考点23 同角三角函数基本关系式及诱导公式-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
【知识点】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
【核心题型】
题型一 同角三角函数基本关系
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
【例题1】（2024·河南信阳·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则 .
【变式3】（2024·山西朔州·一模）若，则 ．
题型二 诱导公式
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
【例题2】（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（ ）
A．3B．C．D．2
【变式1】（多选）（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知角，是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在中，，是方程的两个根，则的值是 ．
【变式3】（2023·湖南邵阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
【例题3】（22-23高三上·陕西安康·阶段练习）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2024·广西·二模）已知，则 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知点与点关于原点对称，则 ．
【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知是第二象限内的角，
(1)求 的值；
(2)已知函数，求的值．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东·二模）（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·江西·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．若锐角满足，则
6．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
7．（2024·全国·二模）已知，则 .
8．（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ．
9．（2024·全国·模拟预测）已知为第二象限角，则 ．
四、解答题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）在三角形中，内角、、对应的边分别是、、，已知，，.求：
(1)的值：
(2)的值.
11．（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)设，求函数的最小值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1B．C．2D．
6．（2024·湖南岳阳·二模）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知角为第三象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·新疆·一模）已知: ，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东清远·期末）已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位
11．（2023·广东·模拟预测）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2024·黑龙江·二模）已知函数满足：，则 ．
13．（2023·青海·模拟预测）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，为的中点，与相交于点，则 .
14．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ．
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
16．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，且．
(1)求的值；
(2)求的最小值．
17．（2024·湖北·一模）在中，已知．
(1)求的大小；
(2)若，求函数在上的单调递增区间．
18．（2024·四川内江·三模）在斜中，角A、B、C所对的边分别为．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
19．（2022·浙江·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·浙江·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知，求 .
8．（2023·广东惠州·二模）函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 .
9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）在中，已知．
(1)若，证明：为直角三角形；
(2)若，求的面积．
11．（22-23高三上·陕西商洛·期中）在非中，已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)是否存在使得为定值？若存在，求的值，并求出该定值为多少；若不存在，请说明理由．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
余弦
cs α
正切
tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限