汉寿县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数.集合，，若，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
2．等差数列,,,…,的公差为1,若以上述数据,,,…,为样本,则此样本的方差为( )
A.B.C.60D.30
3．定义在R上的偶函数的部分图象如图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是( )
A.B.C.D.
4．圆的圆心到直线的距离为( )
A.B.2C.3D.
5．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪,约比西方晚900年,但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后,浇铸成一个底面积为的圆锥,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
6．已知函数,,的零点分别为a,b,c QUOTE a,b,c a,b,c,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7．在中,,则a的值为( )
A.B.C.D.
8．若关于x的不等式恒成立,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数与的导函数分别为与,且,,,的定义域均为R,,,为奇函数,则( )
A.B.为偶函数
C.D.
10．如图所示,在棱长为的正方体中,则下列命题中正确的是( )
A.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线的距离与到直线的距离之比为2,则动点P的轨迹是圆
B.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线的距离与到面的距离之比为2,则动点P的轨迹是椭圆
C.若点P在侧面所在的平面上运动,它到直线的距离与到直线的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线
D.若点P是线段的中点,M,N分别是直线上的动点,则的最小值是
11．已知P为圆锥的顶点,O为圆锥底面圆的圆心,M为线段的中点,为底面圆的直径,是底面圆的内接正三角形,,则下列说法正确的是( )
A.
B.⊥平面
C.在圆锥侧面上,点A到中点的最短距离为3
D.圆锥内切球的表面积为
三、填空题
12．若复数（i为虚数单位,）的实部与虚部互为相反数,则______
13．已知,则______.
14．P是圆上一动点,,Q为的中点,O为坐标原点,则的最大值为__________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求角C的大小;
（2）若的外接圆直径为1,求的取值范围.
16．如图,在三棱台中,,,,侧面平面.
（1）求证:面;
（2）若,,求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆()的离心率为,其右焦点为F,点,且.
（1）求C的方程;
（2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点,过A、B分别作y轴的垂线,垂足为M、N,直线AN与直线交于点E,证明:B、M、E三点共线.
18．已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程;
（2）设斜率为k的直线与函数的图象交于两点,,证明:.
19．已知关于x的二次函数.
（1）设集合和,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数在区间上是增函数的概率;
（2）设点是区域内的随机点,记事件“函数有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1”为事件M,求事件M发生的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：由题：
所以，
故选：A.
2．答案：A
解析：由等差数列的性质得样本的平均数为,
所以该组数据的方差为
故选:A
3．答案：C
解析：利用偶函数的对称性,知在上为减函数.
又在上为减函数;
在上为减函数;
在上为增函数.
在上为减函数.
故选C.
4．答案：D
解析：由题意得,即,
则其圆心坐标为,则圆心到直线的距离为.
故选:D.
5．答案：D
解析：设圆柱的底面半径为,母线长为,圆锥的底面半径为,高为,
则圆柱的侧面积为,解得,故,
又,则,而,得,
故所求正切值为.
故选:D
6．答案：A
解析：,可得,
,可得,
,可得,
函数,,的零点分别为a,b,c,
作出函数,,,的图象如图,
由图可知:.
故答案为A
7．答案：D
解析：由正弦定理,得,解得.
故选:D.
8．答案：C
解析：依题意,,,不等式化为,
设,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以在处取得极大值,也即最大值,又时,,
由题知不等式恒成立,所以的图象恒在的图象
的上方,显然不符题意;当时,为直线的横截距,
其最大值为的横截距,再令,可得,且当直线与
在点处相切时,横截距取得最大值,
此时,切线方程为,所以取得最大值为.
故选:C.
9．答案：ACD
解析：对于A,因为为奇函数,所以,
令,得,故A正确;
对于B,由,得,又,
,即,
,
又的定义域为R,故为奇函数,故B错误;
对于C,由,,可得(b为常数),
,又,
,
,,
,所以是周期为8的函数,同理也是周期为8的函数,故C正确;
对于D,,令,得,则,
再令,得,又是周期为8的函数,所以,
,,,又,
,故D正确.
