
∴直线l1和直线l2的关系式为y＝x﹣2，y＝﹣x+2k，
当x＝m2时，，
∵k≤﹣3，
∴﹣2k﹣2≥4．
∵2m2≥0，
∴2m2﹣2k﹣2≥4，
∴y1﹣y2≥4；
（3）二次函数y＝nx2﹣nx﹣6n（x≥0）的图象的点的“1级变换点”都在函数y＝﹣nx2+nx+6n的图象上，
即﹣nx2+nx+6n＝﹣x+3，
整理，得nx2﹣（n+1）x+3﹣6n＝0，
b2﹣4ac＝（n+1）2﹣4n（3﹣6n）＝n2+2n+1﹣12n+24n2＝25n2﹣10n+1＝（5n﹣1）2≥0，
函数y＝﹣nx2+nx+6n，（x≥0）的图象和直线y＝﹣x+3有公共点，
由y＝﹣n（x2﹣x﹣6）＝﹣n（x﹣3）（x+2）的公共点是（3，0）．
当n＞0时，（5n﹣1）2≠0，得，
又，
解得，
∴且；
当n＜0，x≥0时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
所以n的取值范围是且．
42．（2024•株洲模拟）定义：对于函数，当自变量x＝x0，函数值y＝x0时，则x0叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数y＝的不动点是 （1，1），（﹣1，﹣1） ．
（2）如图，若二次函数 y＝ax2+bx 有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为（2，4）．
①求该二次函数的表达式；
②连接OP，M是线段OP上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点Q（m，0）满足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最
大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为 （x1，y1） 和 （x2，y2），则点E和点F的距离为|EF|＝．
【解答】解：（1）把函数值y＝x0代入，
得，
解得x0＝±1，
故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．
（2）①二次函数y＝ax2+bx有两个不动点0与3，
∴点（0，0）、（3，3）在二次函数y＝ax2+bx的图象上，
将（3，3），P（2，4）代入得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x；
②存在，
如图，延长PN交x轴于点A，
设A（n，0），
∵∠MOQ＝∠MPN，
∴OA＝PA，
则，
解得n＝5，
∴A（5，0），
设直线PA的表达式为y＝kx+t，
将A（5，0），P（2，4）代入得，
解得，
∴直线PA的表达式为，
同理直线OP的表达式为y＝2x，
联立，
解得，，
则N（），
设点M（x，2x）（0＜x＜2），
由O（0，0），P（2，4），N（），
可得，，PN＝，
∵∠PMQ＝∠MOQ+∠MQO＝∠NMQ+∠PMN，∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，
∴∠MQO＝∠PMN．
∴△MOQ∽△NPM，
则，
整理得OQ×PN＝OM×PM，
∴，
整理得，
∵，
∴当x＝1时，，
∴在x轴正半轴上存在点Q（m，0），且m的最大值为．
43．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下：
点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1，
当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
又∵“向光函数”为y＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴xB﹣xA＝xA′﹣xB′，
∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，
∴D（1，0），c＜0，
∴，
∴，
即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
又∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
44．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数），
（1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 （t，3t） ；
（2）若该函数经过点（1，﹣6）；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值；
（3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．
【解答】解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t），
故答案为：（t，3t）；
（2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c，
解得：c＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣x﹣4，
将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4，
解得：t1＝t2＝﹣2，
∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；
②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+）2﹣，
∴M＝﹣，
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，
∴N＝﹣10，
∴M﹣N＝﹣﹣（﹣10）＝；
（3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，
解得：c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9≥﹣6+c，
解得：c≤﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3≥﹣2+c，
解得：c≤5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5．
45．（2024•盐城二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点（x，y1），（x，y2）（x为自变量取值范围内的任意数），都有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：y1＝x和y2＝互为“中心对称函数”．
