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专题22 数列的概念与表示(九大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳)-2025年高考数学一轮复习 (新高考专用)
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这是一份专题22 数列的概念与表示(九大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳)-2025年高考数学一轮复习 (新高考专用),文件包含专题22数列的概念与表示九大题型+模拟精练原卷版docx、专题22数列的概念与表示九大题型+模拟精练解析版docx、专题22数列的概念与表示思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳docx等3份试卷配套教学资源,其中试卷共55页, 欢迎下载使用。
2、精练习题。不搞“题海战术”,在老师指导下,选一些源于课本的变式题,或体现基本概念、基本方法的基本题,通过解题来提高思维能力和解题技巧,加深对所学知识的深入理解。在解题时,要独立思考,一题多思,一题多解,反复玩味,悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后,总有同学抱怨没考好,纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否,不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因,及时进行总结,三五个字,一两句话都行,言简意赅,切中要害,以利于吸取教训,力求相同的错误不犯第二次。
专题22 数列的概念与表示(九大题型+模拟精练)
目录:
01 数列的有关概念
02 数列的周期性
03 数列的单调性及应用
04 求数列的通项公式—定义法
05 求数列的通项公式—累加法
06 求数列的通项公式—累乘法
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
08 求数列的通项公式—观察法
09 求数列的通项公式—构造法
01 数列的有关概念
1.(23-24高二上·山西·期末)下列说法中,正确的是( )
A.数列可表示为集合
B.数列与数列是相同的数列
C.数列的第项为
D.数列可记为
【答案】C
【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.
【解析】对于A,由数列的定义易知A错误;
对于B,两个数列排列次序不同,是不同的数列,故B错误;
对于C,数列的第项为,故C正确;
对于D,因为,所以,这与数列的定义不相符,故D错误.
故选:C.
2.(2024高三·全国·专题练习)下列三个结论中,正确结论的序号的是( )
①数列,,,,,,是无穷数列;
②任何数列都能写出它的通项公式;
③若数列是等差数列,则数列是等比数列.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】B
【分析】根据无穷数列的定义判断①,根据数列的定义判断②,根据等比数列的定义判断③.
【解析】解:数列,,,,,,表示数列有无穷项,所以是无穷数列,故①正确;
不规则数列无法求出其通项,故②错误;
若数列是等差数列,设公差为,所以,整理得,
所以(常数),故数列是等比数列,故③正确.
故选:B
3.(2024高三·全国·专题练习)已知数列满足,若要使为k项的有穷数列,则
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】只需时分母有为0即可得解.
【解析】若要使为k项的有穷数列,则时,解得.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式,数列分母不为0是解题的关键,属于基础题.
02 数列的周期性
4.(23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习)在数列中,,,则( )
A.B.C.D.2
【答案】A
【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期,进一步即可求解.
【解析】由题意可得:,
由此可以发现数列的周期是3,
从而.
故选:A.
5.(23-24高二上·广东湛江·阶段练习)在数列中,,若,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据递推公式列出数列的前几项,找到规律,即可判断.
【解析】因为且,
所以,,
,,,,
所以是以为周期的周期数列,所以.
故选:C
6.(23-24高二下·四川·期中)已知数列满足,,则数列前2024项的积为( )
A.4B.1C. D.
【答案】B
【分析】先找到数列an的周期,然后求得数列an前2024项的积.
【解析】因为,所以,
,所以数列an的周期为4.
由,则,,,
所以数列an前2024项的乘积为.
故选:B.
03 数列的单调性及应用
7.(23-24高二下·青海海西·期中)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列,则实数的取值范围为( )
A.B.
C.D.−∞,8
【答案】D
【分析】根据题意有,解得的取值范围;
【解析】由数列是单调递增数列可得,对于都有成立,
即对都成立,
所以.(或通过二次函数的对称性求解)
故选:D.
8.(23-24高二上·江苏南京·阶段练习)已知数列满足:,且数列是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由数列的单调性求解.
【解析】由题意,解得.
故选:C.
9.(24-25高三上·山西大同·期末)等比数列中,为其前项和,,且成等差数列,则的最小值为( )
A.B.C.D.1
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比,再根据等比数列的前项和公式求出,判断出数列的单调性即可得解.
【解析】设公比为,
由成等差数列,得,
又数列an为等比数列,所以得,解得,
所以,
令,
则,
所以数列递增数列,
所以当时,取得最小值1.
故选:D.
10.(2024·重庆·二模)记正项数列的前项和为,若,则的最小值为 .
【答案】
【分析】由,利用数列通项和前n项和的关系求得,再令,利用导数法求解.
