湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期质检数学试卷（10月份）

这是一份湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期质检数学试卷（10月份），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.下列校徽主体图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
4.把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到的图象解析式是( )
A. B.
C. D.
5.如图，将其中，绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于( )
A.
B.
C.
D.
6.等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程的两个实数根，则k的值是( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 12
7.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象上有两点和，则的值等于( )
A. 22B. 20C. 17D. 0
9.如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②；③四边形的面积是；④，其中正确结论有个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.点关于原点对称的点的坐标是______.
11.二次函数的图象的顶点坐标是______.
12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为______.
13.若关于x的函数与坐标轴有两个交点，则k的值是______.
14.已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①，，；②；③对于任意的x均有有；④若方程，有4个根，则这四个根之和为4，其中正确的结论是______.
15.点O是正方形ABCD内的一点，P是边AB上的一点，，的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
解一元二次方程：
；
17.本小题8分
二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：
方程的两个根为______；
若，则自变量x的取值范围为______；
若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是______.
18.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根，满足，求m的值.
19.本小题8分
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示
若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长AB和宽BC；
该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
20.本小题8分
如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示，
在图1中，画线段于点E，使；
在图2中，点K为AB与网格线的交点，先将线段BA绕点B顺时针旋转得线段BH，在线段BH上画出点K的对应点I：
在图2中，画出点H关于CB的对称点
21.本小题10分
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式已知球网与O点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距O点的水平距离为
当时，求y与x的关系式不要求写出自变量x的取值范围；
当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
22.本小题10分
如图，中，，
如图1，D在BC边上，，求的值；
如图2，E点在的外部，，求证：；
是平面内一点，，，请直接写出______.
23.本小题12分
如图，抛物线交x轴于A，B两点在B的左边，与y轴交于点
如图1，已知，且点A的坐标为
①求抛物线的解析式；
②P为第四象限抛物线上一点，交y轴于点Q，求面积的最大值及此时点P的坐标；
如图2，F为y轴正半轴上一点，过点F作交抛物线于D，E两点在E的左边，直线AD，AE分别交y轴于N，M两点，求的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是整式，不是二次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，故A不符合题意；
C、符合二次函数的定义，符合题意；
D、解析式化简后不含二次项，不符合题意；
故选：
根据二次函数的定义判定即可．
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数定义是关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：
根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故选：
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，由二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到的图象解析式是，即
故选：
直接根据图形平移的性质即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可．
此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，三角形的三边关系等.
分两种情况①等腰三角形的底边长为2，②等腰三角形的腰长为2，分别求解即可.
【解答】
解：当等腰三角形底边长为2时，
则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
此时两腰长为3，符合题意；
当等腰三角形腰长为2时，
此时2是方程的一个根，
，
，
此时方程的另一个根为，
，
不能组成三角形，
综上所述，
故选
7.【答案】B
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
故选：
先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：函数的图象上有两点和，
，
把代入得，，
函数的图象上有两点和，
，n是方程的两个根，
，，
，
故选：
由题意可得m，n是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知，
，
，
又，，
在和中，
，
≌，
又，
可以由绕点B逆时针旋转得到，
故结论①正确；
≌，
在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论②正确；
，
故结论③正确；
如图②所示，将绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点O旋转至点．
则是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形，
则，
故结论④正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④．
故选：
证明≌，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确；在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论②正确；，故结论③正确；将绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论④正确．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练地掌握全等三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案．
本题考查了关于原点对称的点，平面直角坐标系中若两个点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
11.【答案】
【解析】解：，
二次函数的图象的顶点坐标是
故答案为：
根据二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数，其顶点坐标为是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：该抛物线的解析式是，
由图象知，点在函数图象上，代入得：
，
该抛物线的解析式是；
故答案为：
由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出a的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．
13.【答案】或
【解析】解：①当时，即时，函数是一次函数，与x轴有且有一个交点，与y轴有一个交点，故符合题意．
②当时，即时，该函数是二次函数，与y轴有一个交点
则
解得
综上可知：或
故答案为：或
若，原函数为一次函数，与坐标轴有两个交点，若，原函数为二次函数，由于抛物线与y轴一定有一个交点，根据“该函数与坐标轴有两个交点”，得到抛物线与x轴只有一个交点，即判别式，得到关于k的等式，解之即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，正确掌握判别式公式是解题的关键．
14.【答案】①②③④
【解析】解：抛物线的对称轴在y轴右侧，则，
而，，
抛物线的对称轴为，
，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
当时，函数最大值为，
对于任意的x均有
，
即，故③正确；
方程有四个根，
方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，
，，
，故④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
由二次函数的图象可得，，由对称轴可得，即可判断①；由对称轴可得，进而可判断②；当时，函数最大值为，即可判断③；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，由根和系数的关系可得，，得到，即可判断④．
本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：将绕点C顺时针旋转至，连接OE，过点于点G交CD于H，
则，，，，
，为等边三角形，
，
，
当且仅当F，E，O，P四点共线时，取得最小值，此时点P与点G重合，最小值为FG，
四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
，，，，
，
四边形AGHD是矩形，
，
，，
，
，
，
，
即的最小值为，
故答案为：
将绕点C顺时针旋转至，连接OE，过点于点G交CD于H，则，为等边三角形，故，当且仅当F，E，O，P四点共线时，取得最小值，此时点P与点G重合，最小值为FG，可求，，在中，由勾股定理得，则，即的最小值为
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握知识点，构造旋转全等，将线段进行转移是解题的关键．
16.【答案】解：，
，
，
；
，
，
或，
，
公式法：，，，
，
，
，
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解题的关键．
17.【答案】，或
【解析】解：二次函数的图象与x轴的两个交点分别为、，
方程的两个根为，，
故答案为：，；
设抛物线解析式为，将点代入得：，解得，
抛物线解析式为，
令，
解得：，，
，
或
故答案为：或；
由函数图象可知，二次函数开口向下的顶点坐标为，
方程有两个不相等的实数根，
直线与二次函数有两个交点，
的取值范围为，
故答案为：
根据二次函数图象与x轴的两个交点坐标，即可作答；
根据二次函数图象在x轴上方的部分对应的x范围，即可作答；
根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．
18.【答案】证明：整理原方程得，，
，
无论m为何实数，总有，从而，
即
无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：由得方程整理得，
方程的两个实数根、，
，，，
，
解得
【解析】先把方程，变形为，得出，即可得出答案；
先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
19.【答案】解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与
设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【解析】设，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
设，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
20.【答案】解：画线段于点E，使，如图1所示，线段AD即为所求；
如图2所示，线段BH及点I即为所求；
画出点H关于CB的对称点M如图所示，点M即为所求．

