特训12 求数列通项公式的经典方法（八大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训12 求数列通项公式的经典方法（八大题型）
公式法：
a、根据等差、等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件进行解题。
b、已知an与Sn的关系式：
①当n＝1时，由a1＝S1求a1的值．
②当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式
③检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．
④写出an的完整表达式．
2、累加法：an−an-1=f(n-1)，累加后结果为an−a1=f(1)+f(2)+⋯+f(n−1)
3、累乘法：an/an-1=f(n-1)， 累乘后结果为an/a1=f(1)·f(2)·⋯·f(n−1)
4、构造法：
（1）、待定系数法：
（2）、同除+待定系数：
（3）、取倒数+待定系数：
、取对数+待定系数：
（5）、连续三项：
5、不动点法：→不动点：方程 f(x)=x 的根称为函数 f(x)的不动点。
数列通项公式例题分析:
目录：
01 ：公式法（构造公式法）
02 ：累加法
03 ：累乘法
04 ：待定系数法
05 ：对数变换法
06 ：数学归纳法
07：换元法
08 ：不动点法
01 ：公式法（构造公式法）
1.已知数列满足，，求数列的通项公式。
02 ：累加法
2.已知数列满足，求数列的通项公式。
变式（变式题均无答案）：已知数列满足，求数列的通项公式。
03 ：累乘法
3.已知数列满足，求数列的通项公式。
变式：已知数列满足，求的通项公式。
04 ：待定系数法
4.已知数列满足，求数列的通项公式。
变式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①已知数列满足，求数列的通项公式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②已知数列满足，求数列的通项公式。
05 ：对数变换法
5.已知数列满足，，求数列的通项公式。
06 ：数学归纳法
6.已知数列满足，求数列的通项公式。
07：换元法
7.已知数列满足，求数列的通项公式。
08 ：不动点法
8.已知数列满足，求数列的通项公式。
变式：已知数列满足，求数列的通项公式。
一、解答题
1．（2023·广西南宁·模拟预测）数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（2024·云南·模拟预测）已知数列.
(1)求；
(2)令为数列的前项和，求.
3．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
4．（2023·湖北荆州·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
5．（2023·山东·二模）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．
6．（2023·山西阳泉·三模）已知数列满足，．
(1)记求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且，．数列{bn}满足．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：．
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
9．（2022·全国·模拟预测）设数列满足，．
(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
10．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列是等差数列，记为数列的前n项和，，，求．
11．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列an的前项和为，且．
(1)求an的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
12．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
13．（2024·河北承德·二模）已知正项数列的前项和为，满足，数列满足，.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)记为数列在区间中的项的个数，求数列的前项和Tm.
14．（2024·广西·模拟预测）记数列an的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列an的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列bn，求bn的前91项和．
15．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
16．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列an，bn，定义无穷数列，记作，称为an与bn的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．
(1)若，，，求，，，；
(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将an的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；
(3)若，，证明：当时，．