专题25 椭圆（七大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题25 椭圆
一、椭圆
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的性质
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
焦半径最大值，最小值
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
三、直线与椭圆
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
椭圆是高考考查的重点和热点，其中椭圆的方程、几何性质等常以选择题、填空题形式出现；直线与椭圆的综合问题如弦长问题等常常以解答题形式出现。
Ⅰ、椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．射线D．椭圆或线段
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案.
【解析】因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，而，此时点的轨迹是线段；
当时，，
此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.
故选：D.
方法归纳： 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【解析】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且，
又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即，
所以，所以该椭圆方程为.
故答案为：
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P1，P2两点，
所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，
则Errr!
解得Errr!
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
方法归纳： 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】/0.5
【分析】根据题意利用勾股定理求出，再由椭圆定义求出即可得解.
【解析】由题意知，
所以，即，
又，即，
所以，
故答案为：
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例5 已知椭圆的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆方程，结合焦点坐标和准线方程得出，所以，最后由得出最大值.
【解析】因为椭圆方程为，所以椭圆的右焦点，右顶点为，右准线方程为，其中，
由此可得，，所以，
因为，所以当且仅当时，的最大值为.
故答案为：.
Ⅱ、直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的.
【解析】由于直线恒过点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得且，
故实数m的取值范围为.
故选：C．
命题点1 弦长问题
例2 已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线垂直于轴，则
B．
C．若，则直线的斜率为
D．若，则
【答案】B
【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断D选项.
【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设，，
对于A选项，轴，直线，由，得：，则，A选项错误；
对于B选项，不垂直于轴时，设的方程为，
由，消去并整理可得：，
则，，
，
显然，，
于是得，
由选项A知，当轴时，，因此，B选项正确；
对于C，当时，由选项B得，解得，C选项错误；
对于D，因，有，则，即，
而，，
同理，则有，即，
于是得，
因此，D选项错误；
故选：B.
命题点2 中点弦问题
例3 已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由圆的性质，椭圆的性质结合题意画出图形，再点同时在椭圆与射线上，求出，最后令，利用导数分析取值范围即可；
【解析】由题意可得的半径为，的半径为，其位置关系如下：
由图可得，
设，
因为点同时在椭圆与射线上，
所以，，
解得，
则，
若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，
即，可得
所以，
设，，
则，设此式等于，
求导可得，
因为，所以导数恒大于零，故在时为增函数，
所以取值范围为.
故答案为：.
方法归纳： 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；
（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.
【解析】（1）设，依题意，
解得
故的方程为.
（2）

如图，依题意，联立消去，可得，
依题意，需使，整理得（*）.
因为，则直线的斜率为，则其方程为，
联立解得即
故，
将（*）代入得，故.
方法归纳： (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．