广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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（满分150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，若，则a等于（ ）
A. 或3B. 0或C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
即，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去，
当时，，符合题意.
故选：C
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出正确结果.
【详解】命题“，”的否定为：“，”.
故选：D
3. 设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A
4. 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A. ①，②，③B. ①，②，③
C. ①，②，③D. ①，②，③
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
5. 已知函数，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．
【详解】令，则，
由，
可得，
则，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以f(x)的定义域为.又因为，即，所以函数g(x)的定义域为.
故选：C.
7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得且，不等式等价于，即可解决.
【详解】由题知，不等式解集是，
所以且，
因可变为，
所以，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：C.
8. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】由可得，
故,故，故A正确，
，故B错误，
=，C正确，
，D错误，
故选：AC
10. 下列各组函数是同一组函数是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BCD
【解析】
【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.
【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；
B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；
D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
故选：BCD.
11. 下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A. 且，
B. ，
C. 若，则
D. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用特例法，根据不等式的性质、基本不等式、常变量分离法，结合对钩函数的单调性进行逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然不成立，因此本命题是假命题；
B：因为方程的判别式，
且二次函数的开口向上，所以恒成立，因此本命题是真命题；
C：因为，所以当时，有，
因此本命题是真命题；
D：当时，，
设，当时，该函数单调递减，所以，
要想不等式恒成立，只需，因此本命题是真命题，
故选：BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，）
12. 已知，则 __________.
【答案】6
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式逐步求值.
【详解】由题得.
故答案为6
【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
13. 若函数的定义域为，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，可得不等式在上恒成立，根据参数的取值分类讨论即得.
【详解】依题意，在上恒成立，
当时，不等式显然不成立；
当时，要使不等式恒成立，需使a−2>0Δ=4(a−2)2+16(a−2)≤0，解得.
综上，的取值范围为.
故答案为：
14. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；
（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．
【小问1详解】
当时，，
∴；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以取值范围为：．
16. 已知幂函数在上是减函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
【小问2详解】
由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
17. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.
（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？
【答案】（1）第3年 （2）第7年平均利润最大，为12万元
【解析】
【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.
（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
【小问2详解】
首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上，第7年，平均利润最大，为12万元.
18. 已知函数.
（1）当时，求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.
【小问1详解】
当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
【小问2详解】
由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问3详解】
由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当 ，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
19. 已知函数是定义在上奇函数，且．
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）函数在上是增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.
（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.
（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，
所以得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，
【小问2详解】
由（1）可知，设
所以
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
【小问3详解】
由函数是定义在上的奇函数且，
则，
所以，解得，
所以的取值范围是.