全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 25实际应用之喷泉问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 25实际应用之喷泉问题（含答案解析版），共15页。
【项目主题】自动旋转式喷泉景观
【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数密切关系
【项目素材】
某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
任务一：模型构建
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
数量任务二：模型分析
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
任务三：问题解决
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【解答】解：（1）由题意得：第一象限内抛物线的顶点坐标为（1，2.25）．
∴设第一象限内抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25．
∵经过点A（0，1.25），
∴a（0﹣1）2+2.25＝1.25．
解得：a＝﹣1．
∴第一象限内抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）取y＝1.76．
∴1.76＝﹣（x﹣1）2+2.25．
解得：x1＝0.3，x2＝1.7．
∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下．
∴0.3＜x＜1.7时，y＞1.76．
∴d的取值范围为：0.3＜d＜1.7．
（3）作BP的平行线DE，与抛物线相切于点D，交x轴于点E，作EG⊥BP于点G，则∠EGB＝90°．
∴可设直线DE的解析式为：y＝﹣x+b．
∴．
∴﹣x+b＝﹣（x﹣1）2+2.25．
整理得：x2﹣3x+b﹣1.25＝0．
∵DE与抛物线相切，
∴（﹣3）2﹣4×1（b﹣1.25）＝0．
解得：b＝3.5．
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x+3.5．
当y＝0时，x＝3.5．
∴点E的坐标为（3.5，0）．
由题意得：OB＝4，
∴BE＝．
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG＝45°．
∴EG＝BE•sin∠EBG＝．
答：光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
对应练习：
1．（2024春•北京月考）小腾去公园游玩时在湖边看到了一个美丽的喷泉（图1），善于思考的小腾想到了二次函数的图象，回家后他尝试构造了一个函数y＝﹣x2+2|x|+3（﹣3≤x≤3）来刻画喷泉的形状，下表是小腾列出的部分对应值
（1）计算m＝ ，n＝ 4 ；
（2）在平面直角坐标系xOy中，请你描出小腾所列表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；
（3）小腾发现平行于x轴的直线y＝t和函数y＝﹣x2+2|x|+3（﹣3≤x≤3）图象的交点个数跟t的取值有关，若直线y＝t与函数y＝﹣x2+2|x|+3（﹣3≤x≤3）的图象有4个不同的交点，请你帮小腾直接写出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
当x＝1时，m＝﹣12+2×|1|+3＝4，
故答案为：；
（2）如图，即为所求作：
（3）如图，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）．
由图象可知，直线y＝t与函数y＝﹣x2+2|x|+3（﹣3≤x≤3）的图象有4个不同的交点时，实数t的取值范围为3＜t＜4．
2．（2023秋•鞍山期末）某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
（1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式；
（2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？
【解答】解：（1）由题意，A为（0，2），顶点为（1，3），
则可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
又过A（0，2），
∴2＝a（0﹣1）2+3．
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3．
（2）由题意，∵在不改变抛物线路径形状的情况下，
∴可设此时抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+k．
又保证水流的落地点B不会超出水池边缘，即B（2.5，0），
∴0＝﹣（2.5﹣1）2+k．
∴k＝2.25．
∴此时抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2.25．
再令x＝0，
∴y＝1.25．
∴水管OA最多可以设计为1.25米．
3．（2022秋•门头沟区期末）某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 3.2 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 1或9 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
【解答】解：（1）描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为3.2m，
故答案为：3.2；
（3）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，将（0，0.7），（1，1.6），（2，2.3）代入得：
，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+0.7；
（4）在y＝﹣0.1x2+x+0.7中，令y＝1.6得：
﹣0.7x2+x+0.7＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴石柱距喷水枪的水平距离为1m或9m，
故答案为：1或9．
4．（2024秋•梁园区校级月考）某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足二次函数关系式y＝﹣x2+3x+（x＞0）．
（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时，最高处离喷水装置OA的水平距离为多少米？
（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米处，才不会被喷出的水流击中？
【解答】解：（1）由y＝﹣x2+3x+化为顶点式可得：y＝﹣（x﹣）2+4，
∴顶点为：（），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故最大高度为4m，且最高处离喷水装置OA的水平距离为米；
（2）由（1）知该函数顶点式为：y＝﹣（x﹣）2+4，
∴若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆 不会被喷出的水流击中时，
∴只需求y＝0时即可，
∴0＝﹣（x﹣）2+4，
解得：x＝3.5或x＝﹣0.5（舍），
∴x＝3.5，
∴花盆需至少离喷水装置OA3.5米处．