【解析】当时,,则或(舍去),
当时,由,得,
两式相减得,得,
因为,所以,
所以数列是等差数列,则,
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
由随的增大而增大,,,
则,
所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:本题解决的关键是构造函数判断得其单调性,从而考虑,的情况,从而得解.
11.(23-24高二下·辽宁·期末)设数列满足,若对一切,则实数的取值范围是( )
A.B.1≤m≤2C.D.
【答案】A
【分析】根据题意列不等式,结合函数的单调性求得的取值范围.
【解析】因为,
设函数,则.
依题意有,注意到在区间上为增函数,
故当时,有最大值,即,解得.
故选:A.
04 求数列的通项公式—定义法
12.(23-24高二下·云南昆明·阶段练习)已知数列满足:,,.
(1)证明:是等差数列,并求的通项公式;
(2)设,若数列是递增数列,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)根据条件,利用等差数列定义,即可证明结果,利用等差数列的通项公式得到,再利用累加法,即可求出结果;
(2)由(1)得,再利用数列bn是递增数列,得到对恒成立,即可求出结果.
【解析】(1)因为,所以为常数,
又,所以数列是公差为,首项为的等差数列.
所以,
当时,,
所以,又,所以,又,满足,
所以数列an的通项公式为.
(2)由(1)知,因为数列bn是递增数列,
所以,对恒成立,
得到对恒成立,所以.
13.(2023·四川成都·模拟预测)数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,的前项和为,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由可知当时,有,两式作差可求出数列为等比数列,计算即可求出通项公式.(2)裂项相消法求出前项和,根据数列的单调性以及极限的思想即可求出最值.
【解析】(1)因为,所以,即
当时,,则,
整理得(),
则数列是以1为首项,3为公比的等比数列,故,
也满足 所以.
(2)由(1)得
所以
;
显然
又因为,单调递增(),所以,
所以的最小值是.
14.(22-23高三上·天津滨海新·阶段练习)已知是正项数列的前n项和,,,,成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,求的前2n项和;
(3)若,证明的前n项和.
【答案】(1);
(2);
(3)证明见解析.
【分析】(1)利用,,成等差数列和,即可求出,即可求出奇偶项数列;
(2)分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案;
(3)利用裂项相消即可得到答案.
【解析】(1)由,,成等差数列得
或(舍)
的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列,即
的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列,即
则
(2)
(3)
.
05 求数列的通项公式—累加法
15.(2023·广西南宁·模拟预测)数列满足,(为正常数),且,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意可得奇数项成等差数列,设公差为d,且偶数项成等比数列,公比为,运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差d和公比q,即可得到所求通项公式;
(2)讨论n为偶数和奇数,由等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.
【解析】(1)数列满足,,
可得成等差数列,即奇数项成等差数列,设公差为,
且偶数项成等比数列,公比为,且,,,
可得,,
解得,
则,化为
(2)当为偶数时,
数列的前项和
当为奇数时,
当时也适合上式.
综上:
16.(23-24高二下·广东深圳·期末)设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用累加法求解数列通项公式,再根据分组求和进行化简;
(2)利用裂项相消求解数列的前 项和 ;
【解析】(1)
可知
上式相加得
所以数列 an 的通项公式
(2),
所以
所以数列 的前 项和 .
06 求数列的通项公式—累乘法
17.(23-24高二下·黑龙江大庆·期末)记数列的前项和为,已知且.
(1)求的通项公式;
(2)记,求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由与的关系式可得数列an的递推公式,利用累乘法可求通项公式;
(2)由(1)知,所以,利用分组求和法求.
【解析】(1)根据题意,,,则,
两式相减得,
即,
所以,
故an的通项公式为;
(2)由(1)知,,所以,
故,
.
18.(23-24高二下·山东日照·期末)已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,且,令,求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】(1)由等差数列及其前项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差,进而得解;
(2)由(1)中结论结合累乘法得数列的通项公式,通过裂项法得的表达式说明单调递增,或由也可说明单调递增,进而得解.
【解析】(1)设等差数列的首项为,公差为.
由,得,
解得:,所以.
(2)方法一:由(1)得,
由题意,
,
而,从而,
,
而关于单调递减,从而关于单调递增,
所以关于也是单调递增,
所以当时,的最小值为;
方法二:由(1)得,
由题意,
,
而,从而,
又,所以单调递增,
所以的最小值为.
07 求数列的通项公式—an与Sn的关系
19.(23-24高二下·江西萍乡·期中)已知数列的前项和为,且满足.
(1)求的值;
(2)试猜想的通项公式,并证明.
