江苏省常州市同济中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省常州市同济中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，一元二次方程是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
3.若方程有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.平面内，若的半径为2，，则点P在( )
A. 内B. 上C. 外D. 内或外
5.下列语句中不正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个
6.如图，C，D是上直径AB两侧的两点，设，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，四边形ABCD内接于，，，则的半径为( )
A. 4
B.
C.
D.
8.如图，在矩形ABCD中，，，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.方程的根为______.
10.若实数a是一元二次方程的一个根，则的值为______.
11.已知关于x的方程、b、m为常数，的解是，，那么方程的解______.
12.已知代数式，则A的最小值为______.
13.如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么______.
14.如图，P是外一点，过P引的切线PA、PB，若，则__________度．
15.如图，是的外接圆，，E是BC的中点，连接OE并延长交于点D，连接BD，则的度数为______.
16.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 __________.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解．
问题：方程的解是，______，______.
求方程的解．
拓展：用“转化”思想求方程的解．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题16分
选用适当方法解下列方程：
；
；
；
19.本小题6分
如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点O；并直接写出其外接圆半径______；
如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心
20.本小题6分
如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点若，求的度数．
21.本小题6分
关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
22.本小题8分
某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．
求七，八两月的月平均增长率；
九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？
23.本小题8分
如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分
求证：AE是切线；
若，，求的半径和AD的长.
24.本小题8分
定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
如图1，AB，AC是的等垂弦，，，垂足分别为D，求证：四边形ADOE是正方形；
如图2，AB是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接求证：AB，CD是的等垂弦；
已知的半径为10，AB，CD是的等垂弦，P为等垂点．若，求AB的长．
25.本小题12分
小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究．请你和他一起解决以下几个问题：
几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由；
几秒钟后为直角？请说明理由；
当时，内有一个动点M，连接PM、QM、若，线段PM的最小值为______.
26.本小题10分
已知如图1，在中，，，厘米，点P从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2厘米的速度移动，点Q从点C开始沿AC边向点A以每秒钟1厘米的速度移动.若P、Q分别从B、C同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动.
求：点P从点B出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？
是否存在以P为圆心、QP为半径的圆与直线AB相切，若存在，求出经过几秒？若不存在，请说明理由；
如图2，点M是内的一个动点，且满足，求线段BM的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程．
故选：
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故选：
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3.【答案】D
【解析】解：关于x的方程有两个实数根，
，
解得：
故选：
由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解不等式即可得出结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
4.【答案】A
【解析】解：由题意得，，
，
点P在内，
故选：
根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．
本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查定义与命题，在叙述命题时注意要强调命题成立的条件，①和④没有前提；②注意不是直径的弦；③注意对称轴是直线．
【解答】
解：①和④错误，应强调在同圆或等圆中；
②错误，应强调不是直径的弦；
③错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．
故选
6.【答案】D
【解析】解：连接OC，如图，
，
，
，
故选：
连接OC，根据圆周角定理可得的度数，再根据平角的性质可得的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数．
本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OA，OC，
四边形ABCD内接于，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
的半径为：
故选：
先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
8.【答案】B
【解析】解：在直角中，，，
则
由图可知
故选：
要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
9.【答案】，
【解析】解：，
，
，
，或，
，，
故答案为：，
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法．
10.【答案】21
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出，，，利用整体法代值计算，此题难度较大．
将a代入方程可得，，，，再代入计算即可求解．
【解答】
解：实数a是一元二次方程的一个根，
，，，，
故答案为
11.【答案】或
【解析】【分析】
此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解即可．
【解答】
解：关于x的方程的解是，，均为常数，，
方程变形为，即此方程中或，
解得或
故答案为：或
12.【答案】
【解析】解：，
，
，即A的最小值为，
故答案为：
先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查了配方法的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接CE、DE，