5．（2024秋•北京期中）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x＝10．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），其图象如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点（10，1）．
（1）C的值为 1 ；
（2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
（3）若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
【解答】解：（1）把点（0，1）代入y＝ax2+bx+c得，c＝1，
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为，
将点（0，1）代入，得k＝6，
∴抛物线的解析式为，
即，
∵坡地OB经过点（10，1），
∴OB的解析式为，
如图，
设抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交OB于点Q，
则，
PQ的长为，
∵，
∴函数图象开口向下，d有最大值，最大值为5.05，
∴水柱与坡面之间的最大铅直高度为5.05米；
（3）灌溉装置不能灌溉到这棵树；理由如下：
当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为．
将x＝16代入抛物线解析式，得，
将x＝16代入直线OB解析式，得，
∵1.6＞1，
∴水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
6．（2024秋•拱墅区期中）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是．
（1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？
（2）若喷水池的半径为4m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+4，且﹣1＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为4，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）喷出的水流不会落在池外；理由如下：
当y＝0时，﹣x2+3x+＝0，
解得x＝3.5或x＝﹣0.5（不合题意，舍去），
∵3.5＜4，
∴喷出的水流不会落在池外．
7．（2024•陕西）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
【解答】解：根据题意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，y＝﹣x2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b＝；
因此，A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y＝﹣x2+x+1和y＝﹣x2+x+2；
（1）函数y＝﹣x2+x+1的对称轴为x＝1，此时y＝，
因此，A喷头喷出的水流的最大高度为m；
（2）函数y＝﹣x2+x+2，令x＝4，y＝﹣×42+×4+2＝﹣，
因此，B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
8.（2024•深圳模拟）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 不能 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，
∴点F的坐标为（5.2，0.7），
当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
9．（2024秋•长丰县期中）综合与实践
【问题情境】图1是喷水管OA从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，OA所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为．
【问题解决】
（1）求喷水管OA的高度；
（2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离4m处达到最高，求喷水管OA要降低的高度．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线为．
∴令x＝0，则y＝﹣（0﹣4）2+5＝．
∴喷水管OA的高度为＝m．
（2）由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为y＝﹣（x﹣4）2+k，
又∵抛物线过（9，0），
∴0＝﹣（9﹣4）2+k．
∴k＝．
∴新抛物线为y＝﹣（x﹣4）2+．
又令x＝0，
∴y＝．
由（1），OA＝，
∴喷水管OA要降低的高度为：﹣＝（m）．
10．（2024秋•鲤城区校级月考）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面15m的点A和19.2m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为20m，水流的最高点到高楼的水平距离为5m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．
（1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进3m到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员从点C前进t米到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，直接写出的t值，t＝ 10 ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
【解答】解：（1）水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为20m，水流的最高点到高楼的水平距离为5m，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为（5，20），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+20，将点A（0，15）代入得：
15＝a（0﹣5）2+20，
解得，
∴，
故消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）水流到达点B处；理由如下：
消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移3个单位得到，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式：
，
令x＝0，得，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过（0，19.2），
∴水流到达点B处；
（3）消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到，
∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为，
∵水流未达到最高点且恰好到达点A处，
∴过点A（0，15），且对称轴x＝5﹣t＜0，
∴t＞5，
将点A（0，15）代入得：，
解得t＝10或t＝0＜5（不合题意，舍去），
∴t＝10，
故答案为：10．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
m
4
3
n
3
0
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…