广东省广州市番禺区广雅集团、祈福新村学校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市番禺区广雅集团、祈福新村学校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
3．（3分）将二次函数y＝5x2的图象向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5x2+2B．y＝5x2﹣2C．y＝5（x+2）2D．y＝5（x﹣2）2
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若AB＝12，点O到AB的距离是8，则⊙O的半径是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函数y＝﹣2x2+4的图象上，则（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2
7．（3分）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845D．720（1+x2）＝845
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（2，）B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．（3分）已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n的值为 ．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
16．（3分）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC绕原点逆时针旋转90°可得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
19．（6分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
21．（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表：
（1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度．
23．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）已知AD＝8，点P为⊙O上一个动点，若点P到弦AD的距离最大值为8．
①尺规作图：作出点P到弦AD的距离最大时的位置，保留作图痕迹；
②求DE的长．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣x2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 ；
（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
2024-2025学年广东省广州市番禺区广雅集团、祈福新村学校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．（3分）已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【答案】C
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝6＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
3．（3分）将二次函数y＝5x2的图象向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5x2+2B．y＝5x2﹣2C．y＝5（x+2）2D．y＝5（x﹣2）2
【答案】B
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为：y＝5x2﹣2．
故选：B．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
【答案】C
【分析】根据方程根的定义，把问题转化为关于a的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，
∴a﹣2＝0，
∴a＝2，
故选：C．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若AB＝12，点O到AB的距离是8，则⊙O的半径是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】连接OA，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝6，再由勾股定理求出OA＝10即可．
【解答】解：连接OA，
由题意得：OC⊥AB，OC＝8，
∴∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝6，
∴OA＝＝＝10，
即⊙O的半径是10，
故选：D．
6．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函数y＝﹣2x2+4的图象上，则（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函数y＝﹣2x2+4的图象上，
∴点C（﹣3，y3）关于对称轴的对称点是（3，y3），
∵1＜2＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
7．（3分）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845D．720（1+x2）＝845
【答案】A
【分析】利用青山村种的水稻2025年平均每公顷的产量＝青山村种的水稻2023年平均每公顷的产量×（1+水稻每公顷产量的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：720（1+x）2＝845．
故选：A．
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得AC＝CD，∠CED＝∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD＝45°，由外角的性质可求解．
【解答】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，∠CED＝∠B＝55°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠CAD＝55°﹣45°＝10°，
故选：B．
9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（2，）B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥x轴于点E，延长OB到C'点，使OC'＝OA，过点C'作C'F⊥x轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C'点的坐标，据此即可求解．
【解答】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°＝4，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作AE⊥x轴于点E，延长OB到C'点，使OC'＝OA，过点C'作C'F⊥x轴于点F，
∴∠AEO＝∠OFC'＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝OC'，AC⊥BD，
∴∠C'OF+∠AOE＝90°，
∴∠OAE＝∠C'OF，
∴△OAE≌△C'OF（AAS），
∴AE＝OF，OE＝C'F，
∵，
∴，AE＝2，
∴OF＝2，，
∴，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 （1，8） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
12．（3分）已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n的值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）进行解答即可．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3+（﹣2）＝1．
故答案为：1．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 2021 ．
【答案】2021．
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴﹣3a2+6a＝﹣3，
∴﹣3a2+6a+2024＝2021．
故答案为：2021．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 140° ．
【答案】140°．
【分析】根据邻补角的定义求出∠BCD，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案为：140°．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 42 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，BD＝BC＝12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝CD＝12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB＝13，所以△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD，即可解答．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案为：42．
16．（3分）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．