【答案】(1),
(2),证明见解析
【分析】(1)由数列的递推式,分别令和,计算可得所求值;
(2)猜想,由数列的递推式和数列的恒等式,可得证明.
【解析】(1)由题知,,解得,
同理,,解得;
(2)由(1)可猜想,证明如下:
已知,当时,有,
化简得,即,
则有,
又,故,
则,
当时,上式仍成立,则.
20.(2024·辽宁·模拟预测)已知数列的前项和为,且.
(1)证明:是等比数列,并求其通项公式;
(2)设,求数列的前100项和.
【答案】(1)证明见解析,.
(2)100.
【分析】(1)利用给定的递推公式,结合及等比数列定义推理得证,再求出通项公式.
(2)利用(1)的结论求出,再利用分组求和法计算即得.
【解析】(1)数列中,,当时,,两式相减得,
而,解得,所以是首项为2,公比为5的等比数列,
通项公式为.
(2)由(1)知,,
所以
.
08 求数列的通项公式—观察法
21.(23-24高二下·四川成都·期中)数列满足,().
(1)计算,,猜想数列的通项公式并证明;
(2)求数列的前n项和;
【答案】(1),,猜测,证明见解析
(2)
【分析】(1)直接通过递推公式计算,然后猜测并证明;
(2)使用错位相减法即可.
【解析】(1),.
猜测,下面用数学归纳法证明:
当时,由知结论成立;
假设结论对成立,即,则,故结论对成立.
综上,有成立.
(2)设数列的前项和为,则.
所以.
故.
22.(2023·山东菏泽·二模)已知各项为正数的等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,求数列的前2n项和.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)设首项为,公比为q,由可得,化简后可得,即可得答案;
(2)由题可得当为奇数时,,当n为偶数时,.后由分组求和法可得答案.
【解析】(1)设首项为,公比为q.
因,则.
又各项为正数,则,故;
(2)由(1)及题意可得,;
当为奇数时,;
则当为偶数时,.
.
09 求数列的通项公式—构造法
23.(2024·内蒙古包头·三模)已知数列的前n项和为,,.
(1)证明:数列是等比数列,并求;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)根据题意及,整理可得,即可得证;
(2)根据(1)中可求出分类讨论求出的通项公式,再根据等比数列前n项和可求得.
【解析】(1)因为,又,
所以,整理得.
由题意得,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,故,
即.
(2)由(1)可,
当时,,
当时,,
所以,
.
当,代入满足公式,
综上,
24.(23-24高二下·辽宁锦州·期末)已知数列满足,则 .
【答案】
【分析】依题意可得,两边同除得到,即可得到是以为首项,为公差的等差数列,即可求出的通项,即可得解.
【解析】因为,,
则,
因为,显然,
所以,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以,则.
故答案为:
25.(23-24高二下·湖南郴州·期末)已知数列满足:.若,则数列的前项和 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式,利用构造法求出,再利用裂项相消法求和即得.
【解析】数列中,由,得,
因此数列是以为首项,1为公差的等差数列,,即,
于是,
所以.
故答案为:
26.(23-24高二下·山东烟台·期末)已知数列是等差数列,且,数列满足,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列,求数列的通项公式;
(3)设数列的前项和为,证明:.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】(1)首先求得,由累加法即可求解;
(2)不妨设,分,两种情况讨论即可求解;
(3)当时,结论显然成立,当时,通过放缩法以及裂项即可得证.
【解析】(1)由题意可知,即,故,
由,可得,
所以数列的公差,所以,
由,
叠加可得,
整理可得,当时,满足上式,
所以;
(2)不妨设,即,可得,
当时,,不合题意,
当时,,
所以在数列中均存在公共项,
又因为,所以.
(3)当时,,结论成立,
当时,,
所以,
综上所述,.
一、单选题
1.(2024·贵州遵义·二模)已知数列的前项和,则( )
A.16B.17C.18D.19
【答案】D
【分析】根据给定条件,利用求出,即可计算即得.
【解析】依题意,,,
所以.
故选:D
2.(2024·全国·模拟预测)在数列中,,,则( )
A.8B.1C.18D.19
【答案】D
【分析】利用给定的递推公式,依次计算即得结果.
【解析】因为,,
所以,.
故选:D.
3.(2024·浙江·模拟预测)已知且,则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由题意等式两边平方化简为平方得,令,结合二倍角余弦公式得,取,,利用二倍角正弦公式和诱导公式计算的结果;
【解析】平方得,令,
则,
不妨取,则,
故选:C.
