考点11 指数与指数函数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一 指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例题1】（2024·广东·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】分和两种情况分类计算.
【详解】当时，，
当时，.
故答案为：
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则 ．
【答案】6
【分析】根据函数奇偶性的定义可判断为奇函数，即可得，进而根据指数幂的运算即可求解.
【详解】函数，
设，
令，
则，
，
又，，
，
．
故答案为：6．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数则 ．
【答案】/
【分析】直接代入分段函数求函数值即可.
【详解】由题意得．
故答案为：.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
【答案】 0 / 7
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
（3）将平方，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2）；
（3）因为，
.
故答案为：（1）0；（2）；（3）7
题型二 指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝lga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．
当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.
【详解】因为图象过，故由图象可得，
又图象过，故由图象可得，
又图象过，故由图象可得.
故，，，故.
故选：B
题型三 指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点1 比较指数式大小
【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中间值“1”与比较得出，再由作差比较法比较，利用换底公式和对数函数的单调性即得.
【详解】因为，所以．同理
又因在定义域内为减函数，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故选：D.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为，，所以；
又因为，则，
即，所以，即；
所以．
故选：A．
【变式2】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当时，单调递增，
故，解得；
②当时，单调递减，
，无解，
综上可知.
故选：B
【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），
所以．
故选：A．
【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析出函数为奇函数，利用导数分析可知函数在上为增函数，由可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，其中，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
又因为，故函数为奇函数，
由可得，
所以，，所以，，
令，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
，所以，
故选：C.
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，利用函数是奇函数求解；
（2）根据指数函数的单调性易证是上的减函数求解.
【详解】（1）解：因为，
所以.
因为是奇函数，
所以，即，
即，
解得.
（2）由（1）可知，
易知在上单调递增且，在上单调递减，
所以是上的减函数.
因为，，
所以在上的值域为.
【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象恒经过定点．
(1)求的值；
(2)当在上是增函数，求a的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件建立方程，即可求出结果；
（2）由（1）得到，再根据条件即可得到结果.
【详解】（1）因为的图象过
所以，得到，所以.
（2）由（1）知，
因为在上是增函数，所以，得到.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）根据指数函数的单调性得到不等式，求出，三段法解绝对值不等式，求出不等式解集；
（2）画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】（1）依题意，，由于在R上单调递减，
故，
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
综上所述，不等式的解集为或．
（2）由（1）可知，，
作出函数的图象如图所示，
观察可知，临界状态为直线过或与直线平行，
当直线过时，，解得，
当直线与直线平行时，，此时与重合，
故实数的取值范围为．

【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式.
(1)求不等式的解集；
(2)若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于的不等式组，即可解出集合；
（2）求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，则，解得，
故.
（2）解：令，则原问题等价，
且，其中，
令，可得，其中，
当时，即当时，函数取得最小值，即，
所以，.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·二模）的展开式中，x的系数为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】A
【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为1求得值，则答案可求．
【详解】的展开式的通项为．
令，得．
的系数为．
故选：A．
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义与判定，即可求解.
【详解】由函数是奇函数，可得，
解得，即函数，
又由函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，所以符合题意.
故选：D.
3．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将看成两个函数的和，函数在上单调递增，函数为奇函数，从而函数的最大值与最小值之和为函数的最大值和最小值之和，结合单调性利用指数运算化简求值即可.
【详解】因为，
由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数
又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0，
所以.
故选：C
二、多选题
5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数且进得研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数的定义域为B．函数有可能是奇函数，也有可能是偶函数
C．函数在定义域内单调递减D．函数不一定有零点
【答案】ABD
【分析】根据解析式确定定义域，令、研究的性质判断各项的正误即可.
【详解】由，有，即恒有意义，故定义域为，A对；
当，则，故，此时为奇函数，
当，则，故，此时为偶函数，B对；
若，令，易知在上递减，在上递增，
当时，在上递增，根据复合函数的单调性可知，
在上递增，在上递减，所以在定义域内不递减，且无零点，C错；
若，显然，此时函数有零点，综上，不一定有零点，D对.
