第05讲 复数 （知识+真题+7类高频考点) ( 精讲）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2458" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2458 \h 1
\l "_Tc24851" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc24851 \h 3
\l "_Tc17209" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17209 \h 3
\l "_Tc2310" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc2310 \h 3
\l "_Tc16661" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc16661 \h 4
\l "_Tc20981" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc20981 \h 5
\l "_Tc13279" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc13279 \h 6
\l "_Tc20846" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc20846 \h 7
\l "_Tc27659" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc27659 \h 7
\l "_Tc19149" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc19149 \h 8
\l "_Tc18792" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc18792 \h 9
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·（乙卷文））（ ）
A．1B．2C．D．5
3．（2023·全国·（甲卷文））（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2023·全国·（新高考Ⅱ卷））在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2024下·上海·高三开学考试）下列命题不正确的为（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D．，，则对应的点的轨迹为线段
例题2．（多选）（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．的共轭复数D．
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）复数的实部与虚部之和是（ ）
A．7B．13C．21D．27
2．（2024下·高一单元测试）已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例题1．（2024下·全国·高一专题练习）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
例题3．（多选）（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为B．点B在第二象限
C．D．
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（多选）（2024下·高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若z是复数，则
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
3．（2024·全国·高一假期作业）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例题2．（2024下·全国·高一专题练习）复数，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
例题3．（2023下·河北唐山·高一校联考期中）已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数的值.
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知是纯虚数（其中，是虚数单位），则 ；
2．（2024·全国·高一假期作业）已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
3．（2024下·全国·高一专题练习）已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最大值是 ．
例题3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知是纯虚数（其中，是虚数单位），则 ；
2．（2024·全国·高一假期作业）若，且满足，则的最大值为 .
3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）满足，的一个复数 ．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）若复数和复数满足，，，则 .
2．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2024·湖南邵阳·统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·贵州遵义·高二统考期末）若，则（ ）
A．2B．1C．D．
例题3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
练透核心考点
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）复数的虚部为 .
高频考点七：共轭复数
典型例题
例题1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
例题3．（2024上·天津·高三校联考期末）设，则的共轭复数为 ．
练透核心考点
1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点为，则 .
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024下·浙江丽水·高三校考开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．