全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 26实际应用之路径高度分析（含答案解析版）

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（1）求抛物线L1的表达式，并直接写出抛物线L1的对称轴；
（2）小球在斜坡上的落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（4）直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
【解答】解：（1）把点（6，6）代入得：
，
解得：b＝4，
∴抛物线L1的解析式为，
∵，
∴抛物线L1的对称轴为直线x＝4；
（2）联立得：，
解得：或，
∴A点的坐标为；
（3）小球M能飞过这棵树，理由如下：
当x＝2时，
对于，y＝1，
对于，y＝6，6﹣1＝5＞4，
∴小球M能飞过这棵树；
（4）根据题意得：小球M在飞行的过程中离斜坡OA的距离为，
∵，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为．
对应练习．1.（2024•宝鸡二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点D），与地面的距离为20米．
（1）求无人机飞行轨迹的函数解析式；
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，点B（﹣10，0），D（0，20），将B，D坐标分别代入，
得：，解得：，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为，
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x＝30﹣10＝20，
∵无人机与山坡的竖直距离
∴当x＝20时，（米），
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米；
（3）安全，理由如下：
由（2）知，
∵，
∴x＝45时，d有最小值 ，
∴无人机此次飞行是安全的．
2．（2024•万山区一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点，点B的横坐标为，抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax和抛物线C3表达式为y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
【解答】解：（1）∵抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax，且经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线C1的函数表达式为：；
（2）最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线C1的函数表达式为，
∵，
∴抛物线C1的顶点坐标为，
∵O处离地面的距离为1米，
∴球在运动中离地面的最大高度为，
∴最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
∵抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，
∴，
∴b≥2或b≤﹣2，
∵对称轴在x轴负半轴，
∴b＜0，
∴b≤﹣2，
∵点B的横坐标为，
∴，
∴当b＝﹣2时，yB有最小值，最小值为，
∴点B离地面的高度至少为（米）．
3．（2024•威县校级三模）某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表：
【探究发现】
通过表格可发现x与t满足一次函数关系，即x＝5t．而y与t之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述．
【解决问题】
（1）直接写出y关于t的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下面的问题：
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM＝125m．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【解答】解：（1）根据探究发现：y与t是二次函数关系，
设y与t的函数解析式为y＝at2+bt，
由题意得：，
解得，
∴y与t的函数解析式为y＝﹣t2+12t；
（2）①依题意得，令y＝0，则，
解得 t1＝0，t2＝24，
当t＝24时，x＝5t＝120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离120m；
②设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度为，
∵x≥125，
∴5t≥125，
∴t≥25，
在 中，
当刚好落在M点时，即t＝25，y1＝0 时，n＝12.5，
∴若飞机落到回收区域，则n≥12.5，
答：发射平台相对于安全线的最低高度为12.5m．
4．（2024•祥符区一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 （0，70） ，点P的坐标是 （40，30） ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
5．（2024•确山县二模）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【解答】解：（1）∵关于y轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5（a≠0），
将（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
（2）当y＝1.8时，有﹣（x+3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；
（3）当x＝0时，y＝﹣（x+3）2+5＝，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，
∵该函数图象过点（﹣12，0），
∴0＝﹣×（﹣12）2+（﹣12）b+，
解得：b＝﹣，
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+）2+，
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
6．（2024•河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴当t＝﹣＝时，离地面的高度最大．
故答案为：；
（2）当t＝ 时，h＝20．
．
解得：v0＝20（取正值）．
答：小球被发射时的速度是20m/s；
（3）小明的说法不正确．
理由如下：
由（2）得：h＝﹣5t2+20t．
当h＝15时，15＝﹣5t2+20t．
解方程，得：t1＝1，t2＝3．
∵3﹣1＝2（s），
∴小明的说法不正确．
7．（2024•江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
（1）①m＝ 3 ，n＝ 6 ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 8 米；
②求v的值．
【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2+4x，
当y＝时，﹣x2+4x＝，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y＝﹣62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或，
∴点A的坐标是（，）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t﹣）2+，
则＝8，
解得v＝4（负值舍去）．
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…