广东省茂名市龙岭教育共同体2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省茂名市龙岭教育共同体2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
3．（3分）在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.2B．C．﹣1D．
4．（3分）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）估算的值在（ ）
A．7和8之间B．6和7之间C．3和4之间D．2和3之间
7．（3分）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（ ）
A．y＝60xB．y＝3x
C．y＝0.05xD．y＝0.05x+60
8．（3分）点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
9．（3分）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（ ）
A．4.5πB．9πC．36D．18π
10．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）实数的算术平方根是 ．
12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）若点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 ．
14．（3分）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的 方向的 m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）
15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（7分）计算：（1）；
（2）．
17．（7分）先化简，后求值：，其中.．
18．（7分）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出坐标：C1（ ， ）；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PC的最小，并标出P点的位置．
（3）计算△A1B1C1的面积．
20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M （a+1，2a﹣4）．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴，y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上时，求a的值；
（3）若经过点M，N（b+1，4）的直线与x轴平行，且MN＝5，求点M，N的坐标．
21．（9分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，，c是的整数部分．
（1）求m﹣n的立方根．
（2）判断△ABC的形状．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）动手操作：
（1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 重合，点B与点 重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？
23．（14分）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：
（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），
即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．
2024-2025学年广东省茂名市龙岭教育共同体八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．
【解答】解：A.的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.＝，因此选项B不符合题意；
C.＝2，因此选项C不符合题意；
D.＝|a|，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152＝172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
3．（3分）在0.2，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0.2B．C．﹣1D．
【分析】按照无理数的定义逐个来判定即可．
【解答】解：A、0.2属于有理数，故A不符合题意；
B、＝3，为有理数，故B不符合题意；
C、﹣1为有理数，故C不符合题意；
D、为开不尽方根，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的定义，无理数是指①无限不循环小数；②开不尽的方根，牢牢掌握无理数的定义是解题关键．
4．（3分）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵+（y+1）2＝0，而，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．
【解答】解：∵﹣3＜0，2＞0，
∴点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
6．（3分）估算的值在（ ）
A．7和8之间B．6和7之间C．3和4之间D．2和3之间
【分析】应先化简求值，再看所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵＝，
而2＜＜3，
∴的值在2和3之间．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．（3分）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（ ）
A．y＝60xB．y＝3x
C．y＝0.05xD．y＝0.05x+60
【分析】根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间，根据等量关系列出函数关系式．
【解答】解：由题意得：y＝60×0.05x＝3x，
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．（3分）点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
【分析】根据x轴上的点纵坐标为零可得a+1＝0，再解即可．
【解答】解：∵点P（a﹣2，a+1）在x轴上，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．
9．（3分）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（ ）
A．4.5πB．9πC．36D．18π
【分析】由正方形的性质得EF2＝64，DE2＝100，再由勾股定理求出DF的长，然后由圆的面积公式计算即可．
【解答】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，
∴EF2＝64，DE2＝100，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF＝＝＝6，
∴半圆C的半径为3，
∴半圆C的面积＝•π•32＝4.5π，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质以及圆面积公式等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
10．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）实数的算术平方根是 ．
【分析】直接根据算术平方根的意义进行解答．
【解答】解：∵＝3，且3的算术平方根为．
∴实数的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根意义，解答本题的关键是明确，求的算术平方根．实际上是求3的算术平方根．
12．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3﹣4x≥0，
解得，x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
13．（3分）若点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 1 ．
【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．
【解答】解：∵点P（m，1﹣2m）在第二、四象限的角平分线上，
∴m+1﹣2m＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
14．（3分）如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的 南偏西60° 方向的 500 m处（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解答】解：∵小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，
∴小明在小刚的南偏西60°方向的500m处．
故答案为：南偏西60°，500．
