浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
2．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x2B．C．y＝2x+1D．
3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
4．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）
5．（3分）对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为：直线x＝﹣3
C．当x≥3时y随x增大而减小
D．函数的最小值是2
6．（3分）下列说法中正确的说法有（ ）个
①不在同一直线上的三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（每题3分）
11．（3分）已知，则＝ ．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
13．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋转40°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC与△BDC相似，则BD＝ ．
15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，OF⊥AB于F．
（1）若AF＝OF，则∠ADB的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长为 ．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．请画出△ABC绕A顺时针旋转90°后的△AB1C1并写出点B1、C1的坐标．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的长．
19．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），CD与EE是过点P的两条弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求证：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；
（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．
23．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．
（1）当m＝2时，二次函数图象与x轴的交点坐标为 ；
（2）若二次函数有最小值．
①求证：当x≤1时，y随x的增大而减小；
②若﹣3≤x≤0时，y最大﹣y最小＝11，求m的值．
24．（12分）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系可得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，OA＝2，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．
2．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝1﹣x2B．C．y＝2x+1D．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可．
【解答】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是一次函数，故此选项不符合题意；
D、是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数，熟知二次函数的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠EB．∠B＝∠ADEC．D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4．（3分）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣1，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【分析】根据二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣1，﹣3）关于对称轴的对称点为（1，﹣3），
∴点（1，﹣3）必在该图象上，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
5．（3分）对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为：直线x＝﹣3
C．当x≥3时y随x增大而减小
D．函数的最小值是2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣3）2+2，
∴该函数的顶点坐标为（3，2），故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线x＝3，故选项B错误，不符合题意；
当x≥3时，y随x的增大而减小，故选项C正确，符合题意；
函数的最大值为2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）下列说法中正确的说法有（ ）个
①不在同一直线上的三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据垂径定理的推论、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确；
②能够重合的弧是等弧，原说法不正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确．
综上所述，正确的说法有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
7．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，OC，OD，求出∠AOC及∠AOD的度数，进而得出∠COD的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OC，OD，
∵∠B＝62°，
∴∠AOC＝2∠B＝124°．
∵∠ACD＝39°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝78°，
∴∠COD＝124°﹣78°＝46°，
又∵⊙O的半径为5，
∴弧CD的长为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟知弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm
【分析】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．
【解答】解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴，
∴AD•BD＝DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•BD，
∴CD2＝DE•DG，
∴，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故结论①正确；
由①知：b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故结论②正确；
∵a＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点P（x1，y1）和Q（x2，y2）在抛物线上，且x1＜1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离，
∴y1＞y2，故结论③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1＜x2，如图所示，
若m＜x1，则p＜0，m﹣x1＜0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）＜0，
若x1≤m＜x2，则p≥0，m﹣x1≥0，m﹣x2＜0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
若m≥x2，则p≤0，m﹣x1＞0，m﹣x2≥0，
∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，
综上所述，p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
11．（3分）已知，则＝ ．
【分析】设＝k，则x＝2k，y＝3k，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：根据题意，设＝k，
则x＝2k，y＝3k，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，正确利用比值是解答本题的关键．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ 65 °．
【分析】连接CD，先根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D＝25°，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：连接CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠D＝25°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋转40°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【分析】根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可．
【解答】解：∵S阴影＝S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆
＝S扇形ABA′
＝
＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握旋转变换性质、扇形面积公式S＝是解题的关键．
14．（3分）如图，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，BC＝6，若△ABC与△BDC相似，则BD＝ 或 ．
【分析】根据相似三角形的性质当△ABC∽△CDB时，当△ABC∽△BDC时，分别求出即可．
【解答】解：当△ABC∽△CDB时，
∴＝，
∵AC＝10，BC＝6，
∴＝，
∴BD＝，
当△ABC∽△BDC时，
∴＝，
