福建省三明市部分学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷+答案

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1. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零指数幂即可得．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的性质是解题关键．
2. 国产手机芯片麒麟是全球首个纳米制程芯片，已知纳米米，将纳米用科学记数法表示为米（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：纳米米米．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，熟记科学记数法的定义是解题的关键．
3. 如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短D. 两点之间直线最短
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线的定义即可求解.
【详解】由图可知，依据是垂线段最短，
故选：B.
【点睛】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段最短.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】选项A不是同类项，不能合并，不符合题意；选项B是同底数幂相除，底数不变，指数应相减，不符合题意；选项C是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，符合题意；选项D是幂的乘方，底数不变，指数应相乘，不符合题意．
【详解】解：A. 不是同类项不能合并，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、不存在相同的项，故本选项错误；
B、不存在相同的项，故本选项错误；
C、存在相同的项和相反的项，正确；
D、不存在相同的项，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式结构特征是解题的关键．
6. 小明看到了一首诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，读完后，他想用图象描述这首诗的内容，如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，横轴表示父亲离家的时间，那么下列图象中大致符合这首诗含义的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得：父亲先到车站到，那么距离家的距离将不再变化，说明父亲行走的函数图象肯定先与x轴平行．
【详解】解：根据父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家，儿子离家的路程也分为3段．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象问题，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．
7. 梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”APP，则下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B. 周积分随学习天数的增加而增加
C. 周积分与学习天数的关系式为
D. 天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格所给的数据，结合因变量与自变量的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法正确，不符合题意；
B、由表格中的数据可知周积分随学习天数的增加而增加，说法正确，不符合题意；
C、周积分与学习天数的关系式不满足（如当n=3时，w≠165），说法错误，符合题意；
D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同（增长分别为55，50，40，54，46，50），说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，用关系式表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键．
8. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【详解】解：，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9. 如图，下列给定的条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．
【详解】解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；
B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；
C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；
D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
10. 如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，分别画出图形，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB//CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如图，过E2作AB平行线，
则由AB//CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如图，由AB//CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如图，由AB//CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
（5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等）．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 计算的结果是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂即可得出答案．
【详解】解：3-1=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．
12. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，______．
【答案】56°##56度
【解析】
【分析】根据，可计算出的度数，根据余角的定义，计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查余角以及角的和差关系，熟练掌握余角的计算方法是解决本题的关键．
13. 计算：______．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得出结果．
【详解】解：


，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．
14. 已知（x﹣2）（x＋n）展开后不含x项，则n＝___．
【答案】2
【解析】
【分析】先展开整理原式，再根据题意建立关于n的等式，求解即可得出结论．
【详解】解：原式=x2+nx-2x-2n
=x2+（n-2）x-2n
由题意 n-2=0，
解得n=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要多项式的乘法运算，准确找到题中所要求的项，并令其系数为0是解题关键．
15 若，，则_____．
【答案】19
【解析】
【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．
【详解】解：∵a+b=5，
∴a2+2ab+b2=25，
∵ab=3，
∴a2+b2=19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式．
16. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是______．
【答案】57°##57度
【解析】
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，再根据同旁内角互补可得，进而得出．
【详解】解：如图，延长到点，
纸带对边互相平行，
，
由折叠得，，
∵，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共82分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】

．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-2
【解析】
【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
19. 如图，ABCD，CD交BF于E．
（1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG=∠B．（要求：不写作法，但保留作图痕迹）
（2）证明：DGBF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据平行线的判定方法，证明∠CEF=∠CDG即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）∵
∴∠B=∠CEF
∵∠B=∠D
∴∠CEF=∠D
∴//
【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识型．
20. 完成下面的证明.
已知：如图，与互补，，
求证：
证明：与互补
即，（已知）
// （ ）
.（ ）
又，（已知）
，即.（等式的性质）
// （内错角相等，两直线平行）
.（ ）
【答案】见解析
【解析】
【详解】分析：已知∠BAC与∠GCA互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥DC，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
详解：∵∠BAC与∠GCA互补，
即∠BAC+∠GCA=180°，（已知）
∴AB∥DC（同旁内角互补两直线平行），
∴∠BAC=∠ACD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1=∠2（已知）
∴∠BAC﹣∠1=∠ACD﹣∠2，即∠EAC=∠FCA，
∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（由两直线平行，内错角相等）．
点睛：本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．
21. 受疫情影响，各类学校纷纷延迟开学时间，教育部提倡“停课不停教，停课不停学”的在线教学方式．寒假期间，线上教育的用户使用量猛增，现“钉钉”平台整理出“线上教学”项目投入资金及预计利润如表：
（1）反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）预计获得千万元的利润，投入资金应为______亿元．
（3）如果公司可以拿出亿元进行“线上教学”项目的投资，预计利润是多少？说说理由．
【答案】（1）反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量
（2）5 （3）2.1千万元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数定义即可求解；
（2）根据表格数据即可求解；
（3）从表格数据看，与之间的关系为，进而求解．
【小问1详解】
解：反映了投入资金和预计利润之间的关系，投入资金是自变量，预计利润是因变量；
【小问2详解】
解：从表格数据看，如果预计获得千万元的利润，投入资金应为亿元，
故答案为；
【小问3详解】
解：从表格数据看，与之间的关系为，
当时，，
故预计利润是千万元．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是列出函数关系式．
22. 如图，已知∠1=70°，∠2=50°，∠D=70°，AE∥BC，求∠C的度数．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质求出∠AED=∠2=50°，根据平行线的性质求出∠C=∠AED=50°即可．
【详解】解：∵∠1=∠D=70°，
∴AB∥CD，
∵∠2=50°，
∴∠AED=∠2=50°，
∵AE∥BC，
∴∠C=∠AED=50°．
23. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
任务：
（1）【理解】根据上述规定填空：_____；________；
（2）【说理】记，，．试说明：；
（3）【应用】若，求t的值．
【答案】（1）3，-2
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算的法则可直接得到答案；
（2）由新定义可得，，，再证明，再结合同底数幂的乘法运算可得结论；
（3）设，，，结合新定义可得，，，可得，再证明，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵
∴；；
故答案为：
【小问2详解】
∵，，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查的是对新定义运算的理解，负整数指数幂的含义，同底数幂的乘法运算及其逆运算，理解同底数幂的乘法的逆运算是解本题的关键．
24. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
【答案】（1）， ；（2）77；（3）17
【解析】
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
25. 如图1，在长方形ABCD中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒、，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒、(P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是的面积和运动时间(秒)的图象．
(1)求出a值；
(2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，和运动时间(秒)的关系式；
(3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P，Q两点相距3cm？
【答案】（1）6；（2）；；（3）10或
【解析】
【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒；
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
【详解】（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上．
，
∴AP=6，
则a=6；
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1=6+2（x﹣6）=2x﹣6，
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，
故点Q还剩的路程为y2=34﹣12﹣；
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
﹣（2x﹣6）=3，解得x=10，
当P、Q两点相遇后相距3cm时，
（2x﹣6）﹣（）=3，解得x=，
∴当x=10或时，P、Q两点相距3cm
【点睛】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．学习天数（天）
1
2
3
4
5
6
7
周积分/（分）
55
110
160
200
254
300
350
投入资金（亿元）
预计利润（千万元）