培优点05 三角函数中有关ω的范围问题（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．
【核心题型】
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
【例题1】（2024·广东湛江·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则函数的最小正周期为
C．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【变式2】（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是 .
【变式3】（23-24高三下·甘肃·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数的导函数为，且在上为减函数，求ω的取值范围．
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
【例题2】（2023·内蒙古赤峰·三模）已知函数的一条对称轴是，若存在使直线与函数的图像相切，则当取最小正数时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围为 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ．
【变式3】（2023·上海普陀·三模）设函数，其中.
(1)若的最小正周期为，求的单调增区间；
(2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围.
题型三 三角函数的最值与ω的关系
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
【例题3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ．
【变式2】（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为 ．
【变式3】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.
题型四 三角函数的零点与ω的关系
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值．
【例题4】（2023·河南开封·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·三模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是 .
【变式2】（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.已知在上恰有5个零点，则的取值范围是 .
【变式3】（21-22高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数.
(1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间；
(2)若的图像向右平移个单位得到的函数在上仅有一个零点，求ω的取值范围．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江杭州·一模）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上单调，且在区间上有5个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的对称中心为
C．若函数在内单调递增，则的取值范围为
D．若函数在内没有最值，则的取值范围为
6．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则；
B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象；
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是；
D．若在区间上有两个零点，则的取值范围是；
三、填空题
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为 ．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上不单调，且在区间上单调，则的取值范围是 ．
9．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
11．（2023·河北承德·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若在区间上单调，求的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·河南·模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州黔东南·三模）已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·河北·期末）函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·吉林·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3
B．若关于x的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为
C．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1
D．若函数在区间上单调，则
10．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数，下列选项中正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若存在，使得对都有，则的最小值为
C．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为
三、填空题
12．（2023·山东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
13．（2024·广西贺州·一模）已知函数，且，将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且，则的取值范围是 ．
14．（2024·浙江·模拟预测）设函数，若存在使成立，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（22-23高三上·安徽阜阳·期中）已知向量，，，函数．
(1)若，求在上的单调递减区间；
(2)若关于的方程在上有3个解，求的取值范围．
16．（2023·湖南长沙·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知边，且．
(1)求面积的最大值；
(2)设当的面积取最大值时的内角C为，已知函数在区间上恰有三个零点和两个极值点，求的取值范围．
17．（2023·江苏盐城·三模）已知函数的值域为.
(1)求的单调递增区间；
(2)若在上恰有一个零点，求的取值范围.
18．（23-24高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数．
(1)化简函数；
(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围
19．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·二模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2022·山东聊城·一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若对于任意的，都有成立，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为
6．（2023·广东湛江·一模）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
三、填空题
7．（2024·山东烟台·一模）若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为 .
8．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 .
9．（2024·广东茂名·一模）函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
10．（22-23高三上·上海黄浦·期中）已知函数，；
(1)当时，求在的值域；
(2)若至少存在三个使得，求的取值范围；
(3)若在上是增函数，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
11．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）已知函数在区间内是增函数．
(1)求的取值范围；
(2)将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像与将其向右平移个单位长度后所得到的图像重合．求的值．