（1）如果点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，那么三个数x，y1，y2满足的等量关系是 y1+y2＝2x ；
（2）已知函数：①y＝﹣2x和y＝2x；②y＝﹣x+3和y＝3x﹣3；③y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1，其中互为“中心对称函数”的是 ②③ （填序号）；
（3）已知函数y＝3x﹣4的“中心对称函数”的图象与反比例函数（m＞0）的图象在第一象限有两个交点C，D，且△COD的面积为4．
①求m的值； 3 ；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数”的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由．
（4）已知三个不同的点M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c为常数，且a＞0）的“中心对称函数”的图象上，且满足m＜n＜c．如果t2恒成立，求w的取值范围．
【解答】解：（1）∵点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，
∴点（x，x）是端点为点（x，y1）和点（x，y2）的线段的中点，
∴＝x，
∴y1+y2＝2x；
故答案为：y1+y2＝2x；
（2）①∵﹣2x+2x≠2x，
∴y＝﹣2x和y＝2x不是“中心对称函数”；
②∵（﹣x+3）+（3x﹣3）＝2x，
∴y＝﹣x+3和y＝3x﹣3是“中心对称函数”；
③∵（3x2+4x﹣1）+（﹣3x2﹣2x+1）＝2x，
∴y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1是“中心对称函数”；
故答案为：②③；
（3）①∵2x﹣（3x﹣4）＝﹣x+4，
∴函数y＝3x﹣4的“中心对称函数”为y＝﹣x+4，
如图，设C，D的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2），
由﹣x+4＝得x2﹣4x+m＝0，
∴x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝m，且y1+y2＝（﹣x1+4）+（﹣x2+4）＝8﹣（x1+x2）＝8﹣4＝4，
∴S△COD＝（y1+y2）•|x2﹣x1|＝2|x2﹣x1|＝2＝2，
∵△COD的面积为4，
∴2＝4，
解得m＝3；
经检验，m＝3是原方程的解，
故答案为：3；
②反比例函数y＝﹣的“中心对称函数”的图象在第一象限内存在最低点，理由如下：
∵2x﹣（﹣）＝2x+，
∴反比例函数y＝﹣的“中心对称函数”为y＝2x+，
∵x＞0，
∴2x+＝（﹣）2+2•＝（﹣）2+2≥2，
∴2x+的最小值为2，此时﹣＝0，即x＝，
∴该函数图象在第一象限内最低点坐标为（，2）；
（4）∵2x﹣[﹣ax2+（2﹣b）x﹣c]＝ax2+bx+c，
∴二次函数y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c的“中心对称函数”为y＝ax2+bx+c，
∵N（5，n），P（1，m）在函数 y＝ax2+bx+c的上，
∴m＝a+b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜25a+5b+c＜c，
∴a+b＜25a+5b＜0，
∴b＞﹣6a且b＜﹣5a，
∵a＞0，
∴5＜﹣＜6，
∵M（t，m），P（1，m）的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＝，
∴﹣＝t+1，
∴5＜t+1＜6，
设h＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+1）2+3，
当t+1＝5时，h＝﹣；
当t+1＝6时，h＝﹣15，
∴﹣15＜h＜﹣，
∵t2恒成立，
∴w≥﹣．
46．（2024•开福区校级一模）定义：有两个内角和为45°的三角形为“美好三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“美好三角形”，如果是，请在对应的横线内画“√”，如果不是，请在对应的横线内画“×”；
①有一个角为30°的直角三角形； ×
②有一个角为45°的直角三角形； ×
③有一个角为135°的三角形； √
（2）如图①，直线：y＝x与双曲线：y＝（x＞0）相交于点M，点N在x的正半轴上，若△MNO是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
（3）如图②，二次函数：y＝ax2+bx+c的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在△ABC内部，连接，AO，AD，BD，CD，当△AOC、△DBC、△ADB均为“美好三角形”，此时△DBC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△ADB的面积为S3，当S3＝m时，求S1和S2的表达式（用含m的式子表示）
【解答】解：（1）①∵有一个角为30°的直角三角形，三个内角分别为30°，60°，90°，
则30°+60°≠45°，60°+90°≠45°，90°+30°≠45°，
∴该三角形不是“美好三角形”．
故答案为：×；
②有一个角为45°的直角三角形，三个内角分别为45°，45°，90°，
则45°+45°≠45°，45°+90°≠45°，
∴该三角形不是“美好三角形”．
故答案为：×；
③有一个角为135°的三角形，其余两个内角的和为180°﹣135°＝45°，
∴该三角形是“美好三角形”．
故答案为：√．
（2）联立与，
解得x＝3，
将x＝3代入，
得y＝1，
∴点M坐标为（3，1），
若△MNO是“美好三角形”，
当∠ON'M＝135°时，过M作MH⊥ON，则∠MNH＝180°﹣135°＝45°，
∴N′H＝MH＝1，
∴ON'＝3﹣1＝2，
∴N'（2，0）；
当∠OMN＝135°时，过N作NP⊥OM，则∠PMN＝180°﹣135°＝45°，
∴PM＝PN，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴N（5，0），
综上，点N的坐标为（2，0）或（5，0）；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于B，C两点，顶点为A，
∴AB＝AC，
如图，过点D作DP⊥BC，DH⊥AB，DQ⊥AC，
当△AOC、△DBC、△ADB均为“美好三角形”时，∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CDB＝∠ADB＝135°，