过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，
，
，，，
，
，
，
，即，
，
即，
故答案为：
连接CE、DE，过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，可得，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键．
14.【答案】130
【解析】【分析】
根据切线的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到答案．
本题考查了切线的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【解答】
解：、PB是的切线，
，
，
，
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：连接CD，
四边形ABDC是圆内接四边形，，
，
，
是边BC的中点，
，
，
，
故
故答案为：
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求出的度数、垂径定理证得是解决问题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：连接OP，
，
，
，
，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，
圆心M的坐标为，
，，
，
又，
，
，
故答案是：
连接OP，由中知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，得出AB取得最小值时点P的位置．
17.【答案】
【解析】解：，
或
或
故答案为：3，；
方程，可化为，
，
或或，
，，
，方程两边平方，得，
即，
，
或，
，
当时，
，
故不是原方程的解，舍去；
当时，
是原方程的解．
用因式分解法求解方程可得结论；
仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；
方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．
本题考查了高次方程、无理方程的解法，理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
，
，
；
，
，
，
；
，
，
，
或，

【解析】用直接开平方法求解即可；
用配方法求解即可；
用公式法求解即可；
移项后用因式分解法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图所示，点O即为所求；外接圆半径；
故答案为：；
如图所示：即为所求．
根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；
在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
20.【答案】解：是的直径，
，
，
，
，
所以的度数为
【解析】根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
21.【答案】证明：
，
方程总有两个实数根；
，
，，
该方程有一个根大于1，
，解得，
即k的范围为
【解析】先计算出判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
先解方程得到，，则根据题意得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
22.【答案】解：设七，八两月的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：七，八两月的月平均增长率为
设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．
【解析】设七，八两月的月平均增长率为x，利用八月的销售量=六月的销售量七，八两月的月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润=每箱的销售利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接OA，
，
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
解：如图，取CD中点F，连接OF，
于点
四边形AEFO是矩形，
，
在中，，
，
在中，，，
，
的长是
【解析】连接OA，根据已知条件证明即可解决问题；
取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
24.【答案】证明：，AC是的等垂弦，，，
，
四边形ADOE是矩形，
，AC是的等垂弦，
，
，，
，
矩形ADOE是正方形；
证明：设AB交CD于点E，连接AC，
，，
，
，
，
，，
，
即，
，，
、CD是的等垂弦；
解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
、CD是的等垂弦，
，，
四边形OHPG是矩形，
，，
，，，
，
在和中，，
，
，
矩形OHEG为正方形，
，
，且，
，
在中，，
即，
解得，
，
；
若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，
同理，，则；
或
【解析】根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形ADOE是正方形；
连接AC，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论；
分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25.【答案】解：结论：当或时，
理由：四边形ABCD是矩形，
，
，，，
，
，
，
或；
故2秒或秒后，点P、Q的距离为
或后，
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
或，
或后，；

【解析】解：见答案；
或后，
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
或
结论：时，
理由：，则，
又，
，
，
∽，
，即，
解得：或是方程的增根，不合题意，舍去
，
，
，
，
如图1中，取BQ的中点O，连接OM，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
故答案为：
利用勾股定理构建方程求解即可；
利用三角形的勾股定理，构建方程求解即可；
首先证明，如图1中，取BQ的中点O，连接OM，求出OM，OP，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：设经过x秒的面积恰好等于1平方厘米，则，，
根据题意，得
，
整理，得
，
解得
答：点P从点B出发，经过1秒的面积恰好等于1平方厘米；
存在．
设经过x秒以P为圆心、QP为半径的圆与直线AB相切，切点为D，
则，，
如图，连接PD，由题意得
在中，，，
在中，，
，
由勾股定理，得，
在中，，，，，
由勾股定理，得，
即，
整理，得，
解得 ，
、Q分别从B、C同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，
，
，
不合题意，舍去．
经过秒，以P为圆心、QP为半径的圆与直线AB相切．
在中，，，，
，
在中，，，
，即，
如图，以AC为直径作圆，圆心为O，则点M在上，
，
连接BO，BM，则，
，
，
的最小值为：
【解析】设经过x秒的面积恰好等于1平方厘米，则，，根据题意，得方程，即可得到x的值；
设经过x秒以P为圆心、QP为半径的圆与直线AB相切，切点为D，则，，在中，，，，，由勾股定理，得方程，即可得到x的值；
在中，根据，，可得，以AC为直径作圆，圆心为O，则点M在上，连接BO，BM，根据，可得，进而得出BM的最小值为：
此题主要考查了圆的综合应用，圆周角定理，解直角三角形、直线和圆的位置关系以及勾股定理等知识的综合应用．解题的关键是根据圆与直线的位置关系进行分析，运用方程思想求得未知量的值．问题6如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．