湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分）
1．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，总分20分）
9．满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．的单调递增区间为，
C．在上的值域为
D．将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
11．曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A．点到轴距离的最大值为B．点到原点距离的最大值为
C．周长的最大值为D．最大值为
12．在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ）
A．∥平面
B．面⊥面
C．直线到平面的距离是
D．点到直线的距离是
三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13．已知向量与的夹角为，，，则 ，
14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为 .
15．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、
16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 .
四、解答题（共4小题，总分70分）
17．如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
18．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；
(2)求王阳最终通过面试的概率.
19．已知双曲线的实轴长为，且过点
(1)求双曲线C的方程.
(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求
(3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.
20．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
(1)求椭圆C的方程
(2)求证：直线恒过定点；
(3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.
21．如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
参考答案：
1．D
2．A
3．C
4．C
5．C
6．B
7．A
8．C
9．BCD
10．AC
11．BD
12．ABD
13． 2
14．900
15．
16．
17．如图，以为坐标原点，所在的直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，则有.
（1）因为分别为的中点，所以.
所以.所以.
又因为平面，所以平面.
（2）由（1），知，所以.
设平面的一个法向量为
则，即.解得.令，
则.
设平面的一个法向量为，则，即.
得.令，则，因为，所以.故平面平面
18．(1)
(2)
（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件，
若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，
所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
（2）记“王阳最终通过面试”为事件，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
19．（1）根据题意可得，则
将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线C的方程为
（2）由（1）得，则，
则直线l的方程为
设，
由，得，
，，，
所以
（3）设，，则，
两式相减得
设，则，
所以，
即，所以，
即，所以点P在直线上.
20．（1）由已知两个顶点坐标为A-2,0，，短轴长为2，得，，

则椭圆方程：.
（2）设直线方程为，Px1,y1，Qx2,y2，
由，消去x得，，
，
则，，
，
，
又点Px1,y1在椭圆上，则，即
则，
即，则，
即
，
解得，此时，
即直线的方程为，
所以直线恒过定点.
（3）设直线的方程为，，，

由，消去得，
，即，
则，，
所以
点到直线的距离，
所以，
又，，
所以
，
所以
则当即时，取最大值为.
21．(1)
(2)（i）没有交点，理由见详解；（ii）
（1）设Mx,y，
因为，则，
又因为点在圆上，则，
所以点的轨迹的方程为.
（2）若，则的方程为，即，
（i）与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点；
（ⅱ）由题意可知：，

设，则直线，
联立方程，消去y可得，
则，可得，
则，
令，解得，
由题意可知，
因为，则，
又因为，可得，
所以的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
C
C
B
A
C
BCD
AC
题号
11
12








答案
BD
ABD