2023年中考数学高频专题练习--圆的综合计算

这是一份2023年中考数学高频专题练习--圆的综合计算，共27页。

（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．
2．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
3．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC
（1）求证：AC是⊙O的切线
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长
4．如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直线AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO．
（1）求证：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．
5．如图， 是 的直径， 是 上一点，过点 作 ，交 的延长线于 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求证： .
6．如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求 的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
8．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC= ，AC=8，求⊙O的半径．
9．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA=6，求△PCD的周长；
（2）若∠P=50°，求∠DOC．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
11．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．
（1）求BD的长
（2）求图中阴影部分的面积
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：
（1）PA的长;
（2）∠COD的度数．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．
14．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
15．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
16．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
17．如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG∥AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M.
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）若tanG＝ ，AH＝3 ，求⊙O半径.
18．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．
19．已知：如图，在△ABC中， ，以 为直径的⊙O与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线.
（2）若⊙O的半径为4， ，求 的长．
20．如图，☉O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A.
（1）求证：BC为☉O的切线；
（2）求∠B的度数.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD= BC= ，
∴（r﹣1）2+（ ）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD= = ，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE= OB=2 ，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2× ×2×2 ﹣
=4 ﹣ π
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（ ）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE= OB=2 ，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
2．【答案】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE= =8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，
∴OE=8﹣3=5，
在Rt△OBC中，OC= =3 ，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴ = ，即 = ，
∴EF=2 ．
【解析】【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3 ，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．
3．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF==．
​
【解析】【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
4．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵CB⊥AE，
∴AD⊥AE，
∴∠DAO=90°，
∵DP与⊙O相切于点C，
∴DC⊥OC，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
，
∴Rt△DAO≌Rt△DCO，
∴DA=DC
（2）解：∵CB⊥AE，AE是直径，
∴CF=FB= BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴CF= AD，
∵CF∥DA，
∴△PCF∽△PDA，
∴ = = ，
∴PC= PD，DC= PD，
∵DA=DC，
∴DA= PD，
在Rt△DAP中，∠P=30°，
∵DP∥AB，
∴∠FAB=∠P=30°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠AEB=60°．
【解析】【分析】（1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌Rt△DCO即可；（2）想办法证明∠P=30°即可解决问题；
5．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 与 相切
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据题意，可求证得出 ，利用圆的切线的性质，可得出结论。
（2）根据 ， ，可利用角度的关系，得出AC=CD。
6．【答案】（1）解：连接OG．
∵∠AOG=2∠ACF=60°，OA=4，
∴ 的长= = π
（2）解：结论：BF是⊙O的切线．理由：连接OB．∵AC是直径，∴∠CBA=90°，∵BC=BA，OC=OA，∴OB⊥AC，∵FH⊥AC，∴OB∥FH，在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，∴FH= CF，∵CA=CF，∴FH= AC=OC=OA=OB，∴四边形BOHF是平行四边形，∵∠FHO=90°，∴四边形BOHF是矩形，∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）由弧长公式知求弧AG的长缺圆心角，因此需连结OG，构造圆心角，由圆周角定理可求出∠AOG=2∠ACF=60°，代入弧长公式即可；（2）须连结OB，构造半径，证垂直，可先证四边形BOHF是平行四边形，再加上垂直可得四边形BOHF是矩形，即OB⊥BF，BF是⊙O的切线．
7．【答案】（1）解：DE与⊙O相切，连结AD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵E是AC的中点，
∴DE=AE，
在△AEO和△DEO中，
∵ ，
∴△AEO≌△DEO（SSS），
∴∠EDO=∠EAO=90°，
即OD⊥DE，
∴DE为⊙O切线.
（2）解：连结OE，
∵O、E分别是中点，AC＝4.8，
∴OE∥BC，AE=2.4
又∵∠B＝50°，
∴∠AOE=∠B=50°，
由（1）知∠AOE=∠DOE，
∴∠AOD=2∠AOE=2∠B=100°，
∴S扇形AOD= ×π×22= π，
∴S四AODE=2S△AOE=2× ×2.4×2=4.8，
∴S阴=S四AODE - S扇形AOD= .
【解析】【分析】（1）连结AD、OD，根据圆周角定理和直角三角形的性质可得DE=AE，再根据“SSS”证明△AEO≌△DEO，从而得到∠ODE＝∠OAE＝90°，即可判断出直线DE与⊙O相切.
（2）连结OE，根据中点知AE=2.4，中位线定理得∠AOE=∠B=50°，由（1）知∠AOE=∠DOE，即∠AOD=100°，再根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得出阴影部分面积.
8．【答案】（1）解：如图：连接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A
∴∠C=∠A
∴BC=AB，
∵BC是直径
∴∠CEB=90°，
∴CE=AE，又CO=OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）解：∵AC=8，
∴CE=AE=4
∵tan∠C=
∴BE=2
∴BC=
∴CO=
即⊙O半径为
【解析】【分析】（1）如图：连接OE，BE，根据三角形外角的定理得出∠ABG=∠C+∠A，又∠ABG=2∠C，故∠C=∠A，根据等角对等边得出BC=AB，根据直径所对的圆周角是直角得出∠CEB=90°，根据等腰三角形的三线合一得出CE=AE，根据三角形的中位线定理得出OE∥AB，根据平行线的性质即可得出EG⊥OE，即EG是⊙O的切线；
（2）根据正切函数的定义，由tan∠C=，即可算出BC的长，从而得出答案。
9．【答案】（1）解：连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA=PB=6，
同理可得：AC=CE，BD=DE，
△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.
