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专题07 函数的基本性质（八大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）
展开这是一份专题07 函数的基本性质（八大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用），文件包含专题07函数的基本性质思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳原卷版docx、专题07函数的基本性质八大题型+模拟精练原卷版docx、专题07函数的基本性质八大题型+模拟精练解析版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题07 函数的基本性质
一、函数的单调性
1.增函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz, 当x₁
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x₁,xz, 当x₁
小结：对任意的x₁,x₂ ∈D, 且x₁ ≠x₂有：
（1）
（2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]>0=f(x)在D上是增函数；
(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]<0⇔f(x)在D上是减函数.
二、单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，
区间D叫做y=f(x)的单调区间.
温馨提示：
1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 .
2. 函数单调性定义中的x₁,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不可.
3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 .
三、单调函数的运算性质
1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性.
2.当 a>0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.
3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与的单调性相反.
4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.
5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，则f(x)·g(x) 是减(增)函数.
四、复合函数的单调性
复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足：
温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.
五、函数的最值
1. 函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;(2)存在x₀ ∈I,
使得f(x₀)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值，
函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≥M;(2) 存在x₀ ∈I, 使得f(x)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值
六、函数的奇偶性
Ⅰ、奇函数与偶函数的定义
1.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数.
2. 偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，
则此类函数为非奇非偶函数.
Ⅱ、奇、偶函数的性质
1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图形.
3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0.
4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
5.四则运算及复合函数的奇偶性
七、函数 y=f(x)的图象的对称性
1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x).
2.若函数 y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x) 恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线
3.画数y=f(a)的图象关于直线对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)⇔f(a+b-mx)=f(mx).
4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点对称 .
八、两个函数图象的对称性
1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y轴)对称.
2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线对称 .
3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线对称.
九、函数的周期性
Ⅰ、周期函数及最小正周期
1.周期函数
对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称函数y=f(x) 为周期函数，T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周期.
Ⅱ、函数周期性的重要结论
1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=la-b|.
2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2lal.
3.若 ,则 T=2la|.
4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|al. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a与 x=b对称，则T=2|b-al.
7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-al.
8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-al.
高中常常将函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性结合起来考查，大多以选择题、填空题的形式出现；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
一、确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cs x D．y＝eq \r(x2＋x－2)
答案 AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；
对于选项C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cs x在R上为增函数，故C正确；
y＝eq \r(x2＋x－2)的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 设－1
f(x1)－f(x2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2－1)))
＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1)，
由于－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)
＝eq \f(ax－1－ax,x－12)＝－eq \f(a,x－12).
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
拓展
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
2．已知a>0，函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq \r(a)]上单调递减，在[eq \r(a)，＋∞)上单调递增．
证明 方法一 (定义法)设x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(a,x1)－x2－eq \f(a,x2)
＝(x1－x2)＋eq \f(ax2－x1,x1x2)
＝eq \f(x1－x2x1x2－a,x1x2)，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
当x1，x2∈(0，eq \r(a)]时，0
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)
当x1，x2∈[eq \r(a)，＋∞)时，x1x2>a，
∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[eq \r(a)，＋∞)上单调递增．
方法二 (导数法)
f′(x)＝1－eq \f(a,x2)＝eq \f(x2－a,x2)(x>0)，
令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>eq \r(a)，
令f′(x)<0⇒x2－a<0⇒0
方法归纳： 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
二、函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln eq \r(2))，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
解析 ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴1<<，
又0
∴>>f(ln eq \r(2))，
即a
例4 函数的最大值为 .
答案
解析 因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
命题点3 解不等式
例5 已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 .
答案
解析 不妨设，由可得，
所以，，
令，则，所以，函数在上单调递增，
由可得，
又因为，
由可得，则，解得，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
命题点4 求参数的取值范围
例6 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[4,8) B．(4,8)
C．(1,8] D．(1,8)
答案 A
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))是R上的增函数，
则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))
解得4≤a<8，
所以实数a的取值范围为[4,8)．
拓展
1．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．
答案 1
解析 方法一 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
方法二 依题意，h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，0
当0
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
方法归纳： (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三、函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案 (1)奇函数
(2)偶函数
(3)既不是奇函数也不是偶函数
(4)既不是奇函数也不是偶函数．
解析 （1）的定义域为，关于原点对称，
又，
是奇函数．
（2）的定义域为，关于原点对称，
又，
是偶函数．
（3）由，得，
即函数的定义域是，不关于原点对称，
既不是奇函数也不是偶函数．
（4）的定义域为，，
，
既不是奇函数也不是偶函数．
方法归纳： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－2))＝2a－eq \f(1,2)，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
方法归纳： (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
四、函数的周期性
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))等于( )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(9,4)
答案 A
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(3,2)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(9,4).
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
答案 eq \f(13,2)
解析 ∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x＋2)＝eq \f(13,fx)，
∵f(x＋4)＝eq \f(13,fx＋2)＝eq \f(13,\f(13,fx))＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 023)＝f(3)＝eq \f(13,f1)＝eq \f(13,2).
拓展
若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法归纳： (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
五、函数的对称性
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
(2)已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝eq \f(2x＋1,x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
答案 12
解析 ∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝eq \f(2x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝eq \f(2x＋1,x)”改为“g(x)＝eq \f(2x－1,x－1)”，其他不变，求x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值．
解 ∵y＝f(x＋1)－2为奇函数，
∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
又g(x)＝eq \f(2x－1,x－1)＝eq \f(1,x－1)＋2，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，
则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.
方法归纳： (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
f(x)
g(x)
f(g(x)
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
f(x)·g(x)
f(g(x)
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
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