2023年广东省深圳市福田区九年级下学期3月质量检测数学试题

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共30分，第Ⅱ卷为11-22题，共70分．全卷共计100分．考试时间为90分钟．
注意事项：
1、答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置．
2、选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（本卷共计30分）
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计30分）
1. 下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整数的概念可以解答本题．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意；
B、是负整数，故选项B符合题意；
C、不是负整数，故选项C不符合题意；
D、是负整数，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．
3. 2022年深圳全市地区生产总值3.24万亿元．3.24万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】3.24万亿．
故选：C．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．
【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式运算、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式和平方差公式．
5. 如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线性质即可求解．
【详解】解：如下图所示，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及直角三角形的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
6. 一件商品售价元，利润率为，则这种商品每件的成本是（ ）元．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据售价（利润率）成本求出即可.
【详解】解:∵售价（利润率）成本，商品售价元，利润率为，
∴成本，
∴故选: C.
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确掌握售价（利润率）成本是解题关键.
7. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A. 15米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高．
【详解】解：过点作，交于点，
在中，米，，
∴（米），
∴（米）．
∴甲楼高为（）米．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对应边成比例的四边形是相似四边形
C. 二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点
D. 若代数式在实数范围内有意义，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定，相似多边形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义分析即可得解．
【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误；
B． 对应边成比例且对应角相等的四边形是相似四边形，故该选项错误；
C． 对于二次函数（为常数），，所以图象与轴有两个交点，故该选项正确；
D． 若代数式在实数范围内有意义，则，故该选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，相似多边形的判定，二次函数的性质以及分式及二次根式有意义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A
B.
C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则
D. 关于的方程的所有实数根的和为4
【答案】D
【解析】
【分析】由是函数图像和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图像可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确．
【详解】解：是函数图像和x轴的交点，
，
解得：，
，
故A、B错误；
如下图，当直线与该图像恰有三个公共点时，应该有2条直线，
故C错误；
关于x的方程，即或，
当时，，
当时，，
关于x的方程的所有实数根的和为，
故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
10. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接先求得，，再证明，从而有，，进而得点、、三点共线，从而证明，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，使得与重合，连接
∵四边形和四边形均为正方形，点为的中点，
∴，，，，
∴即，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得，使得与重合，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴点、、三点共线，
∵，，
∴
∵，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理以及旋转图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（本卷共计70分）
二、填空题：（每小题3分，共计15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，
∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图所示，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，若，．则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作于点D，由作图知平分，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解方程即可得到结论．
【详解】解：过点E作于点D，
由作图知平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
中，由勾股定理得，
∴，
解得：，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14. 如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至，反比例函数的图象经过点．若线段扫过的面积为，则的值为__________
【答案】3
【解析】
【分析】过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，先证明，得，进而求得，根据反比例函数的意义即可求解．
【详解】解：过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，
∵将线段沿轴向右平移至，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵线段扫过的面积为，
∴四边形的面积为，
∴
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，反比例函数k的意义，熟练掌握反比例函数k的意义是解题的关键．
15. 如图，在中，，点在边上，，将沿折叠，的对应边交于点，连接．若，，则的长为__________
【答案】
【解析】
【分析】过点作射线于点，先证是等边三角形，再证，得，得，故，，由折叠的性质可知，利用三角函数求得的长，进而得点与点重合，从而求得的长．
【详解】解：过点作射线于点，
∵将沿折叠，的对应边交于点，
∴，，
∵，，
∴等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵射线，
∴，
∴，
∵，
∴点与点重合，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂法则、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、负整数指数幂法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17. 先化简:，并在中选一个合适的数求值.
【答案】化简结果为，当时代入求值结果为10.
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式=
．
又分母不能为0，
∴不能取,
∴将代入，
∴原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生．
（2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
（3）将条形统计图补充完整．
（4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【答案】（1）50 （2）
（3）答案见解析 （4）720
【解析】
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数；
（2）用360°乘以D组人数所占比例即可；
（3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形；
（4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名），
故答案为：50；
【小问2详解】
解：表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°；
【小问3详解】
解：A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：
【小问4详解】
解：1200×＝720（名）．
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
19. 某企业计划购买A、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购A、两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台型机器人每天搬运货物100吨
（2）购买A型机器人17台，型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元
【解析】
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【小问1详解】
解：设每台A型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
（吨），
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台型机器人每天搬运货物100吨；
【小问2详解】
解：设购买A型机器人台，购买总金额为万元，
由题意得：，
解得：，
；
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买A型机器人17台，型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
20. 如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立；
（2）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得， 在中，利用勾股定理得，进而即可求得，于是即可得解．
【小问1详解】
证明： 为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，（舍去），
，
在中，，
，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对圆周角是直角，求余弦值，等边对等角以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21. 【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为米，则__________，并求与函数表达式；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）约2.1米，理由见解析
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可；
（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可
【小问1详解】
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图1所示：
【小问2详解】
解：由图1可得函数顶点为（2， 1.5），
∴水柱最高点距离湖面的高度为米，
∴
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
【小问3详解】
解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
（米），
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约2.1米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
22. 【问题初探】
（1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，．连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展迁移】
（3）如图3，等腰中，，．在中，， ．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中，
①线段与的数量关系为：__________；
②若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________．
【答案】（1），，理由见解析；（2）结论，，仍然成立，理由见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据等腰直角三角形的性质先证明，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，
设，则，可得，再由，
，，即可；
（2）取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰直角三角形的性质可得，可证明，从而得到，，即可；
（3）①取的中点，连接，，延长分别交，于点，，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，可得，可证明，即可；②根据题意可得点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，则可得当时，最大，过点E作，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出，从而得到，
在中，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：（1），，理由如下：
如图，延长交于点，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
又，
，
，
在中，点为斜边的中点，
，
，
设，则，
，
，
在，点为斜边的中点，
，
，
，
，
；
（2）结论，，仍然成立，理由如下：
如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，，
点，分别是，的中点，
，
，
，
在等腰中，点是的中点，
，，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，，
，即．
综上：，；
（3）①如图，取的中点，连接，，延长分别交，于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
点，分别是，的中点，
，，
，
在等腰中，点是的中点，，
，，，
∴，
∴，即，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴点D在以点B为圆心，长为半径的圆上运动，
∴当时，最大，
过点E作，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中， ，
由①得：，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点，利用类比思想解答是解题的关键．
（米）
0
1
2
3
4
（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5