沪科版（2024新版）七年级上册数学第3章《一次方程与方程组》测试卷（含答案解析）

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沪科版（2024新版）七年级上册第3章《一次方程与方程组》测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1在式子2x+3y，1+7x=8，1−x=2x−1，x+y=2，x−5>3中，一元一次方程有(    )个．A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.解一元一次方程13(x−2)=1−12x时，去分母正确的是(    )A. 3(x−2)=1−2x B. 2(x−2)=6−3xC. 2(x−2)=1−3x D. 3(x+2)=6−2x3.若x=1,y=2是方程ax−y=3的解，则a的值是  (    )A. −1 B. −5 C. 2 D. 54.解方程2x=3x时，两边都除以x，得2=3，其错误原因是(    )A. 方程本身是错的 B. 方程无解 C. 两边都除以了0 D. 2x小于3x5.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？设用x立方米木料做桌面，那么桌腿用木料(5−x)立方米，根据题意，得(    )A. 4×50x=300(5−x) B. 50x=4×300(5−x)C. 4×50(5−x)=300x D. 50(5−x)=4×300x6.某工程队需动用15台挖土、运土机械，每台每小时能挖土3 m2或运土 2 m3，为了使挖出的土能及时运走，设安排x台机械挖土，则可列方程为(    )A. 3x−2x=15 B. 3x=2(15−x) C. 2x=3(15−x) D. 3x+2x=157.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是(    )A. y−x=4.512y−x=1 B. x−y=4.5y−2x=1 C. y−x=4.5x−12y=1 D. y−x=4.5y−2x=18.王同潇远同学带了100元去市场买水果，她买了1千克的哈密瓜，2千克的葡萄，还剩30元.设哈密瓜每千克x元，葡萄每千克y元，得方程x+2y=70.则下列说法中，正确的是(    )A. 1千克葡萄的价格可以是35元B. 若1千克哈密瓜的价格是16元，则1千克葡萄的价格是26元C. 若m，n分别表示哈密瓜、葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y=70的解D. 若x=my=n是方程x+2y=70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、葡萄的单价9.下列式子变形正确的是(    )A. 若a=b，则a2=b3 B. 若m=n，则m−2=2−nC. 若a=b，则ac=bc D. 若2x=3，则x=610.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是(    )A. 3B. 6C. 12D. 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.若a+2b=8，3a+4b=18，则a+b的值为______．12.已知x=2是方程2x+a5=x+a3的解，则a的值为          ．13.《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要          分钟．14.一般情况下m2+n4=m+n2+4不成立，但有些数可以使得它成立，例如m=n=0.我们称使得m2+n4=m+n2+4成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为(m,n).若(a,b)是“相伴数对”，则4a+b+2=________．三、计算题：本大题共2小题，共16分。15.解方程：(1)6x=−2(x+4)(2)3y−14−1=5y−76．16.解下列方程组：(1)5x−6y=97x−4y=−5；(2)3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)．四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)解方程组：4x+y=11①2x−y=7②．(1)小组合作时，发现有同学这么做：①+②得6x=18，解得x=3，代入①得y=______．∴这个方程组的解是______，该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法，目的是把二元一次方程转化为______．(2)请你用另一种方法解这个方程组．18.(本小题12分)若x=−1是关于x的方程x+32+m=−2的解，求(m+2)99的值．19.(本小题8分)解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x=a的形式．下面是解方程2x−0.30.5−x+0.40.3=1的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为20x−35−10x+43=1(______)去分母，得3(20x−3)−5(10x+4)=15 (______)去括号，得60x−9−50x−20=15 (______)移项，得60x−50x=15+9+20 (______)合并同类项，得10x=44(乘法分配律)系数化为1，得x=4.4(等式的基本性质2)20.(本小题10分)某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求参加研学的学生人数．21.(本小题10分)已知关于x，y的二元一次方程组x−4y=10x−my=5和3x+y=4n2x+my=1的解相同，试求m，n的值．22.(本小题12分)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6 km与8.5 km，两人付给滴滴快车的乘车费相同．(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟;(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候，已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5 min，计算两人各自的实际乘车时间．23.