专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含参的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函数定区间定轴型
05 二次函数动区间定轴型
06 二次函数定区间动轴型
07 二次函数与不等式求参综合
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
09 一元二次不等式的实际应用
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024高三·全国·专题练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)或
【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可.
【解析】（1）二次方程有二重根，
则不等式的解集为
（2）二次方程有二根，
则不等式的解集为
（3）不等式可化为
由可知，二次方程无根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
（4）不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
（5）不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
（6）不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为或
故不等式的解集为或
2．（2024高三·全国·专题练习）解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）由题可得，即得.
【解析】（1）由，可得，
∴，
解得或，
所以原不等式的解集为或.
（2）由可得，，
∴，解得，
所以原不等式的解集为.
3．（2021高一·上海·专题练习）关于x 的不等式 的解集是 .
【答案】
【分析】不等式可化简为，计算即可.
【解析】不等式整理的5x+1>4x-2，解得x>-3，又因为2x-1≥0，所以，
所以不等式的解集为,
故答案为：
4．（2022秋-陕西宝鸡-高二统考期中）不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或D．或或
【答案】D
【分析】解高次不等式使用穿根法求解.
【解析】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为或或
故选：D.
02 解含参的一元二次不等式
5．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，分类解不等式并确定m值的范围即得.
【解析】不等式化为：，显然，否则不等式解集为空集，不符合题意，
当时，不等式的解集为，依题意，在中恰有3个整数，即为3，2，1，则，
当时，不等式的解集为，显然在中恰有3个整数，即为5，6，7，则，
所以实数m的取值范围为.
故选：D
6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴求参数范围即可.
【解析】甲：，设此范围对应集合；
由，
则乙：，
设此范围对应集合，
若甲是乙的必要不充分条件，则，其中必不成立；
则，所以.
故选：A.
7．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
8．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】根据二次方程和不等式根与系数的关系确定a,b,c的关系，代入不等式得解集
【解析】已知的解集为，
则的两根为和2，
所以，即，
代入不等式，化简整理得，
因为，故，
不等式的解集为或.
故选：C
9．（23-24高三上·福建·期中）已知关于的不等式的解集为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的解集为得到，是方程点的两个根，然后根据韦达定理和得到，最后利用基本不等式求最值即可.
【解析】由题意得，是方程点的两个根，所以，，
，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：C.
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.
【解析】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
11．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
令，依题意可得，解得即可.
【解析】
令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：A．
12．（21-22高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0B．a<0C．a≤-1D．a<-2
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据是的解集的子集，用二次函数的性质来列出不等式组，解出的取值范围.
【解析】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：，
故选：A
04 二次函数定区间定轴型
13．（22-23高一上·全国·课后作业）已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（ ）
A．最小值为2，最大值为5B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值D．无最值
【答案】C
【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．
【解析】由已知函数图象对称轴是，在上，函数是减函数，在上是增函数，因此时，函数取得最小值为1，但无最大值，
故选：C．
14．（22-23高一上·全国·课后作业）函数的最大值为（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【分析】配方化为，结合二次函数知识即可得答案.
【解析】因为，
当，即时，取得最大值，
即，
故选：A
05 二次函数动区间定轴型
15．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数的表达式，若，求函数的最值．
【答案】答案见解析
【分析】分,,,四种情况讨论求解即可.
【解析】解：函数的图像的对称轴为直线．
①当，即时，，；
②当，即时，，；
③当，即时，，；
④当，即时，，．
∴，.
16．（23-24高一·江苏·假期作业）如果函数定义在区间上，求的值域．
【答案】答案见解析
【分析】根据二次函数对称轴与所给自变量区间分类讨论，由二次函数性质求最值即可得解.
【解析】函数，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为，图象开口向上．
如图所示，

若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有，此时，当时，函数值最小，
，当时，函数值最大，.
∴函数的值域为.
如图所示，

