内蒙古赤峰市2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份内蒙古赤峰市2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了11，已知，，，则，，的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

2024.11
本试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.已知，是两个实数，，，则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.结合不等式的性质，下列说法中正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
3.已知，，，则的最小值为
A.B.C.D.
4.已知，，则的值为
A.－2B.2C.－3D.3
5.已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是
A.B.C.D.
6.已知，，，则，，的大小关系是
A.B.C.D.
7.已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是
A.B.C.D.
8.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是
A.B.C.D.
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则
A.当时，B.
C.函数是堵函数D.函数的值域为
11.已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是
A.在区间上单调递减
B.直线是函数图象的对称轴
C.在区间上有两个对称中心
D.若在区间上有2024个根，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知函数，则不等式的解集是________.
13.函数在上的导数为，若，且，则________.
14.在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求，.
16.（本小题满分15分）已知幂函数的图象过点，.
（1）求的解析式；
（2）记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围；
（3）设，对，使得成立，求正实数的最小值.
17.（本小题满分15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形.
（1）求与的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值.
18.（本小题满分17分）某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点.

图1 图2
（1）用表示图1中的面积：
（2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用.
19.（本小题满分17分）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.
如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数）
（1）求函数在点处的曲率；
（2）已知函数，求函数的曲率的最大值.
（3）设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.
赤峰市2024年高三11·20模拟测试
参考答案与评分细则
12. 13.2025 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解答案】（1）由正弦定理可将
化为，
其中，…………（2分）
可得，…………（4分）
在中，，可得，由辅助角公式可得，（6分）
可得.…………（7分）
（2）的面积为，可得，…………（9分）
由余弦定理，可得，…………（11分）
综上，或，.…………（13分）
16.【详解答案】（1）设幂函数，由题意，即，
即函数的解析式为.…………（2分）
（2）由题意在区间上的值域为，…………（3分）
而函数区间上的值域为，…………（4分）
由是的必要条件可知，…………（6分）
即且，解得.…………（8分）
（3）由题意，…………（9分）
对，使得成立，可得，…………（11分）
在区间上，的最大值为，…………（12分）
在区间上，的最大值为，…………（13分）
令，可得，解得（舍）或，即，
即正实数的最小值为1.…………（15分）
17.【详解答案】
（1）由已知可得 ，…………（3分）
由题图可知，正三角形的高即为函数的最大值，则.…………（6分）
（2）由（1）可知，由函数的图象向右平移个单位长度，
再把横坐标变为原来的，得图象可知：，…………（10分）
由得，，…………（11分）
由得，，
从而，…………（13分）
故.…………（15分）
18.【详解答案】（1）因为，所以，
又因为为较长边，所以，即.…………（3分）
设，则
因为，，
所以，所以，…………（5分）
在中，由勾股定理得，
即，解得，…………（7分）
所以，…………（8分）
所以的面积（单位：）
…………（10分）
（2）设一枚徽章的镀金费用为元，则…………（13分）
由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立，…………（15分）
所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元.…………（17分）
19.【详解答案】（1），，，，，（2分）
所以函数在点处的曲率为.…………（3分）
（2），，，
由定义知为非负数，由题意得，
，，，…………（5分）
令，，令，…………（6分）
则在上恒成立，…………（8分）
在上单调递增，即，
，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为.…………（9分）
（3）证明：由题意可得，，
若曲率为0，则，即，即，…………（10分）
令，则，得，…………（11分）
所以在上，，单调递增，且；
在上，，单调递减，且.
又，所以有两个解.
设为，，，…………（13分）
又，所以，可设，，
所以，，，
化简可得，则.…………（15分）
要证，即证，
需要证，即证，…………（16分）
令，
所以在上单调递增，
所以，得证.…………（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
C
A
B
C
题号
9
10
11
答案
ABD
AD
ACD