【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记．
15．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 20 ．
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．（7分）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则计算乘除，再把所得二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化简，再利用绝对值的性质、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质计算乘方，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式、二次根式的乘除法则、绝对值的性质、零指数幂的性质和负整数指数幂的性质．
17．（7分）先化简，后求值：，其中.．
【分析】先算平方差，完全平方，再进行加减运算，最后把相应的值代入运算即可．
【解答】解：
＝
＝，
当时，
原式＝8﹣2
＝8﹣2
＝6．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；
（2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答．
【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，
∵（m﹣3）≠0，
∴m≠3，
所以，m＝﹣3时是一次函数；
（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，
∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，
∴m≠3，n＝2，
所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数．
【点评】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），一次函数的一般形式是y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0，b≠0）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出坐标：C1（ ﹣5 ， 3 ）；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PC的最小，并标出P点的位置．
（3）计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）连接AC1，与y轴交点即为P点；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1的坐标是（﹣5，3），
故答案为：﹣5，3；
（2）点C关于y轴的对称点C1，连接AC1交y轴于点P，连接PC，此时PA+PC的值最小．
（3）△A1B1C1的面积＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，准确画出图形是解题的关键．
20．（9分）在平面直角坐标系中，已知点M （a+1，2a﹣4）．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴，y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上时，求a的值；
（3）若经过点M，N（b+1，4）的直线与x轴平行，且MN＝5，求点M，N的坐标．
【分析】（1）根据x轴，y轴上点坐标特征，分别列出关于a的方程，求得a的值，即可得答案；
（2）根据第四象限的角平分线上点坐标的特征列出关于a的方程，即可解得答案；
（3）根据直角坐标系中平行于x轴的直线上的点坐标特征，列出关于a的方程可得M的坐标，由MN＝5可得N的坐标．
【解答】解：（1）若M（a+1，2a﹣4）在x轴上，则2a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴M（3，0），
若M（a+1，2a﹣4）在y轴上，则a+1＝0，
∴a＝﹣1，
∴M（0，﹣6），
∴M在x轴上，M的坐标是（3，0）；M在y轴上，M的坐标是（0，﹣6）；
（2）∵M（a+1，2a﹣4）在第四象限的角平分线上，
∴（a+1）+（2a﹣4）＝0，
解得a＝1，
∴a的值为1；
（3）∵经过点M（a+1，2a﹣4），N（b+1，4）的直线与x轴平行，
∴2a﹣4＝4，
解得a＝4，
∴M（5，4），
∵MN＝5，
∴|b+1﹣5|＝5，
解得b＝9或b＝﹣1，
∴N（10，4）或N（0，4）．
【点评】本题考查直角坐标系中的点坐标，解题的关键是掌握直角坐标系中点坐标的特征．
21．（9分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，，c是的整数部分．
（1）求m﹣n的立方根．
（2）判断△ABC的形状．
【分析】（1）先根据两个平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据二次根式有意义的条件列出关于n的方程，求出n，然后求出m﹣n的立方根即可；
（2）根据（1）中所求的n，求出b，再估算的大小，求出整数部分c和a的值，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：（1）∵a的平方根分别是2m﹣4与1﹣m，
∴2m﹣4+1﹣m＝0，
m﹣3＝0，
∴m＝3，
∵，
∴n﹣2＝2﹣n＝0，
∴n＝2，
∵m﹣n＝3﹣2＝1，
∴m﹣n的立方根是1；
（2）∵，n＝2，
∴b＝3，
∵，即，
∴的整数部分c＝5，
由（1）可知：m＝3，
∴a＝（2m﹣4）2＝（2×3﹣4）2＝4，
∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查了估算无理数、平方根、立方根和勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握求平方根、立方根，正确估算无理数的整数部分和小数部分．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）动手操作：
（1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 A′ 重合，点B与点 B′ 重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？
【分析】（1）根据对称性即可推出答案；
（2）最短距离可以转化为两条直角边分别为30cm，40cm的直角三角形的斜边即可；
（3）用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处时，剖面图即为A'C为A'B'的，求出4AC即可．
【解答】解：动手操作：把矩形AA'B'B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点A'重合，点B与点B'重合，
故答案为：A'，B'；
（1）如图所示，连接AB'，
这条丝线的最小长度即为AB'的长，
由勾股定理得：AB'＝＝＝50（cm），
即这条丝线的最小长度是50cm；
（2）若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，如图所示：
在Rt△AA'C中，AA'＝30cm，A'C＝＝10（cm），
∴AC＝＝＝10（cm），
4×10＝40（cm）．
答：至少需要多少丝线40cm．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键．
23．（14分）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：
（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），
即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．
【分析】（1）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明；
（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；
（3）可以拼成一个长、宽分别是x+p和x+q的长方形，它由边长是x的正方形，长宽分别是x和p，x和q，p和q组成的图形．
【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间空白部分正方形面积为：（b﹣a）2；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×ab；
由图形关系可知：大正方形面积＝空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；
（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2
所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；
（3）如图示：大矩形的长、宽分别为（x+p），（x+q），则其面积为：（x+p）•（x+q），从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：x2+px+qx+pq，则有：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．
【点评】注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法