浙江省温州市苍南县 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省温州市苍南县 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若三角形中有两边长分别为2和7，则这个三角形的另一边长可能为（ ）
A．3B．5C．8D．13
3．（3分）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（3分）若x＞y，则下列式子中正确的是（ ）
A．x2＞y2B．x﹣3＞y﹣3C．﹣2x＞﹣2yD．
6．（3分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣1B．a＝0C．a＝2D．a＝3
7．（3分）如图，尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是（ ）
A．以点F为圆心，以BE长为半径的弧
B．以点F为圆心，以DE长为半径的弧
C．以点G为圆心，以BE长为半径的弧
D．以点G为圆心，以DE长为半径的弧
8．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
10．（3分）等边△ABC中，射线BA上有一点D，连结CD，以CD为边向上作等边△CDE，连结BE和AE，下列结论：①AE与直线AB夹的锐角为60° ②CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论是（ ）
A．①对②错B．①错②对C．①②都对D．①②都错
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 ．
12．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ．
13．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝5，则AB＝ ．
15．（3分）如图，已知∠ABD＝∠CBD，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件是 ．（只需写出一种情况）
16．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ACD 沿直线AD翻折后，点C的对称点E恰好落在AB上，则线段BD的长为 ．
17．（3分）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．若BC＝8，则PQ＝ （用含m的代数式表示）．连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：3，则m的值为 ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答题应写出必要的演算步骤或推理过程）
19．（6分）请在下列2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图1），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复）
20．（6分）看图填空：已知：如图，AB⊥BD，AC⊥CD，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BDC．
证：∵AB⊥BD，AC⊥CD（① ）
∴② ＝∠ACD＝Rt∠（垂直的定义）
∵∠1＝∠2
∴AB＝AC（③ ）
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（⑤ ）．
∴∠BDA＝∠CDA（⑥ ）．
即AD平分∠BDC．
21．（6分）若x＞y，比较5x﹣3与5y﹣3的大小，并说明理由．
22．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，∠A＝∠D＝60°，BF＝CE，AB∥DE．（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠B＝38°，求∠BFD的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，CD＝AB，F为CE的中点．
（1）求证：DF⊥CE；
（2）若AB＝10，BC＝13，求CE的长．
24．（12分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，点D在BC的延长线上，CD＝4cm，且DE⊥CD．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CD方向以2cm/s的速度移动，运动时间记为t秒（t＞0），连结AP，EP．
（1）如图1，当点P在线段CD上时，用t的代数式表示CP；
（2）如图2，当点P在线段CD的延长线上，若DE＝8cm，且时，求t的值．
（3）连结AE，若△AEP是以EP为腰的等腰直角三角形，求t的值．
2024-2025学年浙江省温州市苍南县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）若三角形中有两边长分别为2和7，则这个三角形的另一边长可能为（ ）
A．3B．5C．8D．13
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
【解答】解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．（3分）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝105°﹣75°＝30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据全等三角形的性质求出BD，结合图形计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝7，
∴DB＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝DB﹣BE＝7﹣5＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．（3分）若x＞y，则下列式子中正确的是（ ）
A．x2＞y2B．x﹣3＞y﹣3C．﹣2x＞﹣2yD．
【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
【解答】解：A、当x、y是负数时，等式仍不成立，即﹣3＞﹣5，（﹣3）2＜（﹣5）2，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边都减3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故本选项符合题意；
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即2a＞2b，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、在不等式x＞y的两边同时除以2，不等号的方向不变，即，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
6．（3分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣1B．a＝0C．a＝2D．a＝3
【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．
【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a，
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
7．（3分）如图，尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是（ ）