故选：ABD
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数，令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，当时，所以，
当时，所以，
综上可得的值域为，故B错误；
当时，则，
所以为奇函数，故C正确；
当时，则，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
7．（2023·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.
【详解】由已知可得，且.
又时，，
即 ，
所以有，即，
解得或.
故答案为：或.
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则 ，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用分离参数法可得，根据题意直接代入求解即可得；根据指数函数性质可得的值域，进而可得的值域.
【详解】因为，
所以；
又因为，则，
可得，所以，
若，；
若，；
若，；
综上所述：函数的值域为.
故答案为：1；.
四、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1)；
(2).
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
【分析】（1）利用函数图象平移的性质，结合指数函数的图象即可得解；
（2）利用函数图象平移的性质，结合反比例函数的图象即可得解.
【详解】（1）将的图象向左平移2个单位，即可得到的图象，如图，
（2）因为，
先作出的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得的图象，如图，
10．（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)
【答案】(1)－
(2)
【详解】(1) 原式＝()－＋()－－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
(2) 原式＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝.
11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，.
(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设，问题化为在有解，应用换元法及二次函数性质求参数范围；
（2）由题设得，令，问题进一步化为对任意的恒成立，根据右侧单调性求最值，即可得参数范围.
【详解】（1）∵，，
∴，即在有解，
令，所以,
当时；当趋向于0或时趋向于，即.
（2），即，
令，因为，所以为增函数，
所以，则，
所以，化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为.
12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数，，，其中均为实数.
(1)若函数的图像经过点，，求的值;
(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.
(3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将点坐标代入直接求解即可；
（2）根据指数函数的单调性结合定义域和值域的概念分情况讨论即可；
（3）先根据指数函数的单调性求出的范围，再由对数函数的单调性求出a的值即可.
【详解】（1）因为函数的图像经过点，，
所以，解得.
（2）当时，函数在上为增函数，
由题意可得无解；
当时，函数在上为减函数，
由题意可得，解得，
所以.
（3）因为，所以，解得，
又，所以，函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
即，
解得.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【详解】A选项，且，故，A错误；
B选项，且，故，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，且，故，D正确.
故选：D
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知为奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．-2
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义求参数得函数解析式，再求值即可.
【详解】由题意可知，
所以，
所以.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.
【详解】依题意，，，
因此，而函数在上单调递增，
所以，即.
故选：D
4．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为
由于，则．
故选：B
5．（2023·江西南昌·三模）设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由①，②解出，，解出；结合③转化为线性规划问题解出.
【详解】函数，，
若存在实数满足：①；②，
即，且，则，
则，且，，所以，
又因为③，
则，令，
不防设，，则转化为线性规划问题，
在点处取最小值.
由解得，
代入解得.
故选：.
6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数且的图象恒过定点，所以，
，
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设的小数部分为x，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】先算出的整数部分，再表示出的小数部分，所以有，利用二项式定理即可计算.
【详解】由，得的整数部分为2，则，
所以，即，
所以.
故选：A
8．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂运算及对数运算公式判断各个选项.
【详解】对A：当为偶数且时，，故A不正确；
对B：只有时，才成立，故B不正确；
对C：，故C不正确；
对D：
，故D正确；
故选：D
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.
【详解】对于A，因为在上单调递增，，
所以，即，故A正确；
对于B，取，满足，但，故B错误；
对于C，因为，所以，则，故C正确；
对于D，取，此时，故D错误.
故选：AC.
10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（ ）
A．不等式的解集是
B．，都有
C．是R上的递减函数
D．的值域为
【答案】AD
【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的的值域的求法计算即可判断D.
【详解】A：，由，得，即，
得，解得，即原不等式的解集为，故A正确；
B：，故B错误；
C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误；
D：由知，即函数的值域为，故D正确.
故选：AD
11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝，则下列结论正确的是（ ）
A．|f(x)|是偶函数B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数
【答案】ABC
【分析】首先判断函数的奇偶性，再此基础依次判断选项.
【详解】函数f(x)=定义域为R，则f(-x)＝＝-f(x)，∴f(x)是奇函数，
，所以函数是偶函数，故A正确；
，所以函数是奇函数，故B正确；
是奇函数，是偶函数，所以是奇函数，故C正确；
∵f(|-x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数，故D不正确．
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，可取，
函数是减函数，满足时，都有，
因为，
所以函数满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出.
