全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 22实际应用之拱桥问题（不含答案版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 22实际应用之拱桥问题（不含答案版），共10页。试卷主要包含了，跨度AB为4米等内容，欢迎下载使用。
例1．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴
C．以水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为y轴
练习1．（2023秋•湖北月考）如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2m，水面宽4m．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图2所示，则抛物线的二次函数是（ ）
A．B．C．y＝﹣4x2D．y＝﹣2x2
例2.（2024秋•海淀区校级期中）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度OA为60米；
拱桥最高处到水面的距离BC为9米．
（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式；
（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面2.5m为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为2.5m．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
例3．（2024•扶沟县一模）阅读材料并运用已学的知识解决问题：
材料1：我国的石拱桥有悠久的历史．《水经注》里提到的“旅人桥”，大约建成于公元282年，可能是有记载的最早的石拱桥，我国的石拱桥几乎到处都有，这些桥大小不一，形式多样，有许多惊人的杰作，河北赵县赵州桥“长虹卧波”，桥拱呈圆弧形，永定河上的卢沟桥由11个半圆形的石拱组成，颐和园玉带桥桥拱则呈蛋尖形（可近似看作抛物线形），还有的拱桥里多边形、椭圆形、马蹄形和尖拱形，可说应有尽有．
材料2：图1是陶然亭公园“玉虹桥”．经2023年10月15日中午测量，中间大拱在水面的跨度（即图2线段AB长度）约为14m，当时大拱的最高点距离水面的高度（即图2点C到AB的距离）约为3.5m．
解决问题：
（1）若桥拱为抛物线形，在图2中建立适当的坐标系，并求出相应的二次函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（2）若玉虹桥的桥拱为圆弧形，则桥拱所在圆的半径为 m．（取近似值，精确到0.1）
（3）正值2023陶然亭菊花节，很多游人前往陶然亭公园划船游玩．为安全考虑，两船同行时安全间隔至少为1m，船帮船篷和桥拱的距离不少于0.5m．若常用四人电动船的船宽为1.6m．船篷顶离水面平均高度为1.9m．参考材料2从（1）（2）中任选一种形状计算，中间大拱最多可供几艘常用四人电动船同时通过？（若两种情况都选，按第（1）种计分）
对应练习：
1．（2024春•明山区校级月考）【发现问题】如图1，是沈阳“伯官桥”，它是中国首座“六跨中承式飘带形提篮拱桥”，也是全国施工难度最大的一座桥梁工程，造型别致，每段都是抛物线形状，宛如河上的一条飘带．
【提出问题】如果将该拱桥的一段抽象成二次函数的图形，该图象对应的函数关系式是什么？
【分析问题】如图2，是拱桥其中一段的横截面，虚线部分表示水面，桥墩跨度AB为40米，在距离A点水平距离为d米的地方，拱桥距离水面的高度为h米．小亮对d与h之间的关系进行了探究，经过多次测量，取平均值得到了d和h的几组对应值，如下表
【解决问题】
（1）请在下面的平面直角坐标系中画出表格中数据对应的函数图象，并直接写出h与d之间的函数关系式．
（2）当拱桥距离水面的高度为18.6米时，此时据距离A点水平距离是多少？
（3）今年是伯官桥建成十周年整，为了庆祝，决定在伯官桥上挂设彩灯，如图3，共挂三串彩灯，第一串彩灯EF平行于水面挂设，彩灯两端E，F皆在抛物线上；另外两串彩灯CE，DF都垂直于水面挂设，且距离水面2.0米，求挂设的三串彩灯CE，EF，DF长度和的最大值．
2．（2024•南阳二模）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标．
3．（2024•兰州模拟）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26m，吊杆EF到原点O的水平距离OE＝134m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距离y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝﹣0.006（x﹣h）2+k，其对称轴为直线x＝h．
（1）求OH的长度；
（2）求主拱形到桥面的最大高度AH的长．
4．（2024•长子县二模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．
经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数y＝ax2+bx+0.88．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度AE＝ 米；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5m，宽为1.5m，露出水面高度为1.88m的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离CE至少为多少米．
5.（2024秋•香洲区期中）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下问题，
如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，则BD+CD的最大值为 ．
6．（2023秋•滨江区校级月考）拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度AB的长为6m．
（1）若将拱桥的截面近似看作半径为6m的圆弧，求弧AB的长．
（2）若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系．桥拱顶面离水面AB的最大高度为2.25m，求出二次函数的解析式，并求出水上涨1m后的水面宽度．
7．（2024•正阳县一模）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式；
（2）因降暴雨水位上升1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4.5m（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
8．（2023•平顶山二模）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，如图所示，测得它的跨度AB为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到AB中点O的距离）CO为7.2m，以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
（2）当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度EF不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面EF的距离CD只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
9．（2022秋•邳州市期中）一条河流上有座抛物线形的小拱桥，桥拱的跨径为8米、拱高为4米．
（1）把该桥拱看作一个二次函数的图象，请你建立恰当的平面直角坐标系，写出这个函数的表达式；
（2）一条高于水面2米，宽为6米的货船能否顺利通过该拱桥？
10．（2023秋•长岭县期中）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
11．（2022秋•宛城区校级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，可求这条抛物线的解析式为 ．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为 ，解决了这个问题．
12．（2024秋•青山区期中）如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m．
（1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式；
（2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由；
（3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度．
13．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1）
14．（2024秋•通州区期中）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
d/米
0
6
10
18
24
30
36
40
h/米
8.6
18.8
23.6
28.4
27.8
23.6
15.8
8.6
x/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
y/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.6
0.88