A．以点F为圆心，以BE长为半径的弧
B．以点F为圆心，以DE长为半径的弧
C．以点G为圆心，以BE长为半径的弧
D．以点G为圆心，以DE长为半径的弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可．
【解答】解：由作图可知，弧MN是以点G为圆心，以DE长为半径的弧．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键．
8．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝AB•DE+AC•DF＝×4×2+AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝2，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS），
∴EF＝DE，BF＝CD＝2，
∴AF＝AB+BF＝7，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△BEF≌△CED是本题的关键．
10．（3分）等边△ABC中，射线BA上有一点D，连结CD，以CD为边向上作等边△CDE，连结BE和AE，下列结论：①AE与直线AB夹的锐角为60° ②CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论是（ ）
A．①对②错B．①错②对C．①②都对D．①②都错
【分析】利用△BCD≌△ACE（SAS），可以证明①正确；CE2+AD2＝AC2+DE2成立的条件是∠BCD＝90°，可判断②错误．
【解答】解：如图，设CD交AE于O．
∵△ABC，△CED都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC＝∠AEC，
∵∠EOC＝∠DOA，
∴∠OAD＝∠OCE＝60°，
∴AE与AB的夹角为60°，故①正确；
当CE2+AD2＝AC2+DE2时，
∵CE＝DE，
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝AB，
∴∠BCD＝90°，
故当∠BCD＝90°时，CE2+AD2＝AC2+DE2，故②错误．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 a+3＜2 ．
【分析】根据题意，可以用含a的不等式表示“a的一半与3的和小于2”．
【解答】解：“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为：a+3＜2，
故答案为：a+3＜2．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
12．（3分）“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为 15 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝5，则AB＝ 10 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．
15．（3分）如图，已知∠ABD＝∠CBD，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件是 AB＝CB（答案不唯一） ．（只需写出一种情况）
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】解：在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件是AB＝CB（答案不唯一）．
故答案为：AB＝CB（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
16．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D在BC上，将△ACD 沿直线AD翻折后，点C的对称点E恰好落在AB上，则线段BD的长为 5 ．
【分析】由∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC＝＝6，由翻折得AE＝AC＝6，∠AED＝∠C＝90°，ED＝CD＝8﹣BD，则BE＝4，由BE2+ED2＝BD2，得42+（8﹣BD）2＝BD2，求得BD＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∴由翻折得AE＝AC＝6，∠AED＝∠C＝90°，ED＝CD＝8﹣BD，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，∠DEB＝90°，
∵BE2+ED2＝BD2，
∴42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得BD＝5，
故答案为：5．
【点评】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 95° ．
【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，进而可依据“SAS”判定△ACE和△ABD全等，则∠ACE＝∠B，再根据CE∥AB得∠ACE＝∠BAC，则∠B＝∠BAC，进而得BC＝AC，由此可判定△ABC是等边三角形，则∠DAE＝∠BAC＝60°，从而得△ADE是等边三角形，则∠ADE＝60°，再求出∠DAC＝35°即可得出∠DOC的度数．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∴∠B＝∠BAC，
∴BC＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∵AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝25°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝35°，
∴∠DOC＝∠DAC+∠ADE＝95°．
故答案为：95°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP＝m．若BC＝8，则PQ＝ 12﹣2m （用含m的代数式表示）．连结PE，若∠A＝60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：3，则m的值为 ．
【分析】利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ＝2PC，可得结论；证明DE：QE＝3：2，设DE＝EQ＝x，根据BC＝5，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵P，Q关于BC对称，
∴PC＝CQ＝6﹣m，
∴PQ＝2PC＝12﹣2m；
∵CP＝CQ，
∴S△PEC＝S△ECQ，
∵S△PDE＝3S△PEC，
∴S△PDE：：S△PEQ＝3：2，
∴DE：QE＝3：2，
设DE＝3x，QE＝2x
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝6x，
∵∠ADQ＝90°，
∴∠Q＝90°﹣60°＝30°，
∴EC＝EQ＝x，
∵BC＝AB•＝5，
∴6x+x＝5，
∴x＝，
∴DQ＝5x＝，CQ＝PC＝EQ•＝，
∴m＝AP＝AC﹣PC＝5﹣＝．
故答案为：12﹣2m；．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答题应写出必要的演算步骤或推理过程）
19．（6分）请在下列2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图1），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复）
