人教A版(2019)-浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试1班数学试题(含解析）

这是一份人教A版(2019)-浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试1班数学试题(含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可.
【详解】，
.
故选：D
2．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，结合函数的奇偶性，以及函数零点的特征，函数值的正负区间，即可判断选项.
【详解】函数的定义域，且，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，排除D，
当，，则函数值，即原点右侧开始的函数值是正数，排除B，
时，，即，存在满足不等式，所以当时，函数的零点都是变号零点，并不恒为正数，排除C.
故选：A
3．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【详解】令，
因为，所以，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
4．已知角，满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得.
【详解】由，
因，代入可得，，
则.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题.
解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解.
5．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论.
【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得，
设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：

根据角平分线性质知，
又因为，所以，，
所以，
故选：D．
6．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离.
【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示，
则，，，
由，有，，，
圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长，
所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示，
质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦，
，，有.
故选：A
7．已知，则角所在的区间可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，排除B，只有C答案满足，故选C.
点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可排除A和D，当时，可求出与所求矛盾，排除B.
8．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值.
【详解】
设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示．
易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得，
因为与圆弧相切于点，所以，
在中，，
又，所以，
由对称性知，，则，
所以，
故选：D.
二、多选题
9．“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
【答案】ABD
【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.
【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则，
而，故，选项A正确；
对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；
对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；
对于D，，而，代入方程得，，
是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.
故选：ABD.
10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称轴方程为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【分析】对于选项A：根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选:ACD
11．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）
参考数据：

A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，
B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min
C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min
D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短
【答案】AB
【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D.
【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为，
，

当为钝角时，
当为锐角时，
当为直角时，
则当为钝角时，，
当为锐角时，，
所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确；
对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误；
对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直，
那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短，
由下图可知，设，则，
此时，船的航行时间，故D错误；

故选：AB
三、填空题
12．已知复数满足:，则 .
【答案】3
【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得.
【详解】因为，
所以，故.
故答案为：3.
13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 .
【答案】
【分析】由条件结合投影向量公式可求，根据向量模的性质及数量积运算律求.
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，又，
所以，又 ，
所以.
故答案为：.
14．若，则 .
【答案】
【分析】由二倍角公式求解即可．
【详解】
，
故答案为：
四、解答题
15．已知的内角的对应边分别为，且．
(1)求角A；
(2)若的面积为，周长为15，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式化简计算即可；
（2）利用三角形面积公式结合余弦定理建立方程计算即可.
【详解】（1）因为，．
由正弦定理得，
则，
即．
在中，，故．
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，得．
由余弦定理得，则．
又，所以，
解得．
16．如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.

(1)在四面体中，求顶点到底面的距离；
(2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积.
【答案】(1)
(2)12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为
【分析】（1）利用等体积法求解；
（2）利用数形结合法得到几何体，再求表面积和体积.
【详解】（1）解：设点到底面的距离为，
则，
即，得；
（2）如图所示：

将正方体按照题设的方法截去八个“角”后
其有12个顶点，24条棱，共14个面，
其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形，
故其表面积为；
体积为.
17．已知函数.
(1)求的值域；
(2)求在上所有实数根的和.
【答案】(1)0,4
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦型函数的性质可求值域；
（2）利用与有4个交点，利用正型函数的对称性可求所有实数根之和..
【详解】（1），
因为的值域为，所以的值域为0,4.
（2）由，得，
画出在上的图象如图，
与有4个交点，4个交点中有两对交点均关于对称，
令，解得，
故4个实数根之和为.
18．如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，.
(1)当时，用，表示，；
(2)若，求实数的值；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可.
（2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可；
（3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可.
【详解】（1） .
（2）若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3））由题可得： ，
，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
19．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，.
(1)若，求出，；
(2)如图，若，以为边作正方形.
（ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求证：.
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，.
（2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可.
（ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可.
【详解】（1）连接，因为四边形，，
所以，又，所以，即OA=OB=OC，
因为，
所以，
，
所以，.
（2）设，，则，
设对应的复数为，则，
（ⅰ）设对应的复数为，，
设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，又，所以，所以.
（ⅱ）设对应的复数为，
所以，
所以，又，，，
所以
所以，
所以，所以，又，
所以，所以的范围为.
【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有：
（1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解；
（2）利用基本（均值）不等式求解；
（3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解；
（4）分析函数的单调性，利用单调性求值域.