【解答】解：从图②看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为，
当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为，
∴点P的运动速度是 ，
当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
此时点P走过的弧长为：，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
开方得：，
∴，．
18．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC绕原点逆时针旋转90°可得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
【答案】见解析，A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求．A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
19．（6分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2﹣4ac＝0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．
【解答】解：∵ax2+bx+1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即b2﹣4a＝0，
b2＝4a，
∵＝＝＝
∵a≠0，
∴＝＝＝4．
21．（8分）如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长．
【答案】AB的长为8米．
【分析】设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为（26﹣2x）米，根据围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为（26﹣2x）米，
根据题意得：x（26﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
∵26﹣2x≤12，
∴x≥7，
∴x＝8，
答：AB的长为8米．
22．（10分）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如表：
（1）以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度．
【答案】（1）作图见解析；（2）y＝x2+x；（3）估计该车的速度约为100km/h．
【分析】（1）根据坐标画图即可；
（2）根据待定系数法求出解析式；
（3）由（2）解析式，再把y＝40代入可得车速．
【解答】解：（1）如图，
（2）由题意，设y与x的关系式为y＝ax2+bx，
把（30，7.8）和（60，19.2）代入得，
∴，
∴y与x的关系式为y＝x2+x．
（3）由题意，由（2）y＝x2+x．
令y＝40，则40＝x2+x．
解得x＝100或﹣200（负值舍去），
∴该型汽车某次测试的刹车距离为40m，估计该车的速度约为100km/h．
23．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）已知AD＝8，点P为⊙O上一个动点，若点P到弦AD的距离最大值为8．
①尺规作图：作出点P到弦AD的距离最大时的位置，保留作图痕迹；
②求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①作图见解析；②4.8．
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质得到DE⊥BC，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①作出弦AD的垂直平分线，利用垂径定理可得结论；
②连接DB，由作图可知：PF为AD的垂直平分线，设圆的半径为r，则OA＝OP＝r，利用勾股定理列出方程，解方程求得r值，利用勾股定理求得DB，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）①作弦AD的垂直平分线，交于点P，则点P为所求．如图，
②连接DB，
由作图可知：PF为AD的垂直平分线，
∴PF⊥AD，PF经过圆心，AF＝FD＝AD＝4，PF＝8，
设圆的半径为r，则OA＝OP＝r，
∴OF＝8﹣r，
∵OF2+AF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5．
∴AB＝10，
∴BD＝＝6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∵BA＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝4.8．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），点
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣x2+mx+m+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝（t+）2+，即可运用二次函数求最值的方法求得答案；
（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，顶点坐标为（n，﹣n﹣），当图象M经过点C（0，﹣）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x，
如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（t）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝•PH•（xP﹣xA）+•PH•（xC﹣xP）
＝•PH•（xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），
∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），
∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），
∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
当图象M经过点C（0，﹣）时，
则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
当图象M的端点B在PC上时，
∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直线y＝﹣x﹣，
∴联立可得：，
解得：，
将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 135° ；
（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
【答案】（1）135°；
（2）BD＝CD+DA；
（3）△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD＝．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；
（2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交圆O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON＝，则DN＝OD﹣ON＝，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出AD，即可求出BD．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，
∴∠COA＝90°，CO＝AB＝OA，
∵△AOD是等边三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案为：135°；
（2）线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD＝CD+DA，理由如下：
过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：
则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD＝CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）连接OC，如图3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC＝OA＝AB＝（AE+BE）＝×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，
∵CE是定值，
∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，
∵AB是⊙O的直径，
过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，
∵S△OCE＝OC•OE＝CE•ON，
∴ON＝＝＝，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4﹣＝，
此时，在Rt△CNO中，CN＝＝＝，
在Rt△CND中，CD＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（2）知，BD＝CD+AD＝×+AD＝+AD，
∴82﹣AD2＝（+AD）2，
∴AD＝（舍去不符合题意），
∴BD＝+AD＝+＝，
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD＝．
车速x（km/h）
0
30
60
90
120
150
刹车距离y（m）
0
7.8
19.2
34.2
52.8
75
车速x（km/h）
0
30
60
90
120
150
刹车距离y（m）
0
7.8
19.2
34.2
52.8
75