∵AC＝10，BC＝6，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝＝＝，
则BD的长为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为 （﹣1，4） ．
【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数的对称轴，可以求得b的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，
∴﹣＝，
解得b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．
16．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，OF⊥AB于F．
（1）若AF＝OF，则∠ADB的度数为 45° ；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长为 6 ．
【分析】（1）过点A作⊙O的直径AE，连接OB，则△AFO是等腰直角三角形，从而得∠OAF＝45°，再根据OA＝OB得∠OBA＝∠OAF＝45°，则∠AOB＝90°，由此可得∠ADB的度数；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝6，再根据∠ADB+∠CAD＝90°，∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB得∠CAD＝∠BAE，进而得＝，由此可得CD的长．
【解答】解：（1）过点A作⊙O的直径AE，连接OB，如图所示：
∵OF⊥AB，AF＝OF，
∴△AFO是等腰直角三角形，
∴∠OAF＝45°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAF＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵⊙O的半径是5，AB＝8，
∴AE＝10，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠ADB+∠CAD＝90°，
又∵∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴＝，
∴CE＝BE＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．请画出△ABC绕A顺时针旋转90°后的△AB1C1并写出点B1、C1的坐标．
【分析】根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：如图，△AB1C1即为所求．
由图可得，B1（2，﹣2），C1（4，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，求FC的长．
【分析】先判断四边形BDEF为平行四边形，则EF＝BD＝3，再证明△CEF∽△CAB，利用相似比得到＝，然后利用比例性质求CF的长．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴EF＝BD＝3，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴FC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的判定与性质．
19．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线C的解析式：
（2）根据平移规律写出抛物线C1的解析式，继而求得顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（0，3）和（1，1）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+3．
所以y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
将其先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1的解析式为：y＝﹣（x++2）2+﹣1，即y＝﹣（x+）2+．
故抛物线C1的顶点坐标是（﹣，）．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，解题的过程中注意配方法的应用．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得＝，从而得＝，再由圆周角定理得∠ADC＝∠G；
（2）连接OC，由点C是的中点得＝，由CD＝AG得＝，再由＝得＝4，从而可求出∠BOC的度数，进而求出∠AOC的度数，根据圆周角定理求出∠ADC的度数，再根据（1）中的结论得到∠G的度数即可．
【解答】解：（1）与∠G相等的角是∠ADC．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠G．
（2）如图，连接OC．
∵点C是的中点，
∴＝，
∵CD＝AG，
∴＝，
∵＝，
∴＝4，
∴∠BOC＝＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ADC＝∠AOC×135°＝67.5°，
∵∠ADC＝∠G，
∴∠G＝67.5°．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系是解题的关键．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
【分析】（1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（2）根据∠EAC＝∠ECA，∠DAC＝∠CAE，即可得出∠DAC＝∠ECA，进而得到CE∥AD，即可判定△CEF∽△ADF，即可得出＝＝，进而得到＝．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB•AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E为AB的中点，AB＝6，
∴CE＝AB＝AE＝3，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），CD与EE是过点P的两条弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求证：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；
（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．
【分析】（1）证明Rt△OHF≌Rt△OND（HL），即可求解；
（2）证明△OPH为等腰直角三角形，则OH＝PH，则FO＝＝＝，即可求解；
（3）由PE2+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）2＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝2r2，即可求解．
【解答】（1）证明：过点O分别作EF、CE的垂线，垂足分别为点H、N，连接OF、OD，
则HF＝EF，ND＝CD，FO＝DO，
∵CD＝EF，则HF＝ND，
∴Rt△OHF≌Rt△OND（HL），
则ON＝OH，
故PB平分∠FPD；
（2）解：如上图，由（1）知，∠FPG＝∠DPG＝45°，
则△OPH为等腰直角三角形，则OH＝PH，
∵PE＝3，PF＝5，则EF＝5+3＝8，
则FH＝EF＝4，则PH＝5﹣4＝1＝HO，
则FO＝＝＝，
则AB＝2FO＝2；
（3）的值不变，为，理由：
证明：由（1）知，∠FPG＝45°，设圆O的半径为r，
过点O作OH⊥EF，则△OPH为等腰直角三角形，则OH＝PH，FH＝EH，
在Rt△OHF中，FO2＝r2＝OH2+FH2，
则PE2+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）2＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝2r2，
而AB2＝4r2，
则＝．
【点评】本题考查对的是圆的综合题，涉及到勾股定理的运用、垂径定理、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．
（1）当m＝2时，二次函数图象与x轴的交点坐标为 （1，0）或（2，0） ；
（2）若二次函数有最小值．
①求证：当x≤1时，y随x的增大而减小；
②若﹣3≤x≤0时，y最大﹣y最小＝11，求m的值．
【分析】（1）当m＝2时，y＝2x2﹣6x+4，当y＝0时，即2x2﹣6x+4＝0，即可求解；
（2）①若二次函数有最小值，则m＞0，而对称轴为直线x＝﹣＝1+＞1，即可求解；
②由①知，当x≤1时，y随x的增大而减小，故当x＝﹣3时，ymax＝9m﹣2（m+1）×（﹣3）+4＝15m+10，当x＝0时，ymin＝4，即可求解．
【解答】（1）解：当m＝2时，y＝2x2﹣6x+4，
当y＝0时，即2x2﹣6x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
故答案为：（1，0）或（2，0）；
∴二次函数图象与x轴交于（1，0）和（2，0 ）；
（2）①证明：∵若二次函数有最小值，
∴m＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∴x≤1在对称轴的左侧，开口向上，y随x的增大而减小；
②解：由①知，当x≤1时，y随x的增大而减小，
故当x＝﹣3时，ymax＝9m﹣2（m+1）×（﹣3）+4＝15m+10，
当x＝0时，ymin＝4，
即15m+10﹣4＝11，
则m＝﹣．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数的最值、抛物线和x轴的交点等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
24．（12分）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： 圆内接四边形对角互补 ；依据2： 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 45° ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；
②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案为：45°；
（3）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD•AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD•AF＝AB2＝8．
【点评】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键