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人教A版(2019)-浙江省绍兴市会稽联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析）
展开这是一份人教A版(2019)-浙江省绍兴市会稽联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=x0
【答案】A
【分析】解出集合B，利用交集的定义可求得集合A∩B.
【详解】因为B=x2x+1<3=xx<1，A=x0
2．“a=b”是“ac=bc”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当a=b时，由等式的性质可得ac=bc，即“a=b”⇒“ac=bc”；
当ac=bc时，不妨取c=0，则a、b不一定相等，即“a=b”⇐“ac=bc”.
所以，“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件.
故选：B.
3．关于x的不等式2x−3x−1<0的解集为（ ）
A．−∞,32B．1,32
C．32,+∞D．−∞,1∪32,+∞
【答案】B
【分析】转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】由2x−3x−1<0，得x−12x−3<0，解得1
故选：B.
4．若实数a,b满足a>0>b，则（ ）
A．a−b<0B．a+b>0
C．a2>b2D．1a>1b
【答案】D
【分析】对于ABC，令a=1,b=−1，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证.
【详解】对于ABC，令a=1,b=−1，显然满足a>0>b，同时a−b>0，a+b=0，a2=b2，故ABC错误；
对于D，若a>0>b，则1a>0>1b，故D正确.
故选：D.
5．已知函数y=fx的对应关系如下表，函数y=gx的图象如下图，则fg1的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．3
【答案】C
【分析】根据图象可表格计算可得出fg1的值.
【详解】由图象可得g1=3，由表格中的数据可得fg1=f3=1.
故选：C.
6．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：y=−8x+400（20
【答案】D
【分析】设灯具商店每月的利润为fx，则fx=x−8−8x+400，根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】设灯具商店每月的利润为fx，
则fx=x−8−8x+400=−8x2+464x−3200
=−8x2−58x−3200=−8x−292+3528，
故当x=29时，fx的最大值为3528，
所以灯具商店每月的最大利润为3528元.
故选:D.
7．在算式2a+2b+2c+(12)p+(12)q=2158中，a,b,c,p,q是五个非负整数，且a>b>c，p>q，则b+p=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】由条件可判定a,b,c,p,q只能在0,1,2,3,4中取数，再结合2158的展开式，即可确定各字母的取值，计算即得.
【详解】因a,b,c,p,q是五个非负整数，且2a+2b+2c+(12)p+(12)q=2158，
若q=0，则12p=58，矛盾，故q≥1，
所以2a+2b+2c=21，12p+(12)q=58，
因为a>b>c，所以a≥2，
若a=2，则2a+2b+2c=21+22+20=7，矛盾，
若a=3，则2a+2b+2c≤21+22+23=14，矛盾
若a≥5，则2a+2b+2c≥25+20+21，矛盾，
故a=4，所以2b+2c=5，故b=2,c=0，
若q≥2，则12p+(12)q≤122+123，与已知矛盾，
所以q=1，p=3，
b+p=2+3=5.
故选：B.
8．存在三个实数a1，a2，a3，使其同时满足下述两个等式：（1）a1a2a3=8；（2）a1+a2+a3=−2，其中M表示三个实数a1，a2，a3中的最大值，则（ ）
A．M的最大值是2B．M的最大值是22
C．M的最小值是2D．M的最小值是22
【答案】C
【分析】由题意可得a1，a2，a3中有2个负数，1个正数，不妨设a1<0,a2<0,a3>0，则M=a3，则a3=−2−a1−a2，利用基本不等式可得a1a2≤a3+222，故a1a2a3=8≤a3⋅a3+222，求解不等式即可.
【详解】由题意可得a1，a2，a3中有2个负数，1个正数，
不妨设a1<0,a2<0,a3>0，则M=a3，
所以a3=−2−a1−a2≥2a1a2−2，即a1a2≤a3+222，当且仅当a1=a2时等号成立，
所以a1a2a3=8≤a3⋅a3+222，即a33+4a32+4a3−32≥0，
即a33−8+4a32+4a3−24≥0，即a3−2a32+2a3+4+4a3+3a3−2≥0，
即a3−2a32+6a3+16≥0，
因为a32+6a3+16=a3+32+7>0，所以a3≥2，
所以M的最小值是2，没有最大值.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用基本不等式得到a1a2≤a3+222，进而得到关于a3的不等式，解之即可得解.
二、多选题
9．下列各式一定成立的是（ ）
A．2−1=12B．a2=a
C．382=4D．−a2⋅−a3=a5
【答案】AC
【分析】利用根式的性质、根式与指数幂的互化以及指数幂的运算逐项判断即可.
【详解】对于A选项，2−1=12，A对；
对于B选项，a2=a，B错；
对于C选项，382=823=2323=22=4，C对；
对于D选项，−a2⋅−a3=−a5，D错.
故选：AC.
