初中数学北师大版（2024）八年级下册1 等腰三角形巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册1 等腰三角形巩固练习，共22页。试卷主要包含了用反证法证明命题等内容，欢迎下载使用。
1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cmB．6cmC．3cm或6cmD．3cm或9cm
2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长（ ）
A．B．1C．2D．
5．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．4B．5C．6D．5.5
6．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE＝10，则DF等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（ ）
A．AC＞BCB．AC＜BCC．∠A＝∠BD．AC＝BC
8．如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个．
A．8B．7C．6D．5
9．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．100°
10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
二．填空题
11．等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为84°，则等腰三角形的顶角大小为 ．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为 ．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝3cm，DE＝4cm，则CD＝ cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是 ．
15．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AB＝6，CD＝1，则BC的长为 ．
16．如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝ 度；
（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）若∠E＝24°，求∠B；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，
（1）求∠ADC的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．
①求证：△ADE是等腰三角形；
②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
20．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DE＝2，，求BD的长．
22．如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，O点在AC的垂直平分线，
（1）求证：△BOC是等腰三角形；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BCO的度数．
23．动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．
（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？
（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．
24．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
2．解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
3．解：设∠C＝α，
∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B＝2α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2α+2α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴该三角形是等腰三角形．
故选：A．
4．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，
∴BE＝CE＝2，
∴∠B＝∠DCE＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．
在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，
∴AE＝CE＝1．
故选：B．
5．解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，
∴∠OPD＝30°，
∴DO＝＝6.5，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．
故选：D．
6．解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，
∴∠DEG＝15°×2＝30°，
∴ED＝AE＝10，
∴在Rt△DEG中，DG＝ED＝×10＝5，
∴DF＝DG＝5．
故选：A．
7．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，
先假设AC＝BC．
故选：D．
8．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：C．
9．解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，
故选：C．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
二．填空题
11．解：设∠ABC＝∠C＝2x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝x°，
则∠A＝180°﹣4x°，
①当∠ADB＝84°时，
在△ABD中，x+180﹣4x+84＝180，
解得：x＝28，
∴∠A＝180°﹣4×28°＝68°；
②当∠CDB＝84°时，
∵∠CDB＝∠A+∠ABD，
∴84＝180﹣4x+x，
解得：x＝32，
∴∠A＝180°﹣4×32°＝52°；
综上所述：∠A的度数为52°或68°，
故答案为：52°或68°．
12．解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，
△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；
③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
综上，∠BAD的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
13．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
同理∠ADE＝∠AED，
∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE＝3cm，
∴CD＝DE+CE＝4+3＝7（cm），
故答案为：7．
14．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
由作图可知AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
15．解：分两种情况：
当高AD在△ABC内时，如图：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∵CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝4；
当高AD在△ABC外时，如图：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∵CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2；
综上所述：BC的长为4或2，
故答案为：4或2．
16．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
故答案为：36；
（2）设∠C＝x．
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝27°+27°，
∴x＝18°．
②当AD＝DE时，
∵27°+27°+2x+x＝180°，
∴x＝42°．
所以∠C的度数是18°或42°．
故答案为：18°或42°．
三．解答题
17．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；
（2）在Rt△ADB中，，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
∴．
18．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°．
19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠DCB＝∠ACB＝36°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；
（2）①证明：∵AE∥BC
∴∠EAB＝∠B＝72°，
∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
即△ADE是等腰三角形；
②解：结论：△ACE是等腰三角形．
理由：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵AE∥BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形．
20．（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
21．（1）证明：∵BD分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠EDB．
∴DE＝EB．
（2）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC．
又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，
∴CD＝DF＝．
在Rt△CDE中，
CE＝＝1．
∵DE＝EB＝2，
∴BC＝CE+EB＝3．
在Rt△CDB中，
BD＝＝＝2．
22．（1）证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，
∴OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵O点在AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰三角形；
（2）解：∵OA＝OB，OA＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABO+∠ACO＝∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴∠BCO＝10°．
23．解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，
∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），
当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，
∴2t＝6﹣3t，
∴t＝1.2，
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．
（2）①当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴PB＝BQ，
∴2t＝（6﹣3t），
∴t＝，
②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BQ＝PB，
∴6﹣3t＝×2t，
∴t＝1.5，
∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s．
24．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴x．
25．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．