四川省眉山市仁寿县四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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总分：150分 时间：120分钟
一、单择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列说法错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
B．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
C．设ξ~N0,σ2，且Pξ<−2=14，则P0<ξ<2=12；
D．若变量x和y满足关系y=1−0.3x，则x与y负相关.
2．x−12x5的展开式中x的系数为（ ）
A．−54B．54C．−52D．52
3．已知离散型随机变量ξ和η满足关系式η=ξ2，且随机变量ξ的概率分布表如下：
若Eξ=13，则Pη=1=（ ）
A．112B．512
C．14D．712
4．某商场有a，b两种抽奖活动，a，b两种抽奖活动中奖的概率分别为25，35，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加a，b两种抽奖活动的概率分别为25，35，已知甲中奖，则甲参加a抽奖活动中奖的概率为（ ）
A．413B．425C．913D．925
5．为迎接2024年在某地举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的市民准备将9份一样的本地特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A．23 B．24 C．25 D．26
6．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了五局”，则PAB=（ ）
A．516 B．14 C．38 D．12
7．已知a=ln24,b=12e,c=2−ln2e2，则这三个数的大小关系为（ ）
A．c8．设函数，若函数存在两个极值点，
且不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分.）
9．从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出4个数字，则（ ）
A．可以组成300个无重复数字的四位数 B．可以组成144个无重复数字的四位奇数
C．可以组成160个无重复数字且比3400大的四位数
D．可以组成21个无重复数字且能被25整除的四位数
10．已知fx=2x−3nn∈N∗展开式的二项式系数和为512，
fx=a0+a1x−1+a2x−12+...+anx−1n，下列选项正确的是（ ）
A．a1+a2+...+an=1 B．a1+2a2+3a3+...+nan=18
C．f6被8整除的余数为1 D．a0+a1+...+an=39
11．已知函数fx=x+1ex−1−ax−1，则下列说法正确的是（ ）
A．若fx在R上单调递增，则a≤−1
B．若a=1，则过点0,3能作两条直线与曲线y=fx相切
C．若fx有两个极值点x1，x2，且x2>x1，则a的取值范围为−1,0
D．若0a−1的解集为m,nn>m，则n−m≥2
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）
与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据：
根据表中数据得到关于的经验回归方程为，
则当时，残差为 .
13．已知随机变量X~B3,p，若EX+DX=94，则PX≥1= .
14．已知函数fx=ax2+bx+xlnx的图象在点1,f1处的切线方程为3x−y−2=0．
（1）则实数a的值为 ；
（2）设gx=x2−x，若kx−22恒成立，则k的最大整数值为 .
四、解答题（本大题共5个小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知函数fx=alnx−1−x2+x，且曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为2x+by−2=0．
(1)求a,b的值； (2)求fx的单调区间与最大值.
16．（本小题满分15分）现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干.其中甲箱中有4个红球，3个黑球，2个绿球；乙箱中有2个红球，2个黑球，5个绿球.
（1）若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率.
（2）若从乙箱中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
（3）若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率.
17．（本小题满分15分）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
并调查其患病情况，
将调查结果整理如下：
(1)完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望E(X)和方差D(X)．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
18.（本小题满分17分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费xi（单位：百万元）和年销售量yi（单位：百万辆）关系如图所示：令vi=lnxii=1,2,⋅⋅⋅,5，数据经过初步处理得：

i=15yi=44, i=15vi=4.8, i=15xi−x2=10, i=15yi−y2=40.3,
i=15vi−v2=1.612, i=15xi−xyi−y=19.5, i=15yi−yvi−v=8.06
现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N600,σ2，且满足Pξ>800=0.3.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2，
回归直线y=a+bx中公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx；
②参考数据：40.3×1.612=8.06，403≈20.1，ln5≈1.6，ln6≈1.8.
19．（本小题满分17分）已知fx=ex−ax−1，a∈R，e是自然对数的底数.
(1)当a=1时，求函数y=fx的极值；
(2)若关于x的方程fx+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当a>0时，若满足fx1=fx2x1−3
−1
0
1
3
P
112
a
b
14
16
1
3
4
5
7
15
20
30
40
45
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828