10．以下判断正确的是（ ）
A．fx=x2−x+1与gs=s2−s+1是同一函数
B．函数y=fx的图象与y轴的交点最多有1个
C．fx=x与gx=x2x表示同一函数
D．函数y=fx的定义域为1,2，则函数y=f2x−1的定义域为1,32
【答案】ABD
【分析】利用函数相等的概念可判断AC选项；利用函数的概念可判断B选项；根据函数y=fx的定义域可得出满足y=f2x−1的x的不等式，可解出函数y=f2x−1的定义域，可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数fx=x2−x+1与gs=s2−s+1的定义域均为R，
且两个函数的对应关系相同，这两个函数是同一函数，A对；
对于B选项，若函数y=fx在x=0处有定义，
此时，函数y=fx的图象与y轴的交点有1个，
若函数y=fx在x=0处没有定义，此时，函数y=fx的图象与y轴无交点，
因此，函数y=fx的图象与y轴的交点最多有1个，B对；
对于C选项，函数fx=x的定义域为R，函数gx=x2x的定义域为xx≠0，
这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，C错；
对于D选项，因为函数y=fx的定义域为1,2，
对于函数y=f2x−1，有1≤2x−1≤2，解得1≤x≤32，
所以，函数y=f2x−1的定义域为1,32，D对.
故选：ABD.
11．已知关于x的不等式a+3mx2−2b−mx+1−2m>0的解集为−∞,−1∪1,+∞，则下列结论正确的是（ ）
A．a+2b=−1
B．m<12
C．不等式a+1x2−2bx+2m≥0的解集为−2,1
D．对满足条件的任意m，不等式m−2m≥1t恒成立，则−1≤t<0
【答案】ACD
【分析】由题意可得a+3m>0，且方程a+3mx2−2b−mx+1−2m=0的两根为−1和1，根据根与系数的关系可得2b−m=0,a+3m=2m−1，从而可判断A；由a+3m>0可判断B；不等式a+1x2−2bx+2m≥0可化为x2+x−2≤0，求解可判断C；利用换元法，根据二次函数的性质求出m−2m的最小值，从而可判断D.
【详解】因为关于x的不等式a+3mx2−2b−mx+1−2m>0的解集为−∞,−1∪1,+∞，
所以a+3m>0，且方程a+3mx2−2b−mx+1−2m=0的两根为−1和1，
所以−1+1=2b−ma+3m−1×1=1−2ma+3m，解得2b−m=0,a+3m=2m−1,
所以2b−m+a+3m=2m−1，解得a+2b=−1，故A正确；
由a+3m=2m−1>0，可得m>12，故B错误；
a+1x2−2bx+2m≥0，即为−mx2−mx+2m≥0m>0，
即x2+x−2≤0，即x+2x−1≤0，解得−2≤x≤1，故C正确；
由B选项可得m>12，设u=m，则m=u2u>22，
则m−2m=u2−2u=u−12−1在u∈22,1上单调递减，在u∈1,+∞上单调递增，
所以m−2m=u2−2u=u−12−1≥−1.
因为不等式m−2m≥1t恒成立，
所以1t≤−1，解得−1≤t<0，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
12．命题“∀x∈R,x2−2x−1>0”的否定形式是 ．
【答案】∃x0∈R,x02−2x0−1≤0．
【详解】试题分析： 由全称命题∀x∈M,p(x)，的否定为：∃x0∈M,¬p(x0)，得：
命题“∀x∈R,x2−2x−1>0”的否定形式是：∃x0∈R,x02−2x0−1≤0．
故应填入：∃x0∈R,x02−2x0−1≤0．
考点：全称命题的否定．
13．函数fx=x−1+1x2−4的定义域为 .
【答案】1,2∪2,+∞
【分析】由解析式可得x−1≥0x2−4≠0，求解即可.
【详解】函数fx=x−1+1x2−4的定义域满足：
x−1≥0x2−4≠0，解得x≥1且x≠±2，
所以函数fx=x−1+1x2−4的定义域为1,2∪2,+∞.
故答案为:1,2∪2,+∞.
14．已知函数fx是定义在a−5,2a−1上的偶函数，当0≤x≤2a−1时，fx=x−3x+1，若fm−2>1，则实数m的取值范围是 .
【答案】−1,0∪4,5
【分析】由定义域关于原点对称求出a=2，可得fx=x−3x+1在0,3都单调递增，根据fm−2>1，可得fm−2>f2，根据奇偶性与单调性即可求解.
【详解】因为函数fx是定义在a−5,2a−1上的偶函数，
所以a−5+2a−1=0，解得a=2，
故函数fx是定义在−3,3上的偶函数.
当0≤x≤3时，fx=x−3x+1，
因为y=x与y=−3x+1在0,3上都单调递增，
所以fx=x−3x+1在0,3都单调递增.
又f2=2−32+1=1，
故由fm−2>1，可得fm−2>f2,即fm−2>f2.
因为fx的定义域为−3,3，且fx=x−3x+1在0,3都单调递增，
所以−3≤m−2≤3m−2>2，解得−1≤m<0或4
四、解答题
15．已知全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=xx2−4=0，B=−2,−1,0.