若顶点横坐标在区间上时，有，即.
当时，函数的最小值为，当时，最大值为，
∴函数的值域为；当时，最大值为，
所以在上的值域为.
如图所示，

若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.
当，函数的最小值为，最大值为，
所以函数的值域为.
综上，当时，函数的值域为.
当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.
06 二次函数定区间动轴型
17．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
(1)求函数的表达式；
(2)设，求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；
（2）依题意可得，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨论，即可求出函数的最小值.
【解析】（1）由题意得 ，所以，
因为对于任意，都有，即恒成立，
故，解得，.
所以；
（2），
则的对称轴为，
当，即, 函数在上单调递增，
故在上的最小值为；
当，即时，函数在上单调递减，
故在的最小值为；
当，即时,
函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为.
综上, .
18．（22-23高一上·全国·单元测试）设函数.
(1)当时，求函数在区间中的最大值和最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)最大值为6，最小值为；
(2).
【分析】（1）结合二次函数的图象可求得函数的最大值和最小值；
（2）由，根据当时，函数恒成立，分类讨论，使得，即可求解，得到答案.
【解析】（1）由题意，当时，函数，
由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增，
当时，函数取得最小值，最小值为，
，，当时，函数取得最大值，最大值为；
（2）由，
因为当时，函数恒成立，
当时，即时，，解得；
当时，即时，，
即，此时解集为；
当时，即时，，解得，不符合题意.
所以实数的取值范围.
07 二次函数与不等式求参综合
19．（20-21高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由求解.
【解析】解：因为二次函数在上为减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
20．（2023高三·全国·专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得.
【解析】在上有最大值，
且当时，的最大值为，
即且，
当且仅当时，即时，有最小值2，
故选：A．
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
21．（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【解析】不等式对任意恒成立，则，成立，
而，当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
22．（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【解析】由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：B.
23．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【解析】易知恒成立，即有两个不等实数根，
又，即二次函数有两个异号零点，
所以要满足不等式在区间上有解，
所以只需，
解得，所以实数m的取值范围是．
故选A．
24．（2022·甘肃张掖·模拟预测）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式在区间内有解，仅需，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.
【解析】不等式在区间内有解，仅需即可，
令，因为的对称轴为，，，
所以由一元二次函数的图像和性质的得，
所以，
故选：D
09 一元二次不等式的实际应用
25．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【解析】由题意，得，
即，∴，
解得.又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
26．（2023高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由相似三角形将表示出来，从而表示出，然后求解不等式，即可得到结果.
【解析】
如图，过作于，交于，易知，即，
则，．所以矩形花园的面积，
解得．
故选:C．
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故ABD错误，故C正确；
故选：C
2．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解析】由可得：，
解得：，
所以“”能推出“”，
但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解析】当时，，得，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，，
所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解析】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
5．（2023·陕西·模拟预测）命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可知命题“”为真命题，结合二次函数的判别式运算求解.
【解析】由题意可知：命题“”为真命题，
则，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据方程有解和恒成立分别解出，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【解析】对于：，，所以，
对于：，，因为在上单调递增，
所以，所以q是p的充分不必要条件，
故选：A
7．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.
【解析】由题意可知，且，所以，
所以化为，
，解得.
故选：C
8．（2023·宁夏中卫·二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.
【解析】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
【答案】CD
【分析】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【解析】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
10．（2022·辽宁丹东·一模）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.
【解析】由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
11．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，恒成立
C．使得成立
D．对任意，，均有恒成立
【答案】AD
【分析】二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
【解析】依题意，二次函数的对称轴为.
因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于A选项，当时，，关于直线对称，
所以恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，当，若，则不等式可化为，
所以；
若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误；
对于C选项，因为，所以，
所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误；
对于D选项，，
所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确，
故选：AD.
三、填空题
12．（2023·浙江·模拟预测）不等式的充分不必要条件可以为 .
【答案】（答案不唯一）.
【分析】直接求解一元二次不等式，根据条件写出答案即可.
【解析】，
，
故只需写一个满足的答案即可.
故答案为：（答案不唯一）
13．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.
【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，
令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，当时，由，得到，
当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2020·江苏南通·模拟预测）已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是
【答案】
【分析】由、有、，由、有、，结合不等条件及可求得，而即可求的范围
【解析】由
且
∴，且，
又且有：，
∴，
故，而
∴
∴，有
，有
故
若令，则，解得
∴，即，而
即，所以
故答案为：
【点睛】本题考查了集合、二次函数与一元二次方程、不等式；根据集合的描述及其元素，结合二次函数对应一元二次方程的解的性质及根与系数关系，求得相关参数的表达式，应用已知不等式恒成立求目标式的范围
四、解答题
15．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．
(1)解方程：；
(2)设，其中，，，，且．
（i）分解因式：；
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．
【答案】(1)，，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）观察得到是方程的一个根，从而设，对照系数得到，，，得到，求出方程的根；
（2）（i）是方程的一个根，设，对照系数得到，，，从而得到答案；
（ii）令，故是方程的最小正实根，由（i）知：，设，根据的开口方向，结合，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t，结合得到，故，得到.
【解析】（1）观察可知：是方程的一个根；
所以，
由待定系数法可知，，解得，，；
所以，即或，
则方程的根为，，．
（2）（i）由可知，是方程的一个根；
所以，
即，
对照系数得，，，，
故，，；
所以
．
（ii）令，即，
点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点，
等价于是方程的最小正实根；
由（i）知：是方程的一个正实根，
且，
设，由，，，可知为开口向上的二次函数；
又因为，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又，可得，
所以；
当时，，
由二次函数单调性可知，即是方程的最小正实根．
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数理解到位，求解三次函数的零点，常常需要先观察函数，直接法得到其中一个零点，将三次函数转化为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质.