2023年浙江省宁波市初中学业水平模拟考试数学试题+答案

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一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中，属于负数的是（ ）
A. 8B. 5.6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正负数的定义即可解答．
【详解】解：是负数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正负数的定义，掌握大于0的数是正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数是解答本题的关键．
2. 去括号后应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据去括号法则进行去括号即可求解．
【详解】解：
，
故选：D
【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律．
3. 第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩．数据125000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
5. 为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】先比较平均数得到丙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到丙同学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
【详解】解：∵丙、丁同学的平均数比甲、乙同学的平均数大，
∴应从丙和丁同学中选，
∵丙同学的方差比丁同学的小，
∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学；
故选：C
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6. 分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，得出，解得的取值范围．
【详解】解：分式有意义，
，
．
故选：C
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解本题的关键在熟练掌握分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
7. 如图，是的中位线，平分交于点D，若，，则边的长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的中位线定理得到，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系是解题的关键．
9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于x的不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
10. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A. 4S1B. 6S2C. 4S2+3S3D. 3S1+4S3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，用m、k表示出EH、FM、FK，由FK+MK=FM求出k2值，由面积比等于相似比得出S2+S3=S1，进而由矩形面积等于2（S1+S2+S3）求解即可．
【详解】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，并且A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk=，
∴k4+ k2－1=0，
解得：或（舍去），
∴S2= k2S1=S1，S3= k2S2= k4S1=，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元二次方程，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 的绝对值是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：的绝对值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是正确解答的关键．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出一元二次方程的两个实数根，再因式分解即可．
【详解】解：时，解得或，

，
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键．
13. 国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．
【答案】300
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答即可．
【详解】解：设红球的个数为，
根据题意，可得，
解得，
所以，可以估计纸箱内红球的个数约是300个．
故答案为：300．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14. 如图是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据切线长定理得到，，然后求出AP即可．
【详解】解：∵是圆O的切线，
∴，，
∵，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理:从圆外一点引的这两条切线长相等．
15. 如图，菱形的一边在轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线和相交于点D且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出 ，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
又∵D在反比例函数上，
∴，
∵，
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
16. 如图，在矩形纸片中，，，按以下步骤操作：
第一步，在边上取一点，且满足，现折叠纸片，使点与点重合，点的对应点为点，则得到的第一条折痕的长为______．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与垂直，点的对应点为，则点和点之间的最小距离为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】(1)过点E，M作于点G，H，得矩形，矩形，矩形，设，根据，可得，根据勾股定理列式求出，进而可以解决问题；
(2)如图1中，过点作，连接，过点作于点，交的延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形．由题意，点在直线上运动，推出当与重合时，的最小，求出即可解决问题．
【详解】解：（1）过点，作，于点，，
得矩形，矩形，矩形，
，，
由翻折可知：，，
设，
，
，
在△中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图1中，过点作，连接，过点作于点，交的延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
，
，
，
，，
同法在中，可得，
，，
，，
，
点在直线上运动，
当与重合时，的最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点D'的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）13 （2）21
【解析】
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
18. 作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为______．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直．
②在图2中，画，使，且面积为6．
【答案】（1）
（2）①见解析，②见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；
（2）①根据正方形的性质得到和互相平分，，则四边形是菱形，再用勾股定理和菱形面积等于对角线乘积的一半，即可验证满足题意；②利用网格的特点构造一条边长为3，此边上的高为2，的平行四边形即可．
【小问1详解】
∵长方形的长为3，宽为2，
∴对角线的长为，
故答案为：；
【小问2详解】
①如图，四边形即为所求的菱形，
由网格知，和互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴菱形的面积是，
故菱形满足题意；
②如图2，满足题意，
由图可知， ，，
∴四边形是平行四边形，
则的面积，
∵，
∴满足题意．
【点睛】此题考查了菱形的判定和面积公式、平行四边形的判定和面积、勾股定理、正方形的性质等知识，充分利用网格的特点作图是解答此题的关键．
19. 已知抛物线经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法将（1）中的解析式化为顶点式的形式，并写出顶点坐标
【答案】（1）
（2）顶点式为，顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）把点，代入解析式进行求解即可；
（2）根据二次函数一般式化为顶点式的方法可进行求解．
【小问1详解】
解：由抛物线经过点，可得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知：
，
∴顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及顶点式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
20. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数x人数
（1）在统计表中，____________，____________，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是____________；
（3）若该校共有名学生，如果听写正确的个数不少于个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
【答案】（1），，补全直方图如图所示（见详解）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
解：根据组的数据可知，抽查的总人数是（人），
∴组中的，组中的，
补全直方图如图．
故，，补全直方图如图所示
【小问2详解】
解：“组”的人数是人，占本次抽查人数的，
∴扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：．
【小问3详解】
解：听写正确的个数不少于个，即大于或等于个的为优秀，此次抽查中大于或等于个的人数是人，与总人数的比是，
∴该校共有名学生中优秀人数约是（人）．
故听写“优秀”的学生人数约为人．
【点睛】本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
21. 我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆的简意图如图2，是垂直水平地面的支柱，米，．当点A位于最低点时，；当点A位于最高点时，．过点O作直线垂直于，分别过点B，作，，垂足分别为C，D．
（1）求和的度数；
（2）求点B从最高点到最低点之间的垂直距离（即求的长）．（参考数据：，，）
【答案】（1），
（2）4.86米
【解析】
【分析】（1）利用角的和差定义、对顶角相等性质计算即可．
（2）解直角三角形，分别求出、即可．
【小问1详解】
解： ，，
，
，
．
【小问2详解】
米，，
（米），
在中，
中，（米），
在中，
（米），
点B从最高点到最低点之间的垂直距离为4.86米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题．
22. 小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
【答案】（1）18千米/小时，
（2）； （3）4.5千米
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
（3）将代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
【小问1详解】
解：由图可得，
小王的骑车速度是：(千米/小时)，
点C的横坐标为：；
小问2详解】
设线段对应的函数表达式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为；
【小问3详解】
当时，，
∴此时小李距离乙地的距离为：（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有千米．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23. （1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．
①求证：；
② ；
（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）3；（3）2．
【解析】
【分析】（1）①求出，，即可证明；
②求出，由得；
（2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；
（3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、的长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴；
②解：∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点O，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接交于O点，
∵在菱形中，，，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵为菱形对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性．
24. 如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，过点C作的垂线，分别与，，相交于点F、G、H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，由，推出，由，，推出，，推出；
（2）只要证明，即可推出；
（3）由，推出，由，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，，作于N，在中，由，推出，设，，由，推出，推出，推出，，由，推出，过G作于Q，在中，，设，，，可得，得，再根据即可解决问题．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
在中，∵C为的中点，
∴
∴，
∵由，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：作于M，于K，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，作于N，
在中，∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过G作于Q，
在中，，设，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．甲
乙
丙
丁
平均数
97
96
98
98
方差
1.6
0.3
0.3
1.8