湖北部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 含解析

这是一份湖北部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
命题学校：郧阳中学 命题教师：王俊燕 张辉庆 赵燕敏 审题学校：鄂州高中
考试时间：2024年11月12日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 0B. 2024C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据除法运算求得，进而可得和.
【详解】因为，则，
所以.
故选：D.
2. 已知直线：，直线：，若，则（ ）
A. 2或B. C. 4或D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行列式求得，并代入检验即可.
【详解】若，则，解得，
当时，直线：，直线：，
两直线重合，不合题意；
当时，直线：，直线：，
两直线平行，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
3. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程.
【详解】圆的圆心，直线的斜率，
因此圆在点P处的切线方程为，即.
故选：D
4. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【详解】圆：圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
由，得圆内含于圆内，设动圆半径为,
依题意，，，则，
因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，，
所以M方程为.
故选：B
5. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、1200人、800人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm，估计该校学生的平均身高是（ ）
A. 166.4cmB. 167.2cmC. 167.8cmD. 170.0cm
【答案】C
【解析】
【分析】求出样本中高一、高二及高三年级的学生数，再利用分层抽样的平均数公式计算即得.
【详解】依题意，容量为30人的样本中，高一年级的学生数为，
高二年级的学生数为，
高三年级的学生数为，
所以该校学生的平均身高大约为.
故选：C
6. 已知向量，，若，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示列式计算即得.
【详解】由向量，，得，
由，得，
所以.
故选：A
7. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内，
，所以点到平面的距离是.
故选：C
8. 如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出，进而求出椭圆的离心率.
【详解】令与圆相切的切点分别为，
由椭圆定义得，即，
由，得，即，
由对称性得，即，解得，
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线在y轴的截距是2
B. 直线的倾斜角为
C. 直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为
D. 点在直线l：上，直线l的方程可化为．
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用直线的一般式方程的有关概念。逐项分析判断即得.
【详解】对于A，直线在y轴的截距是，A错误；
对于B，直线的斜率为，其倾斜角为，B正确；
对于C，设直线的方程为，
则变换后的直线方程为，依题意，，解得，
直线的斜率为，C正确；
对于D，由点在直线l：上，得，
因此该直线方程为，D正确.
故选：BCD
10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解.
【详解】由，，得，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由，，得，解得，C正确；
对于D，由且，得，无解，D错误.
故选：AC
11. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线Ω：，进行绘制，点在曲线Ω上，点，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线Ω围成的图形面积为
B. 的最小值是
C. 直线PQ的斜率的最大值为1
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B：将问题转化为求到直线的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C：根据直线和圆的位置关系，数形结合，求解问题；对D：根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可.
【详解】对曲线方程：，
当时，可化为，即，
故曲线Ω在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧；
根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下：
对A：记点，显然均在曲线Ω上，如下所示：
因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△面积之和；
故曲线Ω围成的图形面积，故A正确；
对B：设点到直线距离为，则 ，
根据对称性可知，曲线Ω在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆上；
数形结合可知，点到直线的距离最小值为，
故的最小值为，故B错误；
对C：根据题意，作图如下：
数形结合可知，当且仅当为过且与曲线Ω在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值；
根据对称性，曲线Ω在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧，
其方程为，设过点，且斜率存在的直线为，
故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，
故斜率的最大值为，故C正确；
对D：记曲线Ω在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，显然，如下所示：
根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：
当点在第一，第四象限时，可以取到最小值；当点在第二，第三象限时，可取到最大值；
为方便，只讨论第一，第二象限的情况；
当点在第一象限时，的最小值为；
当点在第二象限时，的最大值为；
故的取值范围为：，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是能够合理转化曲线方程，将其和圆建立关系；二是，借鉴处理圆中问题的方法，进而处理本题中遇到的问题，属综合困难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 椭圆的长轴长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆长轴长的定义可求.
【详解】根据椭圆方程可知，
所以长轴长为，
故答案为：
13. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】分第一局甲胜，第二局乙胜和第一局乙胜，第二局甲胜两种情况，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；
第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为；
所以甲、乙各胜一局的概率为.
故答案为：.
14. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点A作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
所以，

过点A作，垂足为，
因为直线的方程为，，则，
又直线与直线平行，，则，
可得，
则四边形为平行四边形，所以，
可得，
且，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，即点的坐标为，
可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，．
（1）求；
（2）求顶点A坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而可得面积之比；
（2）求关于直线对称的点为，再求直线的交点即可.
【小问1详解】
由题意可知：直线，
对于直线，令，可得，即，
可得，
所以.
【小问2详解】
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，
可知直线，即，
联立方程，解得，
所以顶点A坐标为.
16. 图1是边长为正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．

（1）证明：平面平面ABC；
（2）点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直；
（2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由于正方形ABCD的边长为，所以，
取AC的中点O，连接PO，BO，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
【小问2详解】
由（1）可知，，且，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．
所以，，，
由题意知，则．可得．
设平面MBC的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值.
17. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
【小问1详解】
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，
可得，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故A，互相独立，则A与，与，与均相互独立.
所以，
所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
【小问2详解】
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以，解得，
所以n的值16.
18. 已知圆E：，直线l：．
（1）讨论l与圆E的位置关系；
（2）若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值．
【答案】（1）答案见解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系.
（2）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值.
【小问1详解】
圆：的圆心，且，即或m>0，
圆的半径，设圆心到的距离为，则，
若，则，解得，
则当或时，直线与圆相离；
若，则当或，直线与圆相切；
若，则当或，直线与圆相交.
【小问2详解】
由（1）知，解得或，则，
圆，圆心，半径，
依题意，圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为，
由切点在劣弧上，知，，
又点在线段上，则，
当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且.
所以圆的半径的最大值为.
19. 如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．

（1）证明：；
（2）若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直；
（2）设，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合面面夹角可得，根据体积公式，结合棱柱与棱锥体积关系求体积即可.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
所以．
又因为，平面,
所以平面,平面．
所以．
由于,所以四边形为平行四边形，所以．
又，所以，
所以．
【小问2详解】
因为，所以，
又，平面，所以平面．
取中点，连接，设．
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，．
则，
则平面的一个法向量n=x,y,z．则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
则，解得，
设多面体的体积为，
则
，
所以多面体ABCDPQ的体积.