故选:ACD
10．答案：ACD
解析：对于选项A,建立如图所示的直角坐标系,则,,设因为平面,所以,所以点P到直线的距离就是,同理点P到直线的距离就是.所以,所以,所以,它表示圆,所以该选项正确;
对于选项B,过点P作,垂足为E,因为平面平面,则点P到平面的距离就是.所以,因为,
所以,,所以动点P的轨迹是双曲线,所以该选项错误;
对于选项C,点P到直线的距离就是.所以,所以,,所以动点P的轨迹是抛物线,所以该选项正确;
对于选项D,对任意的点M,固定点M时,过点M作平面,垂足为F,连接,当时,最小,此时平面,所以,由于,,.所以,所以.如下图,把平面翻起来,使之和平面在同一个平面,当时,最小,此时.故该选项正确.
故选:ACD
11．答案：ABD
解析：因为是底面圆的内接正三角形,为底面圆的直径,
所以,,又,
所以,故,A正确;
因为P为圆锥的顶点,为圆锥底面圆的圆心,M为线段的中点,
所以MO⊥平面ABC,
因为平面ABC,所以,
又AO⊥BC,,,平面MOA,
所以BC⊥平面AMO,
因为平面AMO,
所以,
因为,所以,
由勾股定理得:,则,
故,同理可得:,
因为,所以BM⊥AM,
因为,平面MBC,且,
所以⊥平面,B正确;
将侧面展开,如下:
设中点为Q,连接AQ,则为点A到中点的最短距离,
其中,故底面周长为,
故,则,
若,由,
由余弦定理得:,
因为,所以在圆锥侧面上,点A到中点的最短距离不为3,C错误;
由对称性可知,圆锥内切球球心在OP上,作出图形,如下:
设内切球球心为T,设内切球半径为R,
TU=R,,则,
其中,故,
在中,由勾股定理得:,
即,
解得:,故圆锥内切球的表面积为,D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为,;复数的实部与虚部互为相反数,,解得.
故答案为:
13．答案：或0.9
解析：因为,
所以
,
故答案为:
14．答案：
解析：如图所示,
因为圆的参数方程为,
所以设点,则的中点,
所以,
当时,取得最大值.
故答案为:.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题得,
所以,
即,
得,
所以或（不成立）,
即,又
所以;
（2）由,设,,
因为,,所以,
由题可知,,
故
,
由得,
所以,,
故.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在三棱台中,,而,则,
显然,则,
有,于是得,
因侧面平面,侧面平面,平面,
所以平面.
（2）由（1）知,平面,而平面,则,连,如图,因,
,平面,则平面,又平面,因此,平面平面,
在平面内过点作于,而平面平面,则有平面,
连,从而得是直线与平面所成的角,
在直角梯形中,,,,
,在中,,则,,
由平面可得,则,等腰中,底边上的高,
由得:,在中,,
所以直线与平面所成角正弦值是.
17．答案：（1）;
（2）证明见解析﹒
解析：（1）设(),由题意知,.
点,且,解得,
,,
因此C的方程为.
（2）由题意可知,直线l的方程为.
由得,
设,,则,.
轴,,直线,
令,得.
轴,.
,
B,M,E三点共线.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）,
,切线方程为
（2）证法一:要证原不等式成立只需证,
即证,令
只需证
令,
在上单调递减,成立;
令,,
在上单调递增,成立;
综上所述:.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）记“函数在区间上是增函数”为事件.
若使事件A发生,由于,则只需使得,即.
所以,事件A包含的基本事件分别为、、、、,共5个;
所有基本事件共个.
由古典概型的概率计算公式得,,
综上,函数在区间上是增函数的概率为;
（2）若使事件M发生,由于,所以只需,
所有结果构成平面区域为,事件M包含的结果构成的平面区域为,
如图所示:
由几何概型的概率计算公式得,.