(本小题14分)在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸运点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸运中心”．(1)如图1，点A表示的数为−1，则点A的幸运点C所表示的数应该是______；(2)如图2，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为−1，点B所表示的数为3，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，该蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心？(3)如图3，在数轴上，点A所表示的数是a，点B所表示的数是b，且|a−b|=5，点P是A、B两点的幸运中心，点Q是点A的幸运点，求P、Q两点距离的最小值．答案和解析1.【答案】B 【解析】2x+3y不是等式，错误；1+7x=8对；1−x=2x−1对；x+y=2有2个未知数，错误；x−5>3不是等式，错误．故选：B．2.【答案】B 【解析】解：去分母，得2(x−2)=6−3x，   故选：B．3.【答案】D 【解析】略4.【答案】C 【解析】解：错误的地方为：方程两边都除以x，没有考虑x是否为0，正确解法为：移项得：2x−3x=0，合并得：−x=0，系数化为1得：x=0．故选：C．出错的地方为：方程两边除以x，没有考虑x为0的情况，据此判断即可．此题考查等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】A 【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面×4=桌腿数量，进而得出等式即可．【解答】解：根据题意，得：4×50x=300(5−x)．故选：A．6.【答案】B 【解析】若安排x台机械挖土，则安排(15−x)台机械运土，由题意得3x=2(15−x)，故选 B．7.【答案】C 【解析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y−x=4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：x−12y=1；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．【详解】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺∴y−x=4.5；∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺，∴x−12y=1即y−x=4.5x−12y=1．故选：C．8.【答案】C 【解析】解：A.由题意可知，设哈密瓜为每千克x元，葡萄每千克y元，得到得出x+2y=70，把y=35代入x+2y=70，得x+2×35=70，解得：x=0，此种情况不符合实际，故选项A错误；B.当x=16时，则16+2y=70，解得：y=27，故选项B错误；C.若m，n分别表示哈密瓜、葡萄的单价，则m，n一定是x+2y=70的解，故选项C正确；D.若x=my=n是方程x+2y=70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、葡萄的单价，故选项D错误．故选：C．根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确从而可以解答．本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，根据题意列出正确的算式，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．9.【答案】C 【解析】解：A、在等式a=b的两边应该除以同一个不为0的数该等式才成立，原变形错误，故此选项不符合题意；B、在等式a=b的两边同时减去2得m−2=n−2，原变形错误，故此选项不符合题意；C、在等式a=b的两边同时乘c，该等式仍然成立，原变形正确，故此选项符合题意；D、在等式2x=3的两边同时除以2得x=32，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．根据等式的性质进行判断．本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．等式性质：1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．10.【答案】A 【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：x=3yx−y= 4=2，解得：x=3y=1，∴每个小长方形的面积=3×1=3，故选：A．设小长方形的长为x，宽为y，由图1可得x=3y，则x−y=3y−y=2y=4，解得y=2即可就得最后结果．本题考查了二元一次方程组的应用，考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能根据图形找到相关数量关系列出算式．11.【答案】5 【解析】【分析】此题主要考查了解二元一次方程组和代数式求值，正确选用解题方法是解题关键．直接利用已知条件，解方程组由②−①得出2a+2b=10，即可得出答案．【解答】解：a+2b=8  ①，3a+4b=18  ②，②−①，得2a+2b=10，因此，a+b=5．故答案为：5．12.【答案】1 【解析】解：因为x=2是方程2x+a5=x+a3的解，所以把x=2代入方程可得，2×2+a5=2+a3，解得a=1．13.【答案】2.5 【解析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．根据题意，设需要t分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．【详解】解：根据题意，设t分钟追上，∴100+60t=100t，解得，t=2.5，∴速度快的人追上速度慢的人需要2.5分钟，故答案为：2.5．14.【答案】2 【解析】此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够正确化简等式并进行变形是解答此题的关键．利用新定义“相伴数对”列出算式，化简得到4a+b=0，再变形即可得到4a+b+2的值．根据题意若(a,b)是“相伴数对”，那么a2+b4=a+b2+4，整理得：4a+b=0，所以4a+b+2=2．故答案为：2．15.