∴∠BAC＝90°，，
∴∠4+∠5＝45°，∠1+∠5＝45°，∠1+∠2＝45°，∠2+∠3＝45°，
∴∠1＝∠4，∠1＝∠3．
∴△CDB∽△BDA，
∴，
∴，
∵△DBC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△ADB的面积为S3，S3＝m，
∴S1＝S△CDB＝2S△BDA＝2m，
∵∠DPB＝∠DQC＝90°，∠1＝∠4，
∴△BPD∽△CQD，
∴，
∴，
∵，，
∴S△ACD＝2S△ADB，
∴S2＝2S3＝2m，
综上，S1＝2m，S2＝2m．
47．（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点M（x，y）在等腰直角三角形OAB边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．
若某函数的图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．
（1）如图1，当n＝2时，一次函数y＝kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为 y＝﹣x+1（答案不唯一） （写出一个即可）；
（2）如图2，当n＝3时，函数的图象经过C（1，2），判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
（3）当n＝4时，二次函数y＝ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
（4）在（3）的条件下P（a+1，y1），Q（a+2，y2）是二次函数y＝ax2+bx+2图象上两点，若点P、Q之间的图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3|a|，求a的值
【解答】解：（1）当n＝2时，A（2，0），B（0，2），
∴OB的中点坐标为（0，1），OA的中点坐标为（1，0），
当一次函数y＝kx+t图象过（1，0），（0，1）时，其解析式为y＝﹣x+1，此时直线y＝﹣x+1与图象与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，
∴一次函数y＝﹣x+1是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）；
（2）该函数是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，
理由：把C（1，2）代入y＝得，m＝2，
∴y＝，
∵A（3，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
令＝﹣x+3，
解得x1＝1，x2＝2，
当x＝2时，y＝1，
∴y＝与线段AB有两个交点，且都是整数，分别为（1，2），（2，1），
∴该函数是否为“整点函数”；
（3）当n＝4时，A（4，0），B（0，4），
∴AB的中点坐标为（2，2），
∵y＝ax2+bx+2经过AB的中点，
∴2＝4a+2b+2，
∴b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2a+2，
当a＞0时，∵抛物线的顶点为（1，2﹣a），
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∴0＜a＜2，
若a＜0，则抛物线与x轴正半轴的交点在点A的右侧，即当x＝4时，y＞0，
∴16a﹣8a+2＞0，a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
综上所述，a的取值范围为0＜a＜2或﹣＜a＜0；
（4）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜a＜0时，则顶点（1，2﹣a）为最高点，Q为最低点，
∴2﹣a﹣[a（a+2）2﹣2a（a+2）+2]＝﹣3a，
解得a＝1±（不合题意舍去），
②当0＜a＜2时，a+1＞1，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴最高点为Q，最低点为P，
∴a（a+2）2﹣2a（a+2）+2﹣[a（a+1）2﹣2a（a+1）+2]＝3a，
解得a1＝0（不合题意舍去），a2＝1，
综上所述，a＝1．
48．（2024•盐都区校级一模）定义：当m≤x≤n（m，n为常数，m＜n）时，函数y最大值与最小值之差恰好为3n﹣3m，我们称函数y是在m≤x≤n上的“雅正函数”，“3n﹣3m”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）试判断下列函数是在1≤x≤2上的“雅正函数”为 ②③ .（填序号）
①y＝﹣2x+3；②；③y＝﹣x2+2024．
【尝试应用】
（2）若一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，k1＞0）和反比例函数（k2为常数，k2＜0）都是在﹣3≤x≤﹣1上的“雅正函数”，求k1•k2的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函数y＝x2﹣mx﹣n是在m≤x≤n（m，n为常数，m＞0）上的“雅正函数”，雅正值是3．
①求m、n的值；
②若该二次函数图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为二次函数y＝x2﹣mx﹣n图象上一点，且点D的横坐标为﹣2，点F、点H是线段BD上的两个动点（点F在点H的左侧），分别过点F、点H作y轴的平行线交抛物线于点E、点G，如果BD＝tFH，其中t为常数．试探究：是否存在常数t，使得S△DEF+S△BHG为定值．如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【参考公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）】
【解答】解：（1）由题意得：3n﹣3m＝3（2﹣1）＝3，
对于①当x＝1时，y取得最大值为﹣2x+3＝1，当x＝2时，取得最小值为﹣1，则最大值与最小值之差为2≠3，不符合题意；
对于②当x＝1时，y取得最大值为y＝＝6，当x＝2时，取得最小值为3，则最大值与最小值之差为3＝3，符合题意；
对于③当x＝1时，y取得最大值为y＝﹣x2+2024＝2020，当x＝2时，取得最小值为2023，则最大值与最小值之差为3＝3，符合题意；
故答案为：②③；
（2）3n﹣3m＝3（﹣1+3）＝6，
对于反比例函数，当x＝﹣1时，y取得最大值为＝﹣k2，当x＝﹣3时，y取得最小值为﹣k2，
则﹣k2+k2＝6，
