广东省深圳市光明高级中学初中部、光明中学、勤诚达学校2022-2023学年下学期八年级期中联考数学试卷

这是一份广东省深圳市光明高级中学初中部、光明中学、勤诚达学校2022-2023学年下学期八年级期中联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若x＜y成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．4x＜3yB．﹣x＜﹣yC．＞D．x+6＜y+6
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
4．不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB：BC：AC＝3：4：5D．AB＝13，BC＝5，AC＝12
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10B．20C．10D．10
7．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若AC＝15，CD＝4，当DE最小时，△ADE的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
9．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞2
10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（每题3分，共15分）
11．点A（4，2）先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为 ．
12．因式分解：4x3﹣16x＝ ．
13．若点A（6﹣2x，x﹣5）在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
15．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5，则∠APB的度数为 ．
三．解答题（共55分）
16．（6分）解不等式组：．
17．（6分）利用因式分解计算：（1）22024﹣22023；
（2）已知：x+y＝1，求x2+xy+y2的值．
18．（7分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
19．（8分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
20．（8分）近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展．某餐饮平台计划推出A和B两种预制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元．
（1）求每份菜品A、B的利润；
（2）根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完A、B两种菜品共1000份，且菜品A的数量不高于菜品B数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．
（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．
22．（10分）如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点 A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为ts，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ；当M、N运动秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
（3）当△AMN为直角三角形时，运动时间t的值是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．若x＜y成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．4x＜3yB．﹣x＜﹣yC．＞D．x+6＜y+6
【解答】解：A、由x＜y，无法比较4x＜3y，故此选项错误；
B、∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故此选项错误；
C、∵x＜y，∴＜，故此选项错误；
D、∵x＜y，∴x+6＜y+6，故此选项正确．
故选：D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x﹣1无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a＝a（a﹣1），正确；
D、a2+2a+1＝（a+1）2，故此选项错误；
故选：C．
4．不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵x﹣1≥0，解得：x≥1，
∴不等式的解集在数轴上表示为：
故选：D．
5．以下选项不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．AB：BC：AC＝3：4：5D．AB＝13，BC＝5，AC＝12
【解答】解：A、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°，
2x+3x+5x＝180，解得x＝18，则5x°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，3x+4x+5x＝180，解得x＝15，则5x°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．10B．20C．10D．10
【解答】解：如图，连接BB'，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，
∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，
∴∠ACA'＝60°，
∴∠BCB'＝60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝20，
∴BC＝，
∴BB'＝10，
故选：D．
7．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得10≤a＜12，
故选：B．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若AC＝15，CD＝4，点E在AB上．当DE最小时，△ADE的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
【解答】解：∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短，
∴DE⊥AB，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝4，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝15，
∴△ADE的面积＝AE•DE＝×15×4＝30，
故选：B．
9．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1D．x＞2
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），
∴2＝﹣2m，
解得：m＝﹣1，
∴关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是：﹣1＜x＜0．
故选：B．
10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM＝90°．
∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，
∴∠AFM＝∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，
∴∠A＝∠FCN，
在△AMF与△CNF中，∵，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF＝NF．故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△AMF
∴S四边形CDFE＝S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；
即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．
∴DN＝DN＝2 ；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，
故⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．点A（4，2）先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为 （8，1） ．
【解答】解：点A（4，2）先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为（4+4，2﹣1），
即：（8，1）．
故答案为：（8，1）．
12．因式分解：4x3﹣16x＝ 4x（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：原式＝4x（x2﹣4）
＝4x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：4x（x+2）（x﹣2）．
13．若点A（6﹣2x，x﹣5）在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是 x＞5 ．
【解答】解：∵点A（6﹣2x，x﹣5）在第二象限，
∴，
解得：x＞5．
故答案为：x＞5．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝＝．
故答案为：．
15．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5，则∠APB的度数为 150° ．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．
∴△PBC≌△EBA，
∴PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PE＝PB＝1.5，∠EPB＝60°，
∵AE＝PC＝2.5，PA＝2，
∴PE2+AP2＝AE2，
∴△APE为直角三角形，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°；
故答案为：150°
三．解答题
16．解不等式组：．
【解答】解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤．
17．利用因式分解计算：（1）22024﹣22023；
（2）已知x+y＝1，求x2+xy+y2的值．
【解答】解：（1）原式＝22023；
（2）x2+xy+y2
＝（x2+2xy+y2）
＝（x+y）2，
当x+y＝1时，
原式＝×12＝．
18．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）．
（2）如图，P点坐标为（2，0）．
19．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：AB+AC＝2AE，证明如下：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE．
20．近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展．某餐饮平台计划推出A和B两种预制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元．
（1）求每份菜品A、B的利润；
（2）根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完A、B两种菜品共1000份，且菜品A的数量不高于菜品B数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
【解答】解：（1）设每份菜品A的利润为x元，每份菜品B的利润为y元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品A的利润为15元，每份菜品B的利润为10元；
（2）设购进A菜品m份，总利润为w元，
根据题意得m≤（1000﹣m），
解得m≤600，
w＝15m+10（1000﹣m）＝5m+10000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝600时，w取得最大值，最大值为13000元，
1000﹣600＝400（份），
答：购进A菜品600份，B菜品400份，所获利润最大，最大利润为13000元．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．
（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．
∴点A到BC的距离为5；
（2）如图即为补全的图形，
∵△ABE的面积＝△ABC的面积﹣△BEC的面积＝8×5﹣8×4＝4；
（3）由（2）可知：位于x轴上方的点P与点E重合，
因为DE＝DC＝DB＝4，
所以△BDE和△CDE是等腰直角三角形，
所以此时∠BEC＝∠BPC＝90°，
所以点P的坐标为（﹣1，4）．
22．如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点 A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为ts，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 BC的中点 ；当M、N运动秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
（3）当△AMN为直角三角形时，运动时间t的值是 或或或9 ．
【解答】解：（1）当点 N 第一次到达 B 点时，，
此时M运动了1×9＝9（ cm），∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
故答案为：BC的中点；
（2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM．∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，AB＝AC，
在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB
∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形；
（3）当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得．
如图4，当∠ANM＝90°，
同理可得：由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在BC上运动时，
如图5，当点N位于BC中点处时，由△ABC为等边三角形知AN⊥BC，
即△AMN是直角三角形，
则2t＝6+6+3，解得．
如图6，当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t＝6+3＝9；
综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN．
故答案为：或或或9．