广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知向量，直线截圆所得的弦长为，已知等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章至第二章.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为
A.B.C.D.
2.
A.B.C.D.
3.已知集合，则
A.B.C.D.
4.已知直线与.若，则
A.-1B.1C.D.2
5.已知向量.若共面，则
A.11B.-1C.9D.3
6.直线截圆所得的弦长为
A.B.1C.4D.2
7.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面和是全等的正三角形，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为
A.B.C.D.
8.已知.若直线上存在点，使得，则的取值范围为
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线过定点，则下列结论正确的是
A.的坐标为B.当时，在轴上的截距为
C.若与直线垂直，则D.点在圆的外部
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，0），，则
A.B.
C.在[6，8]上单调递增D.在[0，40]上恰有10个零点
11.若平面平面平面，则称点为点在平面内的正投影，记为.如图，在直四棱柱中，分别为，的中点，.记平面为，平面ABCD为.
A.若，则B.存在点，使得平面
C.线段长度的最小值是D.存在点，使得
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆，则圆的半径为_____________.
13.某校高三年级男生共600人，女生共400人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，则被抽取的女生人数为_____________.若从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1个男队长的概率为_____________.
14.已知球是棱长为6的正四面体ABCD的内切球，MN是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为_____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的内角的对边分别为且.
（1）求的大小;
（2）求的面积.
16.（15分）已知在中，.
（1）求直线AB的方程;
（2）求的外接圆的标准方程;
（3）过点B作的外接圆的切线，求该切线方程.
17.（15分）如图，在六面体ABCDFE中，四边形ABCD是正方形，都垂直于平面ABCD，且分别是EG，BC的中点.
（1）证明：FM//平面ABCD.
（2）若AB=2，求点到平面AMF的距离.
18.（17分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面ABCD.
（1）证明：BD⊥平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）棱BC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为?若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由.
19.（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为.
（1）求的方程;
（2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF分别与的另一个交点为M，N，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.
高二数学参考答案
1.C 因为直线的斜率为1，所以倾斜角为.
2.D .
3.C 因为，所以.
4.B 因为，所以，解得.
5.A 因为共面，所以存在，使得，则，解得
6.D 根据题意可得圆心，圆的半径为3，点到直线的距离，故所求弦长为.
7.A 依题意得，所以，.设异面直线AE与BD所成的角为，所以.
8.B 设，则.因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得.
9.ABD 即，由解得A正确.当时，在轴上的截距为，B正确.由，解得，C错误.因为，所以点在圆的外部，D正确.
10.ABD 根据题意可得.因为，所以最小正周期为，由，解得，A正确.将代入，得，则，解得，因为，所以，则，B正确.令
，得，当时，，C错误.由，得，所以在[0，40]上恰有10个零点，D正确.
11.ABC 以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，BN.
，则，所以Q，B，N，P四点共面.若，则，解得，A正确.过点作，交于点，过点作AB的垂线，垂足即，过点作的垂线，垂足即，连接.由题意可得，则，，则，.易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点，使得平面，B正确.，当时，取得最小值，最小值为，C正确.若，则，得，无解，所以不存在点，使得，D错误.
12.4 根据题意可得圆的半径为.
13.2； 根据题意易得被抽取的这5人中女生的人数为，则男生的人数为3.设被抽取的这5人中男生分别为A，B，C，女生分别为a，b，则从被抽取的这5人中抽取2人的所有情况有，，共10种情况，其中恰有1个男队长的情况有6种，故所求概率为.
14.12 设的重心为，连接AE，DE（图略），则，则正四面体ABCD的体积为.设球的半径为，则，解得.当点与正四面体ABCD的顶点重合时，取得最大值，所以.
15.解：（1）由及正弦定理可得，因为，所以，…………3分
所以.…………………………………………………………6分
因为，所以.…………………………………………………………………………7分
（2）由题意可得的面积为.…………………………13分
16.解：（1）由已知可得，……………………………………………………………2分
所以直线AB的方程为，即.………………………………………4分
（2）设的外接圆的标准方程为，
则…………………………………………………………………………6分
解得……………………………………………………………………………………………9分
故的外接圆的标准方程为.…………………………………………10分
（3）由（2）得外接圆的圆心为.……………………………………………………11分
因为，所以切线的斜率为，…………………………………………………13分
故所求切线方程为，即.………………………………………15分
17.（1）证明：因为AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，所以//DF.…………………1分
取AB的中点，连接MH，DH，则，…………………………………………………2分
且，………………………………………………………………………………3分
所以且，所以四边形DFMH为平行四边形，………………………………4分
所以.…………………………………………………………………………………………5分
又因为平面平面ABCD，所以平面ABCD.…………………………6分
（2）解：连接AN.以为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则………………………………………………9分
所以.…………………………………………………10分
设平面AMF的法向量为，
则，………………………………………………………11分
取，得.…………………………………………………………………13分
故点到平面AMF的距离.……………………………………15分
18.（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以.…………………………………………1分
又因为平面平面ABCD，所以.………………………………………2分
因为，且平面，所以平面.………………………4分
（2）解:以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，……………………………………5分
所以.……………………………………………………6分
设平面的法向量为，
则取.………………………………………………………………8分
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………10分
（3）解：若存在点满足题意，则可设点，其中，
则.……………………………………………………………………………11分
设平面的法向量为，则取.……………13分
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或-2（舍去），…………………………15分
故棱BC上存在一点，当时，二面角的余弦值为.…………………………17分
19.（1）解:设，根据，得，……………………………2分
即，所以的方程为.…………………………………………………4分
（2）证明：根据圆的对称性，不妨设.…………………………………………………5分
设，则，……………………………………………………………………6分
所以直线HE的方程为，直线HF的方程为.…………………………………7分
设.
联立方程得，……………………………8分
所以，即，则，所以.…………………9分
联立方程得，………………………………10分
所以，即，则，所以.……………………11分
当时，，……………………………………………………12分
所以直线MN的方程为，化简得，………14分
所以直线MN过定点;………………………………………………………………………………15分
当时，，此时直线MN过定点.……………………………………………16分
综上，直线MN过定点.……………………………………………………………………………17分