云南省昆明市富民县2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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1. 下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】ABC选项，由数集字母表示及元素，集合与几何关系可判断选项正误；
D选项，由集合相等定义可判断选项正误.
【详解】A选项，为无理数，为有理数集，则，故A错误；
B选项，为整数，则，故B正确；
C选项，为自然数，不是正整数，则不为正整数集的子集，故C错误；
D选项，为数集，为点集，则，故D错误.
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【详解】根据全称量词命题否定是存在量词命题可得，
命题“，”的否定是“，”.
故选：B
3. 已知函数，则（ ）
A. B. 3C. 1D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.
【详解】由，则.
故选：B
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，，
或，即不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列各组函数中，是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个函数表示同一函数的条件，即函数的三要素相同，对选项一一判断即可得出答案.
【详解】∵，
∴A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；
C中的定义域不同；只有D符合题意．
故选：D.
6. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则．
【答案】C
【解析】
【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；
C选项，当时，；
当时，，
当时，，
综上，故C正确；
D选项，，故D错误.
故选：C
7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间是单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数，单调递增函数概念可判断选项正误.
【详解】A选项，为偶函数，在上单调递减，故A错误；
B选项，为奇函数，故B错误；
C选项，为偶函数，在上单调递增，故C正确；
D选项，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C
8. 已知实数，若，则的最小值为（ ）
A. 12B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.
【详解】由，，，
所以
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为：12，
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据集合与充分，必要条件的关系判断选项.
【详解】根据集合与充分，必要条件的关系可知，的一个必要不充分条件表示的集合需真包含，根据选项可知，BC成立.
故选：BC
10. （多选题）若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C 若且，则D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式性质，对每个选项进行逐一判断即可.
【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误；
对B：等价于，又，故成立，故B正确；
对C：因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；
对D：等价于，成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，的最小值是5
C. 当时，的最小值是2
D. 设，，且，则的最小值是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式研究最值即可做出判定，对于BC要注意正负的转化，对于D要注意常数的代换.
【详解】A选项：当时，，，当且仅当时等号成立， A选项正确；
B选项：当时，，则，
当且仅当即时等号成立，B选项错误；
C选项：当时，最小值是2；
当时，的最大值是，
C选项错误；
D选项：当，，，
当且仅当时等号成立,D选项正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 注意“一正二定三相等"的要求和灵活转化后利用基本不等式研究最值.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 函数的两个零点为，则=_______
【答案】##
【解析】
【分析】由零点定义可得答案.
【详解】令，
得的零点为1与，则.
故答案为：
13. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
14. 若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.
详解：
因为函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又在上是增函数，且，当或时，；当或时，，作出函数的草图，如图，则不等式等价为或，即或，则或，解得或，即不等式的解集为，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解..
四．解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，，，
（1）求，；
（2）求.
【答案】（1），或.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集的概念求解；
（2）利用补集和交集的运算求解.
【小问1详解】
由题可知，，
或.
【小问2详解】
由（1）可得，.
16. 求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）利用换元法求解.
【详解】（1）因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以；
（2）由函数，
令，则，
所以，
所以.
17. 已知集合和非空集合
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，求出时集合B，再求；
（2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m的取值范围．
【小问1详解】
不等式解得，则有，
当时，，.
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，
则有，由于等号不能同时成立，故，
所以实数的取值范围.
18. 若函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）解不等式可得答案；
（2），然后讨论与1大小关系可得答案；
（3）由可得，求出即可得答案.
【小问1详解】
时，f(x)>0⇔x2−3x+2>0⇒x−2x−1>0，
故不等式解集为：；
【小问2详解】
.
当，解集为；
当，，解集为；
当，解集为.
【小问3详解】
,
则，因，则.
故，要使在区间上有解，
则，其中.
令，则.
因函数在上递减，在上递增.
又，则.
故实数的取值范围为.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.