解得：k2＝﹣9；
对于一次函数，
同理可得：﹣k1+b+3k1﹣b＝6，
解得：k1＝3，
∴k1•k2＝﹣27；
（3）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝m＞0，
当x＝n时，y取得最大值为：y＝n2﹣mn﹣n，
当x＝m时，y取得最小值为：y＝m2﹣m2﹣n＝﹣n，
则n2﹣mn﹣n+n＝3n﹣3m＝3，
解得：m＝2，n＝3；
②由题意可知，，F（﹣2+a，5﹣a），E（﹣2+a，a2﹣6a+5），H（3﹣b，b），G（3﹣b，b2﹣4b），
∴EF＝﹣a2+5a，HG＝﹣b2+5b，
∵FH＝BD，
∴，
则
＝
＝
＝
＝，
∵t为常数，
∴S△DEF+S△BHG为常数，
则，
∴t＝3．
49．（2024•楚雄市二模）定义：对于一次函数y＝kx+m（k，m是常数，k≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如果k＝2a，m＝b，那么一次函数y＝kx+m叫做二次函数y＝ax2+bx+c的牵引函数，二次函数y＝ax2+bx+c叫做一次函数y＝kx+m的原函数．
（1）若二次函数（a是常数，a≠0的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
（2）已知一次函数y＝2x﹣2m是二次函数y＝ax2+bx+m2+1的牵引函数，在二次函数y＝ax2+bx+m2+1上存在两点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）．若M（2，y3）也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且t≥|y2﹣y1|，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，得二次函数的牵引函数为，
联立，
得，
∵二次函数（a是常数，a≠0）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，
∴，
解得或．
（2）由题意可知原函数的解析式为y＝x2﹣2mx+m2+1，
∴当x＝m﹣1时，y＝2，当x＝m+2时，y＝5，
即A（m﹣1，2），B（m+2，5），原函数图象的对称轴为直线x＝m，原函数图象的顶点坐标为（m，1），
∴t≥|y2﹣y1|＝3，
当x＝2时，，
∴M（2，m2﹣4m+5）．
①如答图①，当点M在点A的左侧，即m﹣1＞2，m＞3时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴t＝m2﹣4m+5﹣2＝m2﹣4m+3≥3，
解得m≥4或m≤0（舍去）．
②当点M在点A与二次函数图象的顶点之间时，t＜2﹣1，即t＜1，而t≥3，不符合题意；
③如答图②，当点M在二次函数图象的对称轴右侧，即m＜2时，
当y3≤2时，A点的纵坐标最大，二次函数图象顶点的纵坐标最小，
∴t＝2﹣1＝1，不符合题意；
当y3＞2时，M点的纵坐标最大，二次函数图象顶点的纵坐标最小，
∴t＝m2﹣4m+5﹣1＝m2﹣4m+4≥3，
解得：（舍去）或．
综上所述，m≥4或．
50．（2024•集美区二模）定义：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当自变量x满足p≤x≤q时，函数值y的取值范围也为p≤y≤q，则称二次函数y＝ax2+bx+c是p≤x≤q上的“等域函数”．
已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B．
（1）若b＝﹣2，且抛物线经过点（1，0），（0，1）．
①求a，c的值；
②若y＝ax2+bx+c是0≤x≤t（t＞2）上的“等域函数”，求t的值；
（2）在a＜b＜c的情况下，记点B的横坐标为xB，经过点B的直线y＝﹣ax+m与抛物线交于点C（xC，yC）．若，是否存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①当b＝﹣2时，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），（0，1），
∴，
解得；
②∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵t＞2，
∴（t﹣1）2＞1，
∴在0≤x≤t上，当x＝t时，函数取得最大值（t﹣1）2；
当x＝1时，函数取得最小值0；
若y＝（x﹣1）2是0≤x≤t的“等域函数”，
∴（t﹣1）2＝t，
解得或（舍去），
∴；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作轴的平行线，交抛物线于点B，
∴点B的坐标为，
∵点B在直线y＝﹣ax+m上，
∴b+m＝c，
即m＝c﹣b，
∴y＝﹣ax+c﹣b，
∵经过点B的直线y＝﹣ax+c﹣b与抛物线交于点C，B，
联立，
∴ax2+bx+c＝﹣ax+c﹣b，
即ax2+（a+b）x+b＝0，
∴（ax+b）（x+1）＝0，
∴，xC＝﹣1，
∵直线y＝﹣ax+c﹣b与y轴交点的纵坐标为c﹣b，其中b＜c，
∴S△BOC＝，
又∵S△BOC＝，
∴，
∴|xB﹣xC|＝3，
当xB＞xC时，则xB﹣xC＝3，
解得xB＝2，即b＝﹣2a，
∵a＜b，
∴a＜0，此时函数解析式为y＝ax2﹣2ax+c，
∵函数在﹣1≤x≤1上随x的增大而增大，在1≤x≤2上随x的增大而减少，
∴当x＝﹣1时，ymin＝a+2a+c＝﹣1，
当x＝1时，ymax＝a﹣2a+c＝2，
解得，，，不满足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣1≤x≤2上的“等域函数”；
②当xB＜xC时，则xB﹣xC＝﹣3，
解得xB＝﹣4，即b＝4a，
∵a＜b，
∴a＞0，此时函数解析式为y＝ax2+4ax+c，
∵函数在﹣4≤x≤﹣2上随x的增大而减少，在﹣2≤x≤﹣1上随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，ymin＝4a﹣8a+c＝﹣4，
当x＝﹣4时，ymax＝16a﹣16a+c＝﹣1，
解得，b＝3，c＝﹣1，不满足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣4≤x≤﹣1上的“等域函数”；
综上，不存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形．
51．（2024•灯塔市校级模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3⩽x⩽6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3⩽x⩽6）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 8 ；
