广东省湛江市遂溪县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省湛江市遂溪县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+6＝9B．x+y＝1
C．D．﹣2x2+3x﹣1＝0
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）
4．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
5．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针方向转动40°得△AED，点D恰好在边BC上（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
7．（3分）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝121B．121（1+x）2＝100
C．121（1﹣x）2＝100D．100（1﹣x）2＝121
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线x＝1对称
B．y的最小值是﹣4
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，1）D．（1，﹣2）
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）方程x2＝1的解是 ．
12．（3分）关于x的方程（a+2）x|a|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝ ．
13．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
14．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变 （填序号）．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（7分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）若a的值为3时，请解这个方程．
17．（7分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝70°，∠E＝30°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝3，CE＝5，求BD的长度．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）【操作与实践】
①步骤一：将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
②步骤二：平移△ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）【应用与求解】
将△A1B1C绕某一点M旋转180°可以得到△A2B2C2，则旋转中心M的坐标为 ．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值．
20．（9分）2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，手榴弹离手点离地面高度为米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远．
21．（9分）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用）
22．（13分）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）已知点C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，请求出点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值及点D的坐标．
23．（14分）问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，AB交DE于点M，AC＝12，求AM的长．请你思考此问题
2024-2025学年广东省湛江市遂溪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+6＝9B．x+y＝1
C．D．﹣2x2+3x﹣1＝0
【答案】D
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A、x+6＝9中未知数的指数不是6，不符合题意；
B、x+y＝1中含有2个未知数，不符合题意；
C、，该方程是分式方程；
D、﹣2x7+3x﹣1＝5，该方程是一元二次方程；
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）
【答案】D
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
【答案】A
【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达式即可．
【解答】解：∵把抛物线y＝2x2向下平移5个单位，
∴所得抛物线的函数表达式是：y＝2x2﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：左加右减，上加下减．
5．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针方向转动40°得△AED，点D恰好在边BC上（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】由将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED，可得AC＝AD，∠CAD＝40°，继而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED，
∴AC＝AD，∠CAD＝40°，
∴，
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解题的关键．
6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2B．4C．8D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣4）＝0
解得：x＝4或x＝4，
当等腰三角形的三边为2，2，7时，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，5时，此时能组成三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
7．（3分）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝121B．121（1+x）2＝100
C．121（1﹣x）2＝100D．100（1﹣x）2＝121
【答案】C
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，据此列方程即可．
【解答】解：根据题意列方程得，
121（1﹣x）2＝100．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线x＝1对称
B．y的最小值是﹣4
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象逐一进行判断即可．
【解答】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，不符合题意；
∴该函数有最小值﹣4，故B选项正确；
观察图象得：二次函数图象与x轴交于点（﹣5，0），
∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（4，0），
观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴当x＜4时，y随x的增大而减小，符合题意；
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝2（a≠0）的两个根为x1＝﹣8，x2＝3，故C选项正确．
故选：C．
【点评】本题主要查了二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，1）D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质可知B（2，1），再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可．
【解答】解：∵OA＝2，OC＝1，
∴B（7，1）．
将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，如图
可知：B1（﹣2，2），B2（﹣3，﹣1），B3（8，﹣2），B4（8，1），…，
则：每旋转4次则回到原位置，
∵2024÷2＝506，
即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，
∴B2024的坐标为（2，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，
∴二次函数y＝ax6+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）方程x2＝1的解是 ±1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为x2＝1，从而把问题转化为求1的平方根．
【解答】解：∵x2＝1
∴x＝±7．
【点评】解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．
12．（3分）关于x的方程（a+2）x|a|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意知，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，要特别注意二次项系数a+2≠0这一条件，当a+2＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）4+2是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，8）．
故答案为（1，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
14．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是 ﹣2＜x＜6 ．
【答案】﹣2＜x＜6．
【分析】首先求出点（﹣2，0）关于对称轴x＝2的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x＝2，
抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，6），
则（﹣2，0）关于x＝2对称的点为（6，
即抛物线与x轴另一个交点为（6，6），
当﹣2＜x＜6时，y＜5，
故答案为：﹣2＜x＜6．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
15．（3分）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，证明△PEM≌△PFN，△PEO≌△PFO，即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，垂足为F，
∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，
∴∠MPE＝∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PE＝PF，
∵∠MEP＝∠NFP＝90°，
∴△MEP≌△NFP（ASA），
∴PM＝PN，ME＝NF，
故①正确；
∵OP＝OP，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴OE＝OF，
∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠AOB＝60°，
∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，
∴PO＝2OE，
∴OM+ON＝OP，
故②正确；
∵△MEP≌△NFP，
∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，
故③正确；
∵PM＝PN，∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，
故④错误；
所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（7分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值；
（2）若a的值为3时，请解这个方程．
【答案】（1）；（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）将x＝1代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）把a＝3代入原方程得到x2+3x+1＝0，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣7＝0，
解得：a＝；
（2）把a＝3代入原方程得，x2+8x+1＝0，
∴Δ＝42﹣4×3×1＝5，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握．
17．（7分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝70°，∠E＝30°，求旋转的角度的大小；
（2）若AC＝3，CE＝5，求BD的长度．
【答案】（1）旋转的角度为80°；（2）BD＝2．
【分析】（1）由旋转的性质求出∠E＝∠B＝40°，由三角形内角和定理可得出答案；
（2）由旋转的性质可求出答案．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣70°＝80°；
∴旋转的角度为80°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CD＝AC＝3，BC＝CE＝5，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）【操作与实践】
①步骤一：将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
②步骤二：平移△ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）【应用与求解】
将△A1B1C绕某一点M旋转180°可以得到△A2B2C2，则旋转中心M的坐标为 （2，﹣1） ．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，（2，﹣1）．
【分析】（1）根据网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；然后利用点平移的坐标特征得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（2）根据网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C和△A3B2C2为所作；
（2）如图，△A7B1C绕点M旋转180°得到△A2B6C2．旋转中心M的坐标为（2，﹣6）．
故答案为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值．
【答案】（1）见解析；
（2）m1＝2，m2＝1．
【分析】（1）由题意可得根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得证；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m；然后代入求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝6，
a＝1，b＝﹣（m﹣3），
∴Δ＝[﹣（m﹣4）]2﹣4×7×（﹣m）
＝m2﹣6m+8+4m
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣1）5+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由两根关系得x7+x2＝m﹣3，x8x2＝﹣m，
∵，
∴，
即（m﹣3）2﹣6（﹣m）＝7，
即m2﹣6m+2＝0，
解得：m5＝2，m2＝7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
20．（9分）2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，手榴弹离手点离地面高度为米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远．
【答案】（1）；
（2）17米．
【分析】（1）根据顶点式设出抛物线解析式，利用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中y＝0，解出x的值，即可求出志愿军同志的手榴弹扔了多远．
【解答】解：（1）∵手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，
∴抛物线的顶点坐标为（6，9），
∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣8）3+9，
∵手榴弹离手点离地面高度为米，
∴抛物线过点（3，），
将 代入，得，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令y＝0，即
解得 x1＝17，x8＝﹣1 （不符合题意，舍去），
答：志愿军同志的手榴弹扔了17米．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意中数量的意义是解题的关键．
21．（9分）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量＝60﹣房间空闲个数，列出代数式；
（2）用：每天的房间收费＝每间房实际定价×入住量，每间房实际定价＝200+x，列出方程．
【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，以此类推，
∴入住的房间数量＝60﹣，房间价格是（200+x）元）×20．
故答案为：60﹣；200+x）×20；
（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣，
整理，得
x2﹣420x+32000＝0，
解得x4＝320，x2＝100．
当x＝320时，有游客居住的客房数量是：60﹣．
当x＝100时，有游客居住的客房数量是：60﹣．
所以当x＝100时，能吸引更多的游客．
答：每间客房的定价应为300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（13分）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）已知点C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，请求出点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值及点D的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）①（4，21）或（﹣4，5）；
②QD的最大值，．
【分析】（1）根据抛物线对称轴求出点B的坐标为（1，0），利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）求出OC＝3．①求出OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．根据S△POC＝4S△BOC得到，解得a＝±4，即可得到点P的坐标．②求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．得到，根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，
∴点B的坐标为（4，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x8+2x﹣3；
（2）∵将x＝5代入得y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣7）．
∴OC＝3．
①∵点B的坐标为（1，2），
∴OB＝1．
设点P的坐标为（a，a2+8a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S△POC＝4S△BOC，
∴，即，
解得a＝±2．
当a＝4时，a2+6a﹣3＝45+8﹣3＝21，
∴点P的坐标为（6，21）；
当a＝﹣4时，a2+2a﹣3＝（﹣4）6﹣8﹣3＝5，
∴点P的坐标为（﹣4，5）．
∴点P的坐标为（2，21）或（﹣4．
②如图所示：
设AC的解析式为y＝kx﹣3，
将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，
解得k＝﹣2，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x．
∴，
∴当时，QD有最大值，
此时，
∴．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数最值等知识，数形结合是解题的关键．
23．（14分）问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，AB交DE于点M，AC＝12，求AM的长．请你思考此问题
【答案】（1）四边形BCGE为正方形；理由见解答过程；
（2）AM＝BE；理由见解答过程；
（3）①AM＝BE；理由见解答过程；
②．
【分析】（1）先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB≌△DEB可得BC＝BE，从而得四边形BCGE是 正方形；
（2）①由已知∠ABE＝∠BAC 可得 AN＝BN，再由等积方法S△ABF＝AN•BC＝BN•AM，再结合已知即可证明结论；
②过M作MG⊥BD于G，作AH⊥DE于点H，则易得MD＝MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长．
【解答】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形；理由如下：
∵∠BED＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，
∵∠ABE＝∠A，
∴AC∥BE，
∴∠CGE＝∠BED＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC＝BE．
∴矩形BCGE为正方形；
（2）①结论：AM＝BE；理由如下：
∵∠ABE＝∠BAC，
∴AN＝BN，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABN＝AN•BC＝，
∵AN＝BN，
∴BC＝AM，
由（1）得BE＝BC，
∴AM＝BE．
②如图4：过M作MG⊥BD于G，作AH⊥DE于点H，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE＝BC＝4，DE＝AC＝12，∠ABC＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBM，
∵∠CBE＝∠BAC，
∴∠D＝∠DBM，
∴MD＝MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴DM＝＝＝，即，
∴．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定 与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形 是解题的关键．
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200
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（60﹣）×20