考点26 三角函数的图象与性质（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．
【知识点】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【核心题型】
题型一 三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
【例题1】（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
设，可得，
当时，有最大值为2，
所以函数的最大值为2.
故选：D.
【变式1】（2023·河南·二模）已知偶函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则函数在区间上的值域为 .
【答案】
【分析】根据对称轴可得，根据偶函数可得，进而由得，由余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期为，则，解得，
所以，又为偶函数，所以，，
解得，，因为，所以，
故，
因为，所以，
所以，所以，故.
故答案为：
【变式2】（2023·上海嘉定·三模）函数，的值域是 .
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由的范围得出的范围，再利用余弦函数的基本性质可得出答案.
【详解】，且，，
，，
因此函数在的值域是.
故答案为：.
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设求函数在内的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据最小正周期确定的值，再根据特殊值求解，即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数的性质求解值域即可.
【详解】（1）由周期，，
又得，即，因为，所以，
从而．
（2）由题意，
所以，
因为，所以，
从而，则，所以的值域为．
题型二 三角函数的周期性与对称性
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
【例题2】（2023·山东·模拟预测）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上单调递增
C．的图象关于对称
D．方程在有2个相异实根
【答案】B
【分析】根据函数周期性定义可判断A；根据特殊值，即时，函数无意义判断B；结合正弦函数的对称性判断C；求出方程在上的根，判断D.
【详解】函数，定义域为，
对于A，，故是周期函数，A正确；
对于B，当时，，则，
此时无意义，故B错误；
对于C，当时，，
即的图象关于对称，
由于的定义域为也关于对称，
故的图象关于对称，C正确；
对于D，令，即，
则，或，
即，或，
则当时，，
即方程在有2个相异实根，D正确，
故选：B
【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ．
【答案】（答案不唯一，符合均为正确答案）
【分析】求出，求出即可求出对称轴方程.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，所以，所以，
令，所以，
所以.
故答案为：.
【变式2】（2024·北京海淀·二模）已知函数.
（i）若，则函数的最小正周期为 .
（ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.
【详解】当时，,所以最小正周期为，
，
当时，，且二次函数开口向下，
要使得在区间上的最小值为，则需要，
且当时取最小值，故，解得，
故答案为：，
【变式3】（2023·黑龙江·三模）已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．
【答案】(1)对称轴方程，最近的对称轴方程为
(2)
【分析】（1）由周期求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的对称轴；
（2）依题意可得，即可求出范围，从而求出的值，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由，得，所以，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
取，得，取，得，
因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．
（2）设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于，
所以，即，由，，解得．
又且，所以．
所以．
因为，所以，
所以，即在上的值域为．
题型三 三角函数的单调性
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω