江苏省扬州市树人中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试卷

这是一份江苏省扬州市树人中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为1：1000000的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（ ）
A．0.19千米B．1.9千米C．19千米D．190千米
2．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．B．6C．9D．18
3．（3分）方程x（x+1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣1
4．（3分）⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（ ）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．点A与⊙O的位置关系不能确定
5．（3分）如图，在圆O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（ ）
A．1B．C．D．4
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
7．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．B．2πC．D．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9．（3分）小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为10%、40%、50%，则小明的数学学期成绩是 分．
10．（3分）若线段AB上黄金分割点为C，且AC＜BC，又AB的长为2cm，则CB的长为 cm．
11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，则方程可变形为（x﹣5）2＝ ．
12．（3分）已知a是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式4a2﹣2a+2024的值是 ．
13．（3分）已知⊙O最长的弦是10cm，则直径为 cm．
14．（3分）一直角三角形的两直角边是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
15．（3分）如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，若∠A＝56°，则∠C＝ °．
16．（3分）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．
17．（3分）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB，BC为边作矩形OBCD连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．
21．（8分）网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度得分（满分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
b：服务质量得分统计图（满分10分）：
a：配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）比较两家快递公司在服务质量得分方差的大小： （填“＞”“＝”或“＜”）．
22．（8分）某红色研学基地在网上进行宣传英雄人物的事迹，吸引了大批师生和社会爱国人士的关注．今年3月份新增10万人来此基地研学，今年5月份新增14.4万人．
（1）求3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率；
（2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到20万人？
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一个圆，使圆心O在AC边上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半径．
24．（10分）随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．
（1）若有14人参加旅游，人均费用是 元．
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半径．
26．（10分）《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
（1）嘉嘉发现当BD＝60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．
（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
27．（12分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E．
求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，连接CD．分别交AB、OA与点M、点E．
求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP＝3BP．求AB的长．
28．（12分）【阅读材料】如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”．过点M作y轴的垂线交y轴于点N，线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
【类比应用】已知⊙P的圆心为P（0，8），半径为4，弦AB的长度为4，弦AB的中点为M．
（1）如图2所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗？若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
（2）如图2所示，当AB∥y轴时，弦AB到原点O的“密距”是 ．
（3）如图2所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中直接写出弦AB到原点的“密距”d的取值范围 ．
2024-2025学年江苏省扬州市广陵区树人学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题；每题3分，共24分）
1．（3分）2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为1：1000000的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（ ）
A．0.19千米B．1.9千米C．19千米D．190千米
【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，就可以求出实际距离．
【解答】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，
根据题意可知，
1：1000000＝1.9：x，
x＝1.9×1000000，
x＝1900000，
1900000厘米＝19千米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例尺，掌握比例尺的意义是关键．
2．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．B．6C．9D．18
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4，
∴△A1B1C1的面积为9，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
3．（3分）方程x（x+1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：原方程分解可得：x＝0，x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键．
4．（3分）⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（ ）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．点A与⊙O的位置关系不能确定
【分析】根据题意得⊙O的半径为2cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外．
【解答】解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
而点A到圆心O的距离为3cm，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
5．（3分）如图，在圆O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是（ ）
A．1B．C．D．4
【分析】根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答．
【解答】解：∵圆心到弦AB的距离OC为2，
∴OC⊥AB，
∵弦AB的长为4，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∴OA＝＝＝2，
即圆O的半径长是，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧．
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形外心的定义对④进行判断．
【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误；
同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．B．2πC．D．
【分析】过点O作OD⊥BC，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，如图所示，
由折叠性质可知，
∴，
在Rt△OBD中，
∵OD＝，
∴∠OBD＝30°，
∴，
∵OD⊥BC，OD经过圆心，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
9．（3分）小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项占学期成绩的百分比分别为10%、40%、50%，则小明的数学学期成绩是 89.8 分．
【分析】根据加权平均数的计算方法和题目中的数据，计算即可．
【解答】解：由题意可得，
小明的数学成绩是88×10%+90×40%+90×50%
＝8.8+36+45
＝44.8+45
＝89.8（分），
故答案为：89.8．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
10．（3分）若线段AB上黄金分割点为C，且AC＜BC，又AB的长为2cm，则CB的长为 （） cm．
【分析】根据黄金分割的定义，当BC是较长线段时，得到BC＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．
【解答】解：∵AB＝2cm，
∴由题意可得：BC＝AB＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念，正确记忆修改知识点是解题关键．
11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，则方程可变形为（x﹣5）2＝ 36 ．
【分析】先移项，再两边配上25，写成完全平方公式即可．
【解答】解：原方程移项得：x2﹣10x＝11，
∴x2﹣10x+25＝11+25，
∴（x﹣5）2＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．
12．（3分）已知a是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式4a2﹣2a+2024的值是 2026 ．
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得2a2﹣a＝1，再代入计算即可得．
【解答】解：有条件可知：2a2﹣a﹣1＝0，即2a2﹣a＝1，
∴4a2﹣2a+2024＝2（2a2﹣a）+2024＝2×1+2024＝2026，
故答案为：2026．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．
13．（3分）已知⊙O最长的弦是10cm，则直径为 10 cm．
【分析】根据直径是圆内最长的弦确定答案即可．
【解答】解：∵直径是圆内最长的弦，⊙O最长的弦是10cm，
∴圆的直径为10cm，
故答案为：10．
【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦为直径，难度不大．
14．（3分）一直角三角形的两直角边是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 5 ．
【分析】先解方程求出两直角边的长，进而利用勾股定理求出斜边长，再由直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边即可得到答案．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得x＝3或x＝4，
∴，
∵直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边，
∴此直角三角形的外接圆的直径为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圆圆心的位置问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
15．（3分）如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，若∠A＝56°，则∠C＝ 124 °．
【分析】利用圆的内接四边形对角互补计算即可．
【解答】解：由题意可知：A、B、C、D四点都在⊙O上，∠A＝56°，
由圆的内接四边形对角互补可得：∠C＝180°﹣∠A＝124°，
故答案为：124．
【点评】本题考查了圆的内接四边形，熟练掌握内接四边形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 60π cm2．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为6cm，高为8cm，则底面周长＝12π，由勾股定理得，母线长＝10，那么侧面面积＝×12π×10＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
17．（3分）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB，BC为边作矩形OBCD连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为 4 ．
【分析】连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 ﹣1 ．
【分析】首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF＝∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA＝90°，可得∠FAD+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，最后在Rt△AGD中，根据勾股定理，求出DG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段DP的最小值为多少．
【解答】解：如图：
，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵点P在运动中保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即线段DP的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了轨迹，解答此题的关键是判断出什么情况下，DP的长度最小，利用了了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
三、解答题（本大题共10题，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）将x2﹣x＝0的左边因式分解可得x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1；
（2）将x2﹣4x﹣5＝0的左边因式分解可得（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0，从而求出a的取值范围．
（2）利用根与系数的关系，根据+＝即可得到关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝4+4a．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．即4+4a＞0
解得a＞﹣1．
（2）由题意得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a．
∵，
，
．
∴a＝3．
【点评】本题综合考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系．
21．（8分）网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度得分（满分10分）：甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
b：服务质量得分统计图（满分10分）：
a：配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 8 ，n＝ 9 ；
（2）比较两家快递公司在服务质量得分方差的大小： ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）根据中位数、众数的概念即可解答；
（2）根据折线统计图和方差的意义判断即可得出答案．
【解答】解：（1）将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为（8+8）÷2＝8，即m＝8，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n＝9；
故答案为：8，9；
（2）由统计图可知，甲公司的得分波动较小，其方差较小，故S＜S．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键．
22．（8分）某红色研学基地在网上进行宣传英雄人物的事迹，吸引了大批师生和社会爱国人士的关注．今年3月份新增10万人来此基地研学，今年5月份新增14.4万人．
（1）求3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率；
（2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该红色研学基地新增人数能达到20万人？
【分析】（1）设3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为x，根据今年3月份新增10万人来此基地研学，今年5月份新增14.4万人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）根据（1）中求出的增长率，分别求出后面几个月该红色研学基地新增人数即可解答．
【解答】解：（1）设3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为x，
由题意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：3月份到5月份到该研学基地研学的新增人数的月平均增长率为20%；
（2）由题意可知，6月份该红色研学基地新增人数为：14.4×（1+20%）＝17.28（万人），
7月份该红色研学基地新增人数为：17.28×（1+20%）＝20.736（万人），
答：7月份该红色研学基地新增人数人数能达到20万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作一个圆，使圆心O在AC边上，且与AB、BC所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，求（1）中所作的⊙O的半径．
【分析】（1）作∠ABC的平分线BO，交AC于点O，以O为圆心，以OC长为半径画圆，⊙O即为所求作；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，根据角平分线性质得到OH＝OC，判定点H在⊙O上，AB是⊙O的切线，求出AB＝5，根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO，即可求得．
【解答】解：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、BC于点D、E，
分别以点D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，
作射线BF交AC于点O，
以O为半径，以OC长为半径画圆，
⊙O即为所求作；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥OC，
∴BC是⊙O的切线，
∵BO平分∠ABC，
∴OH＝OC，
∴点H在⊙O上，AB是⊙O的切线，
∵在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO，
∴，
∴3×4＝5OH+4OC，
∴．
故⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键．
24．（10分）随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．
（1）若有14人参加旅游，人均费用是 220 元．
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数．
【分析】（1）由题意列式计算即可；
（2）设参加活动的学生人数为x人，根据团体票的费用共3600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：240﹣（14﹣10）×5＝240﹣20＝220，
即若有14人参加旅游，人均费用是22元，
故答案为：220；
（2）设参加活动的学生人数为x人，
由题意得：x[240﹣5（x﹣10）]＝3600，
整理得：x2﹣58x+720＝0，
解得：x1＝18，x2＝40，
当x1＝18时，240﹣5×（18﹣10）＝200＞170，符合题意；
当x2＝40时，240﹣5×（40﹣10）＝90＜170，不符合题意，舍去；
答：参加活动的学生人数为18人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若BD＝2，，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠OCD＝90°，根据切线判定推出即可；
（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝2，OB＝OC，
设OC＝x，则DO＝x+2，
∵∠OCD＝90°，
∴，
∴x＝2，
答：⊙O的半径是2．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
26．（10分）《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
（1）嘉嘉发现当BD＝60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．
（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