(1)求A∩B和A∪B；
(2)已知C=∁UA，写出集合C的所有非空子集.
【答案】(1)A∩B=−2，A∪B=−2−1,0,2
(2)答案见解析
【分析】（1）求出集合A，利用交集和并集的定义可求得集合A∩B和A∪B；
（2）求出集合C=∁UA，利用子集的定义可得出集合C的所有非空子集.
【详解】（1）因为A=xx2−4=0=−2,2，B=−2,−1,0，
则A∩B=−2，A∪B=−2−1,0,2.
（2）因为全集U=−2,−1,0,1,2，A=−2,2，则C=∁UA=−1,0,1，
所以，集合C的所有非空子集为：−1、0、1、−1,0、−1,1、0,1、−1,0,1.
16．已知命题p：关于x的方程x2−23x+m2−2m=0有两个不相等的实数根；命题q：m≥2.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围.
【答案】(1)−1,3
(2)−1,2∪3,+∞
【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于0，列出不等式，求出解集即可；
（2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集.
【详解】（1）关于x的方程x2−23x+m2−2m=0有两个不相等的实数根，
则Δ=-232-4m2-2m>0，即m2−2m−3<0，
解得：−1
当p为假命题，q为真命题，则m∈−∞,−1∪3,+∞m∈2,+∞，∴m∈3,+∞，
m∈−1,2∪3,+∞.
17．设fx为定义在R上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当0≤x<2时，是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P3,4，且过点(2,2)的抛物线的一部分.
(1)在图中的直角坐标系中画出函数fx的图象；
(2)求函数fx在0,+∞上的解析式；
(3)写出函数fx的单调区间.
【答案】(1)图象如图
(2)f(x)=x,0≤x<2−2x2+12x−14,x≥2
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，作出左半图象即可；
（2）根据题设条件，利用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即得；
（3）结合图象，写出函数的单调区间即可.
【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，作出其图如下：
（2）当0≤x<2时，f(x)=x；
当x≥2时，依题设f(x)=a(x−3)2+4，
代入点(2,2)，解得a=−2，故此时f(x)=−2(x−3)2+4=−2x2+12x−14.
即函数fx在0,+∞上的解析式为：f(x)=x,0≤x<2−2x2+12x−14,x≥2.
（3）由图知，函数的单调递增区间为：(−∞,−3]和[0,3]；单调递减区间为：[−3,0]和[3,+∞).
18．已知fx=ax+bx2+1是定义在−2,2上的函数，且f0=0，f1=12.
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断函数fx的奇偶性，并用定义证明；
(3)求函数fx在−1,1上的值域.
【答案】(1)fx=xx2+1；
(2)fx为奇函数，证明见解析；
(3)−12,12.
【分析】（1）根据f0=0，f1=12求出a,b的值即可求函数解析式；
（2）根据奇偶性的定义证明即可；
（3）证明函数fx在−1,1上的单调性，从而可求解.
【详解】（1）因为f0=0，f1=12，
所以b=0a+b2=12，得a=1,b=0，
所以fx=xx2+1.
（2）fx=xx2+1的定义域为−2,2，关于原点对称，
又f−x=−x−x2+1=−xx2+1=−fx,
所以fx为奇函数.
（3）设−1≤x1
=x1x2x2−x1−x2−x1x12+1x22+1=x1x2−1x2−x1x12+1x22+1.
因为−1≤x1
所以fx1−fx2<0，即fx1
又f−1=−12,f1=12，
所以函数fx在−1,1上的值域为−12,12.
19．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0
(2)求集合A；
(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)U=3,4,9；
(2)A=9；
(3)集合A,B能满足∁UA∩B=∅，实数m的取值范围为mm>94.
【分析】（1）根据新定义运算可得U=xx=ab+ab+1,0
（3）易知∁UA=3,4，假设集合A,B能满足∁UA∩B=∅，则B=∅，或3∉B且4∉B，代入求解即可.
【详解】（1）因为对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1，
全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0
当a=1,b=2时，ab+ab+1=2+1+1=4；
当a=2,b=2时，ab+ab+1=4+4+1=9，
所以U=3,4,9.
（2）4a⊕b+a⊗bb=4ab+ab+1b,
因为0
所以A=9.
（3）因为U=3,4,9，A=9，所以∁UA=3,4.
假设集合A,B能满足∁UA∩B=∅，
则B=∅，或3∉B且4∉B.
又B=xx2−3x+m=0，
当B=∅时，Δ=−32−4m<0，解得m>94；
当3∈B时，32−3×3+m=0，解得m=0；
当4∈B时，42−3×4+m=0，解得m=−4.
所以若3∉B且4∉B，则m≠0且m≠−4.
综上所述，实数m的取值范围为mm>94.
所以集合A,B能满足∁UA∩B=∅，实数m的取值范围为mm>94.
x
1
2
3
fx
−1
0
1
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