山东省泰安第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是（）
A．所有不能被4整除的整数都是偶数B．所有能被4整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被4整除的整数是偶数D．存在一个能被4整除的整数不是偶数
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则、、的大小关系为（ ）
A．B． C． D．
5．已知函数的定义域为．则函数的定义域是（ ）
A．B． C． D．
6．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件；
B．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为；
C．若集合有且仅有一个元素，则实数；
D．已知，则的取值范围是．
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
11．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．若，则关于（1，0）中心对称 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一个空3分，第二个空2分．
12．已知函数，则必过的定点的坐标为__________．
13．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为_________．
14．已知函数的图象关于坐标原点中心对称的充要条件是函数为奇函数，将其推广：函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．根据以上结论回答下面的问题：
已知函数，则函数的图象的对称中心为__________；关于的不等式的解集为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）化简求值：
（1）
（2）．
16．（15分）已知．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
17．（15分）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂．某公司打算在2024年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年每产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，125；当时，；当时，，且知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．
（1）记2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），求的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
18．（17分）已知函数为定义在上的偶函数，当时，．
（1）求当时的解析式；
（2）用单调性定义判断函数在区间上的单调性；
（3）解关于的不等式，其中且．
19．（17分）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
（1）已知函数．
①若函数为奇函数，求实数的值；
②若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围．
泰安一中2024-2025学年第一学期期中检测
高一数学试题答案
一、单项选择题：
二、多项选择题：
三、填空题：
12．1，1 13．或14．
四、解答题：
15．（1）原式．
（2）原式．
16．（1），
．
（2），
故，且，则，即．
，则，
解得，即．
17．【详解】（1）（1）由题意可得，，所以
，即．
（2）当时，；
当时，，对称轴；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元。
18．【详解】（1）当时，，所以，
由为偶函数知，
所以时
（2）证明：任取且，有
根据，可得，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
（3）由函数为偶函数知等价于
又函数在区间上单调递增，所以，所以|
即
（i）当时，不等式可化为为，解得：，∴原不等式解集为；
（ii）当时，令得
∴原不等式解集为；
（iii）当时，令得
∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为．
19．【详解】（1）①由）得
所以，化简得，所以．
②，∵，∴在上递增，
∴∴，∴，
∵∴，所以
∴存在上界，的范围是．
（2）法一：由题意可知在上恒成立，，即，∴在上恒成立，
∴．设，
由，得．∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，．所以，实数的取值范围是．
法二：可研究的最值，．1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
A
C
D
A
B
D
9
10
11
ABD
ACD
BCD