②函数的“最优纵横值”为 ﹣1 ；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7求h的值．
【解答】解：（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 2﹣（﹣6）＝8，
故答案为：8；
②∵y＝，
∴y﹣x＝﹣x＝，
∵﹣4≤x≤﹣2，
∴x＝﹣4时，y﹣x的最大值是﹣1，
∴函数的“最优纵横值”为﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线上，
∴﹣＝，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+3x+c﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∵最优纵横值为5，
∴1+c＝5，
∴c＝4；
（3）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，
∴k＝h+9，
∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9，
∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+）2+，
∵当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7，
当h﹣≥4，即h≥时，则x＝4时，有最大值为7，
∴﹣（4﹣h+）2+＝7，
解得h＝6或h＝3（舍去），
当h﹣≤﹣1，即h≤﹣时，则x＝﹣1时，有最大值为7，
∴﹣（﹣1﹣h+）2+＝7，
解得h＝﹣2或h＝1（舍去）．
故h的值为﹣2或6．
52．（2024•河东区一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）．
（1）若该函数经过点（1，﹣6），求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值；
（3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围．
【解答】解：（1）把（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c得c＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4，
设该函数图象上的“三倍点”坐标为（t，3t），
把（t，3t）代入y＝﹣x2﹣x﹣4，
得﹣t2﹣t﹣4＝3t，
整理得t2+4t+4＝0，
解得t＝﹣2，
∴“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4，
①当即时，
，
②当即时，
，
综上，①当时，，
②当时，．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
53．（2024•新邵县二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d）．若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
（2）点与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点，若y1﹣y2≥3，求证：k≤﹣2．
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【解答】（1）解：函数的图象上存在点（1，2）的“k级变换点”
根据“k级变换点”定义，点（1，2）的“k级变换点”为（k，﹣2k），
把点（k，﹣2k）代入中，
得k•（﹣2k）＝﹣18，解得k＝±3．
（2）证明：∵点B为点的“k级变换点”，
∴点B的坐标为．
∴直线l1，l2的解析式分别为和．
当x＝m2时，，
∵y1﹣y2≥3，
∴，
∴，
∵m2≥0，
∴k≤﹣2．
（3）由题意得，二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上的点的“1级变换点”都在函数y＝﹣nx2+4nx+5n（x≥0）的图象上．
令﹣nx2+4nx+5n＝﹣x+5，整理得nx2﹣（4n+1）x+5﹣5n＝0．
∵Δ＝[﹣（4n+1）]2﹣4n（5﹣5n）＝36n2﹣12n+1＝（6n﹣1）2≥0，
∴函数y＝﹣nx2+4nx+5n的图象与直线y＝﹣x+5必有公共点．
由y＝﹣nx2+4nx+5n＝﹣n（x﹣5）（x+1）得该公共点为（5，0）．
①当n＞0时，由（6n﹣1）2≠0得．
又5n≤5得n≤1，
∴0＜n≤1且．
②当n＜0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为0＜n≤1且．
54．（2024•洛阳二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．
（1）点G（﹣3，﹣3）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 （3，3） ；
（2）如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在0＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜2 ．
【解答】解：（1）∵点G（﹣3，﹣3）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴﹣3＝，
解得k＝9，
∴反比例函数为y1＝，
令y1＝x，则x＝，
解得x＝3或x＝﹣3，
经检验，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，
∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 （3，3）；
故答案为：（3，3）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的顶点C（1，5），
在y＝﹣x2+x+中，令y＝x得x＝﹣x2+x+，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），
∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，
解得x＝m或x＝m+1，
∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象的“梦之点”为（m，m）或（m+1，m+1），
∵0＜x＜2，
∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，
∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，
∴当﹣1＜m＜2时，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”；
故答案为：﹣1＜m＜2．
55．（2024•娄星区一模）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（4，7）的“坐标差”为 3 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+6的“特征值”为 7 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，且b+c＝1，求此二次函数的解析式；
（3）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【解答】解：（1）①∵A（4，7），7﹣4＝3，
∴“坐标差”为3，
故答案为：3；
②y﹣x＝﹣＝﹣x2+3x+6﹣x＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，
特征值是7；
故答案为：7；
（2）∵b＝1﹣c，
∴y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∵二次函数y＝﹣x2+（1﹣c）x+c的“特征值”为﹣1．
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
∴，
∴c＝﹣2，
∴b＝3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为y＝x+2，
∵二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x+2上，
∴设二次函数为y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，
①抛物线顶点在直线y＝x+2与FE的交点上时（如图①），
令y＝3，则x＝1，得交点为（1，3），
把（1，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（1﹣m）2+m+2，
解得m1＝1，m2＝2（舍去），
∴二次函数的解新式为y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴，特征值是；
②抛物线右侧部分经过点E时（如图②），
把E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（7﹣m）2+m+2，
解得m1＝5，m2＝10（舍去），
二次函数的解析或为y＝﹣（x﹣5）2+7，
∴，特征值是．
∴综上，二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3或y＝﹣（x﹣5）2+7，“特征值”均为．
56．（2024秋•宝山区校级月考）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”．
（1）如图，若抛物线M经过（3，0）和点A（1，0）和（0，3），则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由．
（2）若直线y＝kx+b交抛物线于A，B（4，3）两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）求直线y＝﹣的最值点．
【解答】解：（1）M上不存在最值点；理由如下：
由抛物线M经过（3，0）和点A（1，0），设抛物线M解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1），
把（0，3）代入得：3＝3a，
解得a＝1，
∴抛物线M解析式为y＝（x﹣3）（x﹣1）；
∴xy＝x（x﹣3）（x﹣1），
当x＞3时，xy的值随x的增大而增大，
∴xy没有最大值，
∴M上不存在最值点；
（2）∵A（1，0），B（4，3），
∴观察图象可得，直线不低于抛物线时，自变量x的取值范围是1≤x≤4；
（3）∵y＝﹣，
∴xy＝x（﹣x+）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，xy取最大值，
此时y＝﹣×+＝，
∴直线y＝﹣的最值点为（，）．
57．（2020秋•綦江区校级月考）对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）的顶点坐标为 （，） ．
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标为 （1，0）和（2，﹣1） ．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+5x﹣2是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【解答】解：【尝试】
（1）t＝2时，y＝2（x2﹣4x+3）+（1﹣2）（﹣x+1）＝2x2﹣7x+5，
函数的对称轴为：x＝，故顶点的坐标为：（，），
故答案为：（，）；
（2）当x＝1时，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，
故点A在抛物线E上；
（3）x＝2时，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，
定点坐标为：（1，0）和（2，﹣1），
故答案为：（1，0）和（2，﹣1）；
【应用】不是，理由：
由题意得：令y＝﹣3x2+5x﹣2＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1），
化简并整理得：t＝﹣3且3t+1＝﹣5，
显然t不存在，
故二次函数y＝﹣3x2+5x﹣2不是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”．
58．（2024春•工业园区校级月考）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|++（c1+c2）2＝0，则称函数y1与y2“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）求二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式；
