河南省漯河市召陵区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河南省漯河市召陵区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题，共10页。
1．本试卷共6页，测试时间100分钟，测试分数120分．
2．本试卷为闭卷考试，学生在考试时不准使用计算器．本试卷分试题卷和答题卡两部分．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．如图所示，是的直径，为弦，于点，则下列结论中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于的一元二次方程一个根为3，则另一个根为（ ）
A．1B．C．2D．
6．如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）
A．15°B．C．D．
7．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m，轮子的吃水深度CD为2m，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A．6mB．8mC．10mD．12m
8．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．若抛物线与轴交点为，则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．当时，随的增大而减小
C．对称轴为D．的值为
10．如图，正方形的边长为2cm，动点同时从点出发，在正方形的边上，分别按的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为______．
12．如图，是上两点，是弧的中点，判断四边形的形状是______．
13．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小阳积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小阳此次投掷的成绩是______米．
15．如图，直线与轴、轴分别交于两点，的长分别是一元二次方程的两个实数根，为直线上的动点，连接，若点的坐标为，则的值为______，的最小值为______。
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）；（2）．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，写出顶点的坐标，并画出；
（2）若和关于原点成中心对称图形，写出的各顶点的坐标；
（3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，写出的各顶点的坐标，并画出．
18．（9分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值．
19．（9分）下面是小海同学设计的"过圆外一点作圆的一条切线"的尺规作图过程．
已知：如图，已知及外一点．
求作：过点的的一条切线．
作法：①连接交于点，并延长交于点；
②以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点；
③连接交于点，作直线；则直线是的一条切线．
请你根据小海同学设计的尺规作图过程完成下列问题。
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成证明：
，
点为的中点．
，
（______）（填推理的依据）。
又是的半径．
是的切线（______）（填推理的依据）。
20．（10分）山西成为今年国庆期间众多游客的打卡圣地．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
21．（10分）与都是等边三角形，连接．
图① 图② 备用图
（1）如图①，当点在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：；
（3）在将绕点旋转的过程中，当点在一条直线上时，若，请直接写出的长．
22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
23．（10分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知．
（1）求抛物线的表达式，并求出点的坐标．
（2）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标．
（3）若点坐标固定为是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标．
2024-2025学年度九年级上划期中学业所量评估
一、1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A
二、11． 12．茭形 13． 14．7 15．48
三、16．解：（1）因式分解得：．
于是得或，；
（2）因式分解，得．
于是得或，
．
17．解：（1）如图，为所作．
．
（2）；
（3）如图，为所作，
．
18．（1）证明：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系，得，
解得的值为：1或．
19．解：（1）补全图形如图所示；
（2）等腰三角形的三线合一
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
20．解：（1）根据题意得：；
（2）根据题意得：当时，随的增大而增大，
当时，w最大，最大值为将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2640元；
（3）由题意，得，即，由得或，
捐款后每天剩余利润不低于2200元时，，答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是．
21．（1）解：120
（2）证明：与都是等边三角形，，．
在和中，，；
（3）解：或．
【解析】是等边三角形，是等边三角形，，当点在的延长线上时，如图1，过点作于，则，在中，，，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，；当点在的延长线上时，如图2，过点作于，则，在中，，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，即满足条件的的长为或．
图1 图2
22．①；
②由①得：．火箭运行的最诏点是．，．整理得：．解得：（不合还意，舍去），．
由①得：时，解得：．
．答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）．
【解析】当时，火箭第二级的引发点的坐标为．设火箭落地点与发射点的水平距离为．经过点，．解得：，时，火箭落地，点与发射点的水平距离超过15km．
23．解：（1）由题意得：，解得，则抛物线的表达式为：，令，则（全去）或，即；
（2）过点作轴交于点，设直线的表达式为，把点的坐标代入得，，解得直线的表达式为：，设点，则点，则，
，故当时，面积最大，此时点；
（3）由（2）知，直线的表达式为：，过点作直线交轴于点，则直线的表达式为：，则点，则，解得：（舍去）或3，即点，
则点下方取点，使，则点，过点作直线，则直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，则点或，综上，点的坐标为：或，）或。