【答案】解：(1)去括号得：6x=−2x−8，移项合并得：8x=−8，解得：x=−1；      (2)去分母得：3(3y−1)−12=2(5y−7)，去括号得：9y−3−12=10y−14，移项合并得：y=−1． 【解析】(1)方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：(1)5x−6y=9①7x−4y=−5②，①×2−②×3得：−11x=33，解得：x=−3，把x=−3代入①得：y=−4，则方程组的解为x=−3y=−4；(2)方程组整理得：3x−y=8①3x−5y=−20②，①−②得：4y=28，解得：y=7，把y=7代入①得：x=5，则方程组的解为x=5y=7． 【解析】各方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．17.【答案】解：(1)−1， x=3y=−1 ，加减  ，一元一次方程；(2)由②，可得：y=2x−7③，把③代入①，可得：4x+2x−7=11，解得x=3，把x=3代入③，解得y=−1，∴原方程组的解是x=3y=−1． 【解析】解：(1)小组合作时，发现有同学这么做：①+②得6x=18，解得x=3，代入①得y=−1，所以这个方程组的解是x=3y=−1，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程转化为一元一次方程．(2)见答案．(1)小组合作时，发现有同学这么做：①+②得6x=18，解得x=3，代入①得y=−1，所以这个方程组的解是x=3y=−1，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程转化为一元一次方程．(2)用代入消元法解这个方程组即可．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．18.【答案】解：因为x=−1是关于x的方程x+32+m=−2的解，所以−1+32+m=−2，解得：m=−3，所以(m+2)99=(−3+2)99=(−1)99=−1． 【解析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．把x=−1代入方程x+32+m=−2得出m的值，最后代入求值即可．19.【答案】③  ②  ④  ① 【解析】解：原方程化为20x−35−10x+43=1.(③)去分母，得3(20x−3)−5(10x+4)=15.(②)去括号，得60x−9−50x−20=15.(④)移项，得60x−50x=15+9+20.(①)合并同类项，得10x=44.(合并同类项法则)把未知数x的系数化为1，得x=4.4.(等式的基本性质2)，故答案为：③；②；④；①．方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30=5x−10，解得x=40，故4x+30=190(人)，答：参加研学的学生有190人． 【解析】设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30=5x−10，解方程即可．本题考查了一元一次方程的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键．21.【答案】解：联立得：x−my=5①2x+my=1②，①+②得：3x=6，解得：x=2，把x=2代入x−4y=10得：y=−2，把x=2，y=−2代入x−my=5得：2+2m=5，解得：m=1.5，把x=2，y=−2代入3x+y=4n得：6−2=4n，解得：n=1． 【解析】联立各方程组中第二个方程求出x的值，进而求出y的值，即可得出m与n的值．此题考查了二元一次方程组的解，同解方程，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．22.【答案】解：(1)设小王乘坐滴滴快车的实际行车时间为x min，小张乘坐滴滴快车的实际行车时间为y min．由题意得1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×(8.5−7)，化简得x−y=19．答：这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19 min．(2)由(1)及题意得x−y=19,1.5y=12x+8.5,解得x=37,y=18.答：小王的实际乘车时间为37 min，小张的实际乘车时间为18 min． 【解析】见答案23.【答案】解：(1)∵−1−3=−4，−1+3=2，∴C表示的数是−4或2．(2)设经过t秒，蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心，此时蚂蚁所在的位置表示的数是：8−2t，根据题意，得|8−2t−3|+|8−2t+1|=6，即|5−2t|+|9−2t|=6，①5−2t+9−2t=6，解得t=2；②2t−5+2t−9=6，解得t=5；综上，经过2秒或5秒，蚂蚁所在的点是点A、B的幸运中心．(3)设Q点表示的数是x，P点表示的数是y，根据图3，可知b−a=5，根据题意，得|x−a|=3，|y−a|+|y−b|=6当P在B的右侧，此时，2y−a−b=6，解得y=6+a+b2，①当Q在A的右侧，此时，x−a=3，解得x=3+a，∴PQ=y−x=6+a+b2−(3+a)=b−a2=52，②当Q在A的左侧，此时PQ>AB=5，当P在A的左侧，此时，a+b−2y=6，解得y=a+b−62，①当Q在A的左侧，此时a−x=3，解得x=a−3，∴PQ=y−x=b−a2=52，②当Q在A的右侧，此时PQ>3，综上，P、Q两点的距离最小值为52． 【解析】(1)根据幸运点的定义求解即可；(2)先表示出经过t秒，蚂蚁所在位置表示的数，再根据幸运中心的定义列方程即可；(3)先根据给定的幸运点和幸运中心的定义，表示出P，Q两点表示的数，再分情况讨论：点P在B的右侧，点P在A的左侧，分别计算PQ的值，即可求出最小值．本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离、动点问题，理解新定义并灵活运用是解决本题的关键．①等式的基本性质1②等式的基本性质2③分数的基本性质④乘法分配律计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/km0.3元/min0.8元/km注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为：行车里程7 km以内(含7 km)不收远途费，超过7 km的，超出部分每千米收0.8元．