4.(2024·西藏·模拟预测)已知数列对任意满足,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由,得,从而,再利用累乘法求解.
【解析】解:由,得,
所以,
所以,即①.
又因为②,
①②两式相乘,得.
故选:A.
5.(2024·天津南开·二模)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列,则实数b的取值范围为( ).
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由递增数列定义可得,代入计算即可得解.
【解析】由题意可得恒成立,即,
即,又,,故.
故选:A.
6.(2024·陕西安康·模拟预测)在数列中,,若对,则( )
A.B.1C.D.
【答案】A
【分析】根据递推公式得出,进而即可.
【解析】由与相减得:,
即,又,故,所以.
故选:A.
7.(2024·内蒙古赤峰·三模)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:从第一个正三角形(边长为1)P1开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线,称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn,下列结论正确的是( )
①P₅的边数为
②
③既不是等差数列,也不是等比数列;
④
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
【答案】D
【分析】设每个图形的边数为,写出,,,,,可判断①;求得,可判断②;根据等比数列求得,根据迭代累加可得,可判断③④.
【解析】设每个图形的边数为,由题意可得,,,,,…,,故①正确;
,故②正确;
,
第一个图形的面积即正三角形的面积,
从第1个图形到第2个图形,边数增加了,同时每条边上多了一个小三角形,这个小三角形的面积是原图形的,
所以,,
以此类推,第个图形的面积为,
依次迭代,则
,
所以
,故,,故④正确.
,可得既不是等差数列,也不是等比数列,故③正确
故选:D.
8.(2024·辽宁·三模)已知数列中各项均为正数,且,给出下列四个结论:
①对任意的,都有
②数列可能为常数列
③若,则当时,
④若,则数列为递减数列.
其中正确结论有( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性,逐项判断即可.
【解析】解:对于①,在数列an中,,则,
又对于任意的都有,则,即,
即对于任意的,都有,
所以的值不确定大小,故①项错误;
对于②,不妨设数列an可能为常数列,则,
又,则,则,
即时,数列an为常数列,故②项正确;
对于③,,则,因为数列an中各项均为正数,
即,同理,当,都有,
又,即数列an为递增数列,
即当时,,故③项正确.
对于④,
又,则,即,
同理,当,都有,即,
同理,当,都有,
即,
即,即数列an为递减数列,故④项正确;
故选:C.
【点睛】关键点睛:数列与不等式以及数列与单调性等问题,常利用作差法,需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.
二、多选题
9.(2024·山西太原·二模)已知数列满足,,则下列结论正确的是( )
A.是递增数列B.是等比数列
C.当n是偶数时,D.,,使得
【答案】BC
【分析】对于A,求出数列的前几项即可判断;对于B,等比数列的定义证明即可;对于C,由B可知,是以为首项,为公比的等比数列,求解判断即可;对于D,由C可知,,结合,所以,分类讨论判断即可.
【解析】对于A:由,,,所以A错误;
对于B:当时,由,,
当时,,
综上所述:所以是以为首项,为公比的等比数列,B正确;
对于C:由B可知,是以为首项,为公比的等比数列,
所以,所以,为偶数,
所以当n是偶数时,,故C正确;
对于D:由C可知,,由,
所以,因为,
所以当时,,
当时,,而,
所以恒成立,故D错误;
故选:BC.
10.(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列an的前项和为,且,若存在,使成立,则( )
A.
B.
C.不等式的解集为
D.对任意给定的实数,总存在,当时,
【答案】BCD
【分析】根据题意,得到且an是递减数列,结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式,逐项判定,即可求解.
【解析】由,可得,
且,即
又由,可得数列an是等差数列,公差,
所以an是递减数列,所以是最大项,且随着的增加,无限减小,即,
所以A错误、D正确;
因为当时,;当时,,
所以的最大值为,所以B正确;
因为,
且,
所以当时,;当时,,所以C正确.
故选:BCD.
11.(2023·浙江·二模)已知递增数列的各项均为正整数,且其前项和为,则( )
A.存在公差为1的等差数列,使得
B.存在公比为2的等比数列,使得
C.若,则
D.若,则
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A,B选项,根据数列的性质推导C,D选项.
【解析】对于A,设数列的首项为,则 ,解得 ,
即当等差数列的首项为138,公差为1时, ,正确;
对于B,设首项为 ,则 ,正确;
对于C,欲使得尽可能地大,不妨令 ,则有 ,
又 ,即 ,
,
即 ,正确;
对于D, , ,即 ,
比如, ,
则 ,D错误;
故选:ABC.
【点睛】思路点睛:数列中与整数有关的不等式或方程问题,注意利用整数的性质来处理.