【解析】如图1，取格点AD，连接AD，交CB与点E，易得≌，得，，即得，进而由，得，得到，即得，故线段AD即为所求；
如图2，取格点H，连接BH，与网格线相交于点I，易得≌，得到，即得，又因为，，所以≌，即得到，故线段BH及点I即为所求；
取格点P，连接PH，则，取格点G、N，连接GN、GH，则，即可得，得到，因为点C为GH的中点，所以由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，即得，故点H、M关于CB对称．
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角性质，直角三角形性质，旋转作图，等腰三角形的性质，轴对称，掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】解：，球从O点正上方2m的A处发出，
抛物线过点，
，
解得：，
故y与x的关系式为：；
当时，，
所以球能过球网；
当时，，
解得：，舍去，
故会出界；
解法一：当球正好过点时，抛物线还过点，代入解析式得：
解得：
此时二次函数解析式为：，
此时球若不出边界，则，
当球刚能过网，此时函数解析式过，抛物线还过点，代入解析式得：
解得：
此时球要过网，则，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：
解法二：过点点，代入解析式得：，
若球越过球网，则当时，，即，解得，
若球不出边界，则当时，，解得
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：
【解析】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
利用将点代入解析式求出即可；
利用当时，，当时，，分别得出即可；
根据当球正好过点时，抛物线还过点，以及当球刚能过网，此时抛物线过，抛物线还过点时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
22.【答案】或
【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
如图2，将AE绕点A逆时针旋转，得到AF，连接CF，EF，过点A作于H，
，，
，
，
，，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，当点P在内时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接HP，
，，
，，
，
将绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，，
，，
，，
，，
，
；
如图4，当点P在外时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接HP，
，，
，，
，
将绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，，
，，
，，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为或
由等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求，，由直角三角形的性质可得，即可求解；
将AE绕点A逆时针旋转，得到AF，过点A作于H，由等腰三角形的性质可求，由“SAS”可证≌，可得，，由角的数量关系可证，可证；
分两种情况讨论，由旋转的性质可得，，，，，由直角三角形的性质可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.【答案】解：①当时，，
，
，
，
，
将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
②连接BC，过点P作轴交BC于点G，
可得直线BC的解析式为，
设，则，
，
为第四象限抛物线上一点，
，
，
，
，
当时，面积的最大值为，
此时；
设D、E两点的横坐标分别为m、n，直线DE的解析式为，
联立方程组，
整理得，，
，，
，，
直线DE的解析式为，
同理直线AD的解析式为，直线AE的解析式为，
直线BC的解析式为，
，
，
，
，，
，，
，
，

【解析】①求出B点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
②连接BC，过点P作轴交BC于点G，设，则，由，可知，当时，面积的最大值为，此时；
设D、E两点的横坐标分别为m、n，直线DE的解析式为，联立方程组，整理得，，根据根与系数的关系整理出，，再求出直线DE为，直线AD为，直线AE的解析式为，直线BC为，根据，得，则，分别求出，，则，再由，即可求
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，根与系数的关系是解题的关键．