（2）解：
∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
​
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC=∠COE，
同理：∠DOE=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB=65°．
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到PA=PB，AC=CE，BD=DE，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）证明Rt△AOC≌Rt△EOC，得到∠AOC=∠COE和∠DOE=∠BOD，计算即可．
10．【答案】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
则AB= x，OC=OB= x，
∵∠OCD=90°，
∴OD= = = x，
∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴ = ，
即 ，
解得CB=1，
∴AB= = ，
∴⊙O半径是
【解析】【分析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先设CD为x，则AB= x，OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得： = ，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．
11．【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．∴BD==5cm
（2）解：S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2
【解析】【解答】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．
12．【答案】（1）解：
∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，
即PA的长为6.
（2）解：
∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°，
∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；
同理：∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=​（∠ACD+∠CDB）=120°，
∴∠COD=180﹣120°=60°.
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
13．【答案】（1）解：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵AO=2，
∴OE=2，
∴EG=2 ，
∴阴影部分的面积= 2×2 ﹣ =2 ﹣ π．
【解析】【分析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.
14．【答案】（1）
证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴ ．
【解析】【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
15．【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，∴OD=OE，在△OCD和△OCE中，∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
【解析】【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
16．【答案】（1）证明：在⊙O中，∵∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；
（2）解：
连接AO并延长，交边BC于点H，
∵ ，OA为半径，
∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等． 本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．
17．【答案】（1）证明： 为 直径，
，
，
，
，
，
又
，
（2）解：连接 ，设 ，
，
，
在 中，
，
在 中，
，
.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理及平行线的性质易证 ， ，然后根据相似三角形的判定即可求出答案；
（2）连接 ，设 ，根据等角的同名三角函数值相等得出 ，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出 的值.
18．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，
∴∠A=∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD=90°，
∴BC是⊙O的切线
（2）证明：连接OD，∵BF=BC=2，且∠ADB=90°，∴∠CBD=∠FBD，∵OE∥BD，
∴∠FBD=∠OEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠CBD=∠OEB=∠OBE= ∠ADB= 90°=30°，
∴∠C=60°，
∴AB= BC=2 ，∴⊙O的半径为 ，
∴阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积=
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠ABD=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠DEB，又∠DEB=∠DBC，故∠A=∠DBC，∠DBC+∠ABD=90°，即BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，根据等腰三角形的三线合一得出∠CBD=∠FBD，根据二直线平行内错角相等得出∠FBD=∠OEB，根据等边对等角得出∠OEB=∠OBE，故∠CBD=∠OEB=∠OBE= ∠ADB= × 90°=30°，根据三角形的内角和得出∠C=60°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB的长，从而根据阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积即可算出答案。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OD
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠B=∠ODC，
∴OD//AB，
∴∠ODF=∠AEF=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵∠F=30°，OD=4，OD⊥EF，
∴OF=2OD=8，
∴AF=OF+OA=8+4=12，DF= = ，
∴AE= AF=6，EF= = ，
∴DE=EF-DF= - =
【解析】【分析】（1）如图，连接OD，由DE⊥AB可得∠AED=90°，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，∠ODC=∠ACB，根据等量代换可得∠B=∠ODC，可证明OD//AB，可得∠AEF=∠ODF=90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）根据含30°角的直角三角形的性质可求出OF的长，即可求出AF的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AE的长，利用勾股定理可求出DF、EF的长，进而可求出DE的长.
20．【答案】（1）证明：连结OA，OB，OC，如图所示.∵AB与☉O切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°.∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC.在△ABO和△CBO中，
∴△ABO≌△CBO(SSS).∴∠BCO=∠BAO=90°，即OC⊥BC.∴BC为☉O的切线.
（2）解：连结BD，如图所示.∵△ABO≌△CBO，∴∠AOB=∠COB.∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，∠CBD=∠CDB，
∴点O在BD上.
∴∠BOC=∠ODC+∠OCD，又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC.
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°.
【解析】【分析】（1）连结OA，OB，OC，如图所示.根据切线的性质得出OA⊥AB，即∠OAB=90°，根据菱形的性质得出BA=BC，然后利用SSS判断出△ABO≌△CBO，根据全等三角形对应角相等得出∠BCO=∠BAO=90°，即OC⊥BC，从而得出结论；
（2）连结BD，如图所示.根据全等三角形对应角相等得出∠AOB=∠COB.根据菱形的对角线平分一组对角及四边相等得出BD平分∠ABC，∠CBD=∠CDB，根据三角形的外角定理得出∠BOC=∠ODC+∠OCD，根据等边对等角得出∠ODC=∠OCD，故∠BOC=2∠ODC，∠BOC=2∠OBC.根据三角形的内角和得出∠BOC+∠OBC=90°，故∠OBC=30°，从而得出∠ABC=2∠OBC=60°.