广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了8B等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则复数的虚部为（ ）
A.1B.C.D.
2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（ ）
A.14B.15C.23D.25
3.在四面体OABC中，，，，G为三角形ABC的重心，P在OG上，且，则为（ ）
A.B.C.D.
4.已知随机事件A和B互斥，且，，则等于
A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2
5.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A.B.C.D.
6.双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A.B.C.D.
7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A.B.C.D.
8.椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（ ）
A.平面
B.直线与平面所成的角为
C.平面平面
D.点E到平面的距离为
10.已知点P是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ）
A.若，则的面积为
B.使为直角三角形的点有6个
C.的最大值为
D.若，则的最大、最小值分别为和
11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点与到点的距离之积为4，据此判断，下列结论正确的是（ ）
A.点在曲线C上
B.点在C上，则
C.点Q在椭圆上，若，则
D.过作X轴的垂线交C于A，B两点，则
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点在角的终边上，则________.
13.若为偶函数，则_______.
14.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）经过点的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程.
16.（15分）已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且.
（1）若，求；
（2）点d在边BC上且AD平分，若，求三角形ABC的周长.
17.（15分）椭圆过点且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若面积为，求直线MN的方程.
18.（17分）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点，
（1）证明：平面PAB；
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，
①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.
19.（17分）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）双曲线的左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线l与C交于P，Q两点，直线与交于点S，直线与交于点T.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
（ii）求的面积的取值范围.
广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试·数学
参考答案
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B
9.【答案】ACD 10.【答案】BCD 11.【答案】ACD
12. 13. 14.；
9.【答案】ACD【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
对于A，，，，显然，
即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；
对于B，，，即有不垂直于DE，
而平面，因此不垂直于平面，B错误；
对于C，，，而，显然，，即，，，，平面，
于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；
对于D，，，设平面的一个法向量，
则，令，得，又，
所以点E到平面的距离，D正确.故选：ACD
10.【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，
所以，所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点P有4个，
设椭圆的上下顶点分别为S，T，则，，，同理，
知，所以当P位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点P有6个，故B正确：
C选项：由于，
所以当最小即时，取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则的最大、最小值分别为和，当点P位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD
11.【答案】ACD
【解析】对选项A，因为，由定义知，故A正确；
对选项B，点在上，则，
化简得，所以，，B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，
则，又，所以，
故，所以，C正确；
对选项D，设，则，因为，则，又，
所以，化简得，故，所以，
故，所以，故D正确，故选ACD.
12.【详解】由点在角的终边上可得，，
则.
13.[解析]设，易知的定义域为，
且，所以为奇函数.
若为偶函数，则也应为奇函数，所以，（在公共定义域内：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇）
14.解：①由题意得椭圆与双曲线的焦距为，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，
不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：，
由椭圆的定义：，可得：，，
又，由余弦定理得：，
即，整理得：，
所以：，即，
可得，当且仅当时等号成立.
②为的内心，所以为的角平分线，则有，
同理：，，，
即，，故，
为的内心，，I，G三点共线，
即为的角平分线，进而是角的平分线，
则有，又，，
即，，，，
所以，
当且仅当时，等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）解析：（1）圆的圆心在直线上，设，
则，解得，即，圆的半径为.
圆的标准方程为；
（2）经过点的直线l被圆M截得的弦长为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时直线l被圆M截得的弦长为，不符，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即..
解得或，直线l的方程为或.
（说明：这里少一种结果扣2分）
16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知，
.
，，即，.
由余弦定理知，又，（不写范围扣1分）
由，知.又为直角三角形，
，，故.
（2）点D在边BC上且AD平分，所以，
即，
即，即.①
又由于，即，即.②
①代入②得到，所以或（舍去），
所以的周长为.
（说明：解答过程中从头到尾不写“正弦定理、余弦定理”扣1分）
17.
（1）由已知可得解得所以，椭圆C的标准方程为.
（2）当直线MN与x轴重合时，不符合题意，设直线MN的方程为，
联立，可得，，
设，由韦达定理可得，，
则，
则，
解得，所以直线MN的方程为.
（说明：这里少一种结果扣2分）
18.【解答】（1）取PB中点M，连接AM，EM，
为PC的中点，，，
又，，
，，四边形ADEM为平行四边形，
，平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
，平面PAB，
取AB中点G，连接FG，则，平面PAB，
，，，，
又，，，
如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，设平面PCD的一个法向量，，
则，取，则，
平面PAB的一个法向量可取，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，
，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
②如图，，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，
又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥体积，
又四棱锥的体积为，所以五面体ABCDEM为.
19.（17分）解析：（1）由题意知：，，
解得，，双曲线方程为.
（2）因为直线l斜率不为0，设直线l方程为，
易知，，设，，
联立，得，
则且，
（i）；
（ii）由题可得：，.
联立可得：
，即，同理.
故
且，.