【详解】令，，则，，
由题可得，，
所以，.
因为函数在上单调递减，所以.
由，得，
得，故.
故答案为：.
14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可.
【详解】设，又因为，所以，
则，当时，，
则，显然存在任意正整数使得成立；
当时，，，
要使得正整数的最大值为8，则，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数的值域，然后根据题意列不等式求解.
四、解答题
15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算：；
(2)化简（用分数指数幂表示）：
【答案】(1)99.9
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算出答案；
（2）将根式化为分数指数幂，再进行计算即可.
【详解】（1）
（2）.
16．（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.
【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的．
（2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的．
（3）与的图象关于y轴对称，
作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象．
（4）为偶函数，其图象关于轴对称，
故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象．
17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数．
(1)求的值；
(2)记集合，集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求的值；
（2）由函数的单调性，求和在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，解得或，
当时，，在上单调递减，满足题意；
当时，，此时在上单调递增，不满足题意．
综上，．
（2）由（1）知，，又，则．
∵，，∴．
∵，∴，∴，解得，
即实数的取值范围为．
18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分和两部分进行求解，然后取交集即可.
【详解】（1），
由对数函数的性质可得：，解得，
由于为递减函数，所以，解得，
综上：不等式的解集为.
（2）首先求解的解，转化可得，
所以或，解得或；
再解，转化可得，
所以，解得，
综上：的解集为.
19．（23-24高三下·全国·自主招生），求
【答案】
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.
【详解】由
由或，故
由，故，
因此
由于，所以
故
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.
故选：A.
2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.
【详解】对于AC，当时，，
所以，故A正确，C错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于D，，
因为，所以，故D错误.
故选：A.
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知，则，则，
可知函数为周期函数，最小正周期，
又当时，，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示，

可知当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
综上所述，
故选：C.
4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，，且，则（ ）
A．，，B．，，
C．D．
【答案】D
【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案.
【详解】令，解得，
画出的图象如下图所示，
由于，且，
由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误.
当时，，
满足，，所以C选项错误.
，
，所以，D选项正确.
故选：D

5．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】构造，变形，然后用基本不等式求出结果即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以．
所以，即．
当且仅当，，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
二、多选题
6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案.
【详解】由已知得，
若为偶函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然C对，D错；
若为奇函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然B对，A错；
故选：BC
7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当时，，即可判断C，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，因为，
即，显然，，
所以，故A正确；
对于B，，所以，又，所以，故B正确；
对于C，当时，函数与函数有个交点，，
作出和的图象，如图所示，

结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误；
对于D，设，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即，化简得，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是构造函数，利用导数说明函数的单调性，从而比较函数值的大小.
三、填空题
8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 .
【答案】12
【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值.
【详解】函数的定义域需满足，即，即定义域为，
当时，，
函数在区间单调递减，当时，，
当时，，
函数在区间单调递减，当时，，
综上可知，函数的最小值为.
故答案为：
四、解答题
9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数．
(1)若函数的值域为，求的取值范围；
(2)若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设函数的值域为，由题意结合复合函数的值域可知，对是否为0分类讨论即可.
（2）设出切点，求出过该切点的切线方程，将点代入切线方程可得的表达式，由题意直线与函数有两个不同的交点，利用导数来研究函数单调性，进而求解即可.
【详解】（1）令函数的值域为．
因为的值域为，所以．
当时，，符合题意；
当时，，解得．
综上，的取值范围为．
（2）在曲线上任取一点，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
由题意可知，点在直线上，可得．
令，则．
当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，
所以，且当时，，当时，．
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
所以的取值范围为．
10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，.
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，，，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可.
【详解】（1）因为函数的值域为，
所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，
则函数的对称轴为，
当时，，
即的值域为，
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，
即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，
经检验，符合题意，所以，
即，
由，，，
得，，，
只要即可，
当时，，
所以函数，
则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，
则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，
则时，，
所以，不等式组无解；
当，即时，
则时，恒成立，符合题意；
当，即时，
则时，，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.a>1
01；
当x