（2）若关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数图象上，且时，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）关于x的函数（a＞0）的图象顶点M，与x轴的交点为A，B，当它的“回旋”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN为矩形？
【解答】解：（1）∵|a1+a2|++（c1+c2）2＝0，
∴a1+a2＝0，b1﹣b2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
根据“回旋”函数的定义得：二次函数y＝x2﹣4x+3的“回旋”函数的解析式y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根据“回旋”函数的定义：二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax﹣c，
∵y1＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴顶点坐标为（﹣1，c﹣a），
∵关于x的二次函数y1＝ax2+2ax+c的顶点在它的“回旋”函数y2图象上，
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函数y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函数的解析式为y2＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
由题意得，当≤x≤时，﹣4≤y2≤4，
即当﹣1≤x≤2时，﹣4≤y2≤4，
若a＞0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
则当x＝1时，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
综上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如图，
设点A、B、C、D的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，
∵y1＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，
∴点M的坐标为（﹣，），且x1＝，x2＝，
根据“回旋”函数的定义：y2＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x﹣）2+，
∴点N的坐标为（，），且x3＝，x4＝，
∴AC＝x1﹣x3＝﹣，BC＝x2﹣x3＝﹣，
∵AC＝3BC，
∴﹣＝﹣×3，
∴＝﹣，
当四边形AMDN是矩形时，则∠ADN＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADN中，tan∠NDH＝＝tan∠ANH＝，
∴NH2＝AH•DH，
而NH＝，
AH＝﹣＝，
同理可得：DH＝，
（）2＝×，
将＝﹣代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
即当b＝﹣6时，四边形AMDN为矩形．
59．（2024秋•东阳市月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）当a＝1，c＝2时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时，y＝x2+4x+2，
令y＝x，则 x2+3x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴该函数的完美点为P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；
（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9．
又方程根为x＝﹣＝﹣＝，
∴a＝﹣1，c＝﹣，
该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣；
（3）∵y＝﹣x2+4x﹣﹣＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1），
与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小；
∵当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
60．（2023秋•开福区校级期末）定义：若直线l：y＝kx+b与函数G交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且，其中|xA﹣xB|叫做函数G在直线l上的截距．
（1）求出y＝ax2﹣5ax+6a在x轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
（3）若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数在第一象限交于点A，在第三象限交于B、C两点．
①若B、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数a的值；
②若﹣1＜a＜2，求该二次函数在直线BC上的截距的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣5ax+6a＝0，
解得：x＝2或3，
则截距＝|3﹣2|＝1；
（2）设直线的表达式为：y＝kx+，
联立直线和抛物线的表达式得：kx+＝x2﹣，即x2﹣2kx﹣1＝0，
则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
则弦长＝|x1﹣x2|＝×＝×＝8，
解得：k＝±，
则直线的表达式为：y＝±x+；
（3）①联立两个函数表达式得：x2+（a+17）x+38﹣a＝，
整理得：（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，
∵两个函数在第三象限交于B、C两点，则x2+（a+18）x+56＝0，
∵若B、C两点的横纵坐标均为整数，
则x＝﹣1或﹣56，则a+18＝57，解得：a＝39；
则x＝﹣2或﹣28，则a+18＝30，解得：a＝12；
则x＝﹣4或﹣14，则a+18＝18，解得：a＝0；
则x＝﹣7或﹣8，则a+18＝15，解得：a＝﹣3；
综上，a＝39或12或﹣3或0；
②由①知，xB+xC＝﹣（a+18），xBxC＝56，
设二次函数在直线BC上的截距＝|xB﹣xC|＝＝＝，
∵﹣1＜a＜2，
则＜|xB﹣xC|＜4．
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