三、填空题
12.(2024·云南·二模)记数列的前项和为,若,则 .
【答案】/0.5
【分析】构造得,从而得到,则,再利用等比数列求和公式代入计算即可.
【解析】由,得,
则,
又,则,则,
,,
,
故答案为:.
13.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项和为,满足,则 ;数列满足,数列的前项和为,则的最大值为 .
【答案】
【分析】借助数列与前项和的关系,由得作差即可得;得到后,结合裂项相消法计算即可得,结合数列的函数特性即可得的最大值.
【解析】将代入,得,
当时,由,得,
化简得,
因此数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,
故,
,
则,
故,
易知函数在上单调递增,
在上单调递增,
且当时,,
当时,,
所以当时,取得最大值.
故答案为:;.
14.(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知数列中,,且,若存在正整数,使得成立,则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造数列先计算,分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.
【解析】由,令,
若为奇数,则,
若为偶数,则,
即奇数项与偶数项分别成以为公差的等差数列,
易知,
所以,则,
若为奇数,则
有解,即,
由指数函数的单调性可知;
若为偶数,则
有解,即,
由指数函数的单调性可知;
综上满足题意.
故答案为:
【点睛】易错点睛:首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论,务必注意符号,其次结合指数函数的单调性解不等式有解问题时,注意取值范围的大小,保证有解即可.
四、解答题
15.(2022·重庆·模拟预测)已知数列满足.
(1)求证:是等差数列;
(2)若,求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)将原递推关系式变形即可证明;
(2)先求得,再用累加法即可求解.
【解析】(1)由题,即,
是公差为4的等差数列.
(2)
,累加可得
,当时也满足上式
.
16.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)已知数列满足,,是数列的前项和,对任意,有
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的前100项的和.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)根据作差得到,从而得到,结合等差数列的定义计算可得;
(2)由(1)可得,记,则,利用并项求和法计算可得.
【解析】(1)由,,
两式相减得,即,
因为,所以,即,
故是首项为,公差为的等差数列,
所以;
(2)由(1)知,
所以,
记,则,
17.(2024·贵州贵阳·三模)已知正项数列的前项和为,且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和为,当时,求满足条件的最小整数.
【答案】(1)
(2)9
【分析】(1)由已知结合和与项的递推关系进行转化,结合等差数列的通项公式即可求解;
(2)利用裂项求和求出,然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.
【解析】(1)因为,
当时,,
当时,,
因为,
两式相减得,,
因为,所以,
所以,均为等差数列,,.
所以;
(2)由题意得,,
所以,
因为,
所以,
解得.所以满足条件的最小整数为9.
18.(2024·河北沧州·三模)已知数列满足,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由数列的递推公式,利用累乘法即可求解;
(2)对进行不等式放缩,即可证明不等式.
【解析】(1),,,
,两式相除,得,
当,时,,,即;
当,时,,,即,
综上所述,数列的通项公式为;
(2),
,
又,
.
19.(2024·重庆·模拟预测)进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式,通常“满二进一,就是二进制;满八进一,就是八进制;满十进一,就是十进制……;满几进一,就是几进制”.
我们研究的正整数通常是十进制的数,因此,将正整数的各位上的数字分别记为,则表示为关于10的次多项式,即,其中,,记为,简记为.
随着计算机的蓬勃发展,表示整数除了运用十进制外,还常常运用二进制、八进制等等.更一般地,我们可类似给出进制数定义.
进制数的定义:给出一个正整数,可将任意一个正整数,其各位上的数字分别记为,则唯一表示为下列形式:,其中,,并简记为.
进而,给出一个正整数,可将小数表示为下列形式:,其中,,并简记为.
(1)设在三进制数下可以表示为,在十进制数下可以表示为,试分别将转化成十进制数,转化成二进制数;
(2)已知数列an的前项和为,且满足,,数列bn满足,当时,;
①当时,求数列bn的通项公式;
②证明:当时,.
【答案】(1),
(2)① ②证明见解析
【分析】(1)直接使用进制表示的定义即可;
(2)①利用数学归纳法求得,再用进制表示的定义得到,
②利用通项公式直接证明即可.
【解析】(1)由于,,
故的十进制表示是,的二进制表示是.
(2)①由于,故.
用数学归纳法证明:.
当时,结论显然成立;
假设结论对正整数均成立,考虑的情况.
此时,
所以结论对也成立.
由数学归纳法可知对任意正整数成立.
当时,由已知有
.
所以所求的通项公式为.
②.
【点睛】关键点点睛:本题的关键在于对进制表示定义的理解.
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