考点16 导数的概念及其意义、导数的运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 .
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)
【核心题型】
题型一 导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【例题1】（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
【变式1】（2024·广西·二模）记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数的导函数为，已知，若数列，满足，则（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．D．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．12B．10C．8D．6
题型二 导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
命题点1 求切线方程
【例题2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）过点作直线l与函数的图象相切，则（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线垂直，则
C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【变式1】（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 .
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点．
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．
命题点2 求参数的值(范围)
【例题3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．3B．C．7D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【变式2】（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
题型三 两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【例题4】（2023·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
【变式3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；
(2)当时，，求a的取值范围．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广东·二模）函数的定义域为，若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线（且）有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知，则（ ）
A．48B．192C．128D．72
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ）
A．2或B．C．D．或
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
7．（2023·全国·模拟预测）若过点最多可作条直线与函数的图象相切，则（ ）
A．当时，切线方程为
B．当时，
C．当时，λ的值不唯一
D．的值一定小于3
三、填空题
8．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
9．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为 ．
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
11．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3B．C．0D．1
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
6．（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·陕西西安·三模）已知函数在点处的切线均经过坐标原点，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数与（且）的图象只有一个交点，给出四个值：①；②；③；④，则的可能取值为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（ ）
A．B．（为的二阶导数）
C．D．是函数的极大值点
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）设直线与曲线相切，则 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的图象的对称轴，为的零点.若使得的图象在处的切线与轴平行，则的最小值为 ；若在上单调，则的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·广西·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求证：．
17．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数，．
(1)证明：对于，，都有．
(2)当时，直线：与曲线和均相切，求直线的方程．
18．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求的值．
(2)判断的单调性，并求极值．
19．（2024·天津·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数，且 ，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·重庆·模拟预测）设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（ ）
A．2B．1C．D．
二、多选题
6．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数在处的曲率半径为1
C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2
D．若曲线在处的弯曲程度相同，则
三、填空题
8．（2024·上海闵行·二模）函数在处的切线方程为 .
9．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 .
四、解答题
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴．
(1)求的值；
(2)求的单调区间．
11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求曲线与的公切线方程.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线与的公切线的条数；
(2)若，求的取值范围.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝______
f(x)＝sin x
f′(x)＝______
f(x)＝cs x
f′(x)＝______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝______
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ln x
f′(x)＝_____