【分析】（1）由题意易得△CDQ∽△ABQ，然后可根据相似三角形的性质进行求解；
（2）设BD＝x m，则有QB＝（3+x）米，PB＝（22.5+x）米，由题意易得△EFP∽△ABP，然后根据相似三角形的性质可得＝，＝进而问题可求解．
【解答】解：（1）∵∠CDQ＝∠B＝90°，∠CQD＝∠AQB，
∴△CDQ∽△ABQ，
∴＝，
∵CD＝2米，QD＝3米，QB＝QD+BD＝3+60＝63米，
∴＝，
解得：AB＝42（米），
答：飞虹塔AB的高度是42米；
（2）设BD＝x米，依据题意得：QB＝（3+x）米，PB＝（22.5+x）米，
∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P，
∴△EFP∽△ABP，
∴＝，
∵EF＝CD＝2米，PF＝4米，
∴＝，
∴AB＝，
∵△CDQ∽△ABQ，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝55.5，
经检验：x＝55.5是原方程的解，
∴AB＝39（米），
答：飞虹塔的大致高度为39米．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．（12分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E．
求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，连接CD．分别交AB、OA与点M、点E．
求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP＝3BP．求AB的长．
【分析】（1）根据AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，得证四边形ADOE是矩形，结合AB＝AC，根据垂径定理，得证明四边形ADOE是正方形；
（2）连接AC，根据定义，利用圆周角定理证明；
（3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB、AC是⊙O的等垂弦，
∴AB⊥AC．
∵OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E，
∴四边形ADOE是矩形．
∵AB＝AC，
∴，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）证明：∵AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分别交⊙O于D，C两点，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠AOC＝∠BOC+∠AOC，
∴∠COD＝∠AOB，
∴AB＝CD；
连接AC，设AB，CD交点为G，如图2，
∴，
∴∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠ACD+∠CAB）＝90°，
∴CD⊥AB，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）解：已知⊙O的直径为10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．当等垂点P位于圆内，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，如图3，
∴AB⊥CD，
∴四边形OEPF是矩形，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝PE＝PF．
∵AP＝3BP，
设BP＝x，AP＝3x，
∴AB＝AP+BP＝x+3x＝4x，
∵OE⊥AB，
∴，
∴OE＝OF＝PE＝PF＝x，
连接OB，
∵⊙O的直径为10，
∴OB＝×10＝5，
在RtOBE中，由勾股定理得OB2＝OE2+BE2，
∴52＝x2+（2x）2，
解得（舍去），
∴；
当等垂点P位于圆外时，过点O作OH⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为H，G，如图4，
由题意得AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵AB＝CD，
∴OH＝OG，
∴四边形OHPG是正方形，
∴OH＝OG＝PH＝PG．
∵AP＝3BP，
设BP＝x，AP＝3x，
∴AB＝AP﹣BP＝3x﹣x＝2x，
∵OH⊥AB，
∴，
∴OH＝OG＝PH＝PG＝2x，
连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
在Rt△OAH中，由勾股定理得OA2＝OH2+AH2，
∴52＝（x）2+（2x）2，
解得（舍去），
∴．
综上所述，或．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
28．（12分）【阅读材料】如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”．例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”．过点M作y轴的垂线交y轴于点N，线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
【类比应用】已知⊙P的圆心为P（0，8），半径为4，弦AB的长度为4，弦AB的中点为M．
（1）如图2所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗？若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
（2）如图2所示，当AB∥y轴时，弦AB到原点O的“密距”是 ．
（3）如图2所示，如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中直接写出弦AB到原点的“密距”d的取值范围 ．
【分析】（1）连接连接PM，PA，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理可求得PM，从而运用同圆中等弦的弦心距相等，即可得答；
（2）连接OM，由P（0，8）得到OP＝8，结合（1）中PM⊥AB可推出PM⊥y轴，根据勾股定理在Rt△OMP中可求得OM的长，即可解答；
（3）由三角形三边关系的应用，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
【解答】解：（1）圆心P到弦AB的中点M的距离不变化；理由如下，
连接PM，PA，如图2，
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴，
∵PA＝4，
∴，
∴根据同圆中等弦的弦心距相等，可得圆心P到弦AB的中点M的距离不变化；
（2）连接PM，PA，OM，如图3，
∵⊙P的圆心为P（0，8），
∴OP＝8．
由（1）得，PM⊥AB，又AB∥y轴，
∴PM⊥y轴，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：
，
即由“密距”的定义得弦AB到原点O的“密距”是．
故答案为：；
（3）弦AB到原点的“密距”d的取值范围为；理由如下：
∵当弦AB在⊙P上运动时，OP﹣PM≤OM≤OP+PM，∴，
故答案为：．
【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，三角形三边关系的应用，解题关键是读懂题意，理解“密距”的定义统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
m
n
7
乙
7.9
8
8
7
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上数据均为近似值）
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
m
n
7
乙
7.9
8
8
7
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；
步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上数据均为近似值）