培优点01 函数性质的综合应用（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
【核心题型】
题型一 函数的奇偶性与单调
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
【例题1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B．C．D．
【变式1】（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，其导函数为．若，且当时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 .
题型二 函数的奇偶性与周期性
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
【变式1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2024·湖南邵阳·二模）已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零.则下列结论正确的是 .①；②；③或；④函数为偶函数；⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.
题型三 函数的奇偶性与对称性
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【例题1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）关于函数f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命题正确的是（ ）
A．当q＝0时，f（x）为奇函数
B．y＝f（x）的图象关于点（0，q）对称
C．当p＝0，q＞0时，方程f（x）＝0有且只有一个实数根
D．方程f（x）＝0至多有两个实数根
【变式2】（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
【变式3】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答）
题型四 函数的周期性与对称性
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ．
①；
②；
③的导数为且．
【变式3】（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，当时，，则方程在上的实根个数为 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·河南信阳·三模）已知函数，则对任意实数是（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．不充分且不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山东济宁·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
二、多选题
5．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
6．（2024·广东·一模）已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上单调递减
8．（23-24高三下·辽宁·开学考试）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．函数在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．点是函数的图象的一个对称中心
三、填空题
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
10．（2024·宁夏银川·一模）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
四、解答题
11．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．
B．是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数
3．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·广东·一模）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川成都·二模）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)在R上是增函数
D．函数f(x)的图象的对称中心是(0，1)
10．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为6B．函数在上递增
C．D．方程有4个根
11．（2024·安徽池州·二模）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于点对称
B．图象关于点对称
C．
D．
三、填空题
12．（2023·广东·二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 .
13．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数为偶函数，是奇函数，且，则 .
14．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .
四、解答题
15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
(2)解不等式.
16．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
17．（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数对任意x、，都有，且时，．
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在R上为减函数．
18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
19．（2023高三·全国·专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．函数的图象关于直线对称D．
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．D．
三、填空题
6．（2024·陕西·二模）偶函数的定义域为，函数在上递减，且对于任意均有，写出符合要求的一个函数为 .
7．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）对于函数.
(1)探索函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？
9．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.
10．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．