【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
【解答】解：如图所示：（答案不唯一）
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，注意掌握轴对称的特点，选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点．
20．（6分）看图填空：已知：如图，AB⊥BD，AC⊥CD，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BDC．
证：∵AB⊥BD，AC⊥CD（① 已知 ）
∴② ∠ABD ＝∠ACD＝Rt∠（垂直的定义）
∵∠1＝∠2
∴AB＝AC（③ 在同一个三角形中，等角对等边 ）
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（⑤ HL ）．
∴∠BDA＝∠CDA（⑥ 全等三角形对应角相等 ）．
即AD平分∠BDC．
【分析】由等腰三角形的判定得到AB＝AC，根据HL定理证得Rt△ABD≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证：∵AB⊥BD，AC⊥CD（已知），
∴∠ABD ＝∠ACD＝Rt∠（垂直定义），
∵∠1＝∠2，
∴AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边），
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴∠BDA＝∠CDA（全等三角形对应角相等）．
即AD平分∠BDC，
故答案为：已知，∠ABD，在同一个三角形中，等角对等边，AB＝AC，HL，全等三角形对应角相等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据HL定理证得Rt△ABD≌Rt△ACD是解决问题的关键．
21．（6分）若x＞y，比较5x﹣3与5y﹣3的大小，并说明理由．
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：5x﹣3＞5y﹣3，理由如下：
已知x＞y，
两边同乘5再减去3得：5x﹣3＞5y﹣3．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
22．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，∠A＝∠D＝60°，BF＝CE，AB∥DE．（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠B＝38°，求∠BFD的度数．
【分析】（1）证明△ABC≌△DEF即可解决问题；
（2）由（1）得∠B＝∠E＝38°，再根据三角形外角定义即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE；
（2）解：由（1）得∠B＝∠E＝38°，
∵∠A＝∠D＝60°，
∴∠BFD＝∠D+∠E＝98°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角定义，解决本题的关键是得到△ABC≌△DEF．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，CD＝AB，F为CE的中点．
（1）求证：DF⊥CE；
（2）若AB＝10，BC＝13，求CE的长．
【分析】（1）连接DE，由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝AB，而CD＝AB，得到CD＝DE，由等腰三角形的性质推出DF⊥CE；
（2）过E作EG⊥BC于点G，求出CD＝AB＝5，得到BD＝BC﹣CD＝13﹣5＝8，由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AB＝5，由等腰三角形的性质推出BG＝DG＝BD＝4，求出CG＝DG+CD＝4+5＝9，由勾股定理求出EG＝＝3，CE＝＝3．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是边BC上的高线，
∴△ABD是直角三角形，
∵CE是边AB上的中线，
∴DE＝AB，
∵CD＝AB，
∴CD＝DE，
∵F为CE的中点，
∴DF⊥CE；
（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵CD＝AB＝×10＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝13﹣5＝8，
∵DE是Rt△ABD的中线，
∴DE＝AB，
∴DE＝BE＝AB＝5，
∵EG⊥BD，
∴BG＝DG＝BD＝4，
∴CG＝DG+CD＝4+5＝9，
在Rt△BEG中，EG＝＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝3．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的高，中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出DE＝AB，得到CD＝DE，由勾股定理求出EG的长．
24．（12分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，点D在BC的延长线上，CD＝4cm，且DE⊥CD．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CD方向以2cm/s的速度移动，运动时间记为t秒（t＞0），连结AP，EP．
（1）如图1，当点P在线段CD上时，用t的代数式表示CP；
（2）如图2，当点P在线段CD的延长线上，若DE＝8cm，且时，求t的值．
（3）连结AE，若△AEP是以EP为腰的等腰直角三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式得到S△ACP＝CP•AB＝×（2t﹣5）×4＝4t﹣10，S△DEP＝DE•DP＝×8×（2t﹣5﹣4）＝8t﹣36，，根据题意列方程即可得到结论；
（3）①当点P在线段AC上时，很明显△ABP 是钝角三角形，显然不可能，②当点P在线段CD上时，很明显△ABP 是钝角三角形，显然也不可能，③当点P在线段CD的延长线上时，当∠APE＝90° AP＝EP时，根据余角的性质得到∠1＝∠3，根据全等三角形的性质得到AB＝DP＝4，求得CP＝CD+DP＝4+4＝8，求得，②当∠AEP＝90°，AE＝EP时，同理可得，△AEK≌EPD，得到AK＝DE＝7，
求得EK＝DP＝11，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BC中，，
∴CP＝2t﹣5；
（2）∵S△ACP＝CP•AB＝×（2t﹣5）×4＝4t﹣10，S△DEP＝DE•DP＝×8×（2t﹣5﹣4）＝8t﹣36，，
∴＝，
∴t＝；
（3）①当点P在线段AC上时，
很明显△ABP 是钝角三角形，显然不可能，
②当点P在线段CD上时，
很明显△ABP 是钝角三角形，显然也不可能，
③当点P在线段CD的延长线上时，
当∠APE＝90° AP＝EP时，
∵AP⊥PE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABP和△PDE 中，
，
∴△ABP≌△PDE（ASA），
∴AB＝DP＝4，
∴CP＝CD+DP＝4+4＝8，
∴2t﹣5＝8，
∴，
②当∠AEP＝90°，AE＝EP时，
同理可得，△AEK≌EPD，
∴AK＝DE＝7，
∴EK＝DP＝11，
∴CP＝15，
∴2t﹣5＝15，
∴t＝10，
综上所述，若△AEP是以EP为腰的